初中數學函數常見題型解析

韓岳 郭云霞

【摘要】三角函數和二次函數是初中階段數學教學的重要部分，對許多學生來說是難點.在教學過程中，教師要注意所學問題的選擇，鼓勵學生盡可能多地思考.

【關鍵詞】數學函數;三角函數;二次函數

1 二次函數單調性問題

例1 已知屬于0，1時，函數y=（mx-1）2的圖象與y=x+m的圖象有且只有一個交點，求正實數m的取值范圍.

解析 首先設f（x）=（mx-1）2，g（x）=x+m.由于x屬于0，1，g（x）的單調性在0，1上是單增的，我們只需分類討論一下f（x）的單調性即可.

（1）m∈0，1時，在同一平面直角坐標系中作出函數f（x）和g（x）的圖象，如圖1：

己知此時兩函數圖象在x∈[0，1]上有且只有一個交點.

（2）m>1時，在同一平面直角坐標系中作出函數f（x）和g（x）的圖象，如圖2：

要滿足題意，則（mx-1）2≥1+m，解得m≥3或者m≤0（舍去）.

綜上可知m的取值范圍是0

2 二次函數最值問題

例2 已知f（x）=x2+3x-5，x∈t，t+1，若f（x）的最小值設為h（t），請寫出h（t）的表達式.

解析 由于f（x）=x2+3x-5的對稱軸為x=-32，開口向上.如圖3.

（1）當t>-32，f（x）在t，t+1上是增函數;x=t時，f（x）最小，f（x）的最小值為x2+3x-5;

（2）當t≤-32

（3）當t+1≤-32，即t≤-32時，f（x）在t，t+1上單減;f（x）在x=t+1時最小，所以最小值為t2+5t-1;

總結 通過二次函數的圖象來確定解題的大致思路，直觀清晰是數形結合思想的特點.

3 二次函數值域問題

例3 已知兩個二次函數y=x2-mx+m2+12和y=x2-mx-m2+22.

（1）兩個函數的圖象有一個與x軸存在A、B兩個不同的交點，判斷是哪一個;

（2）若A點坐標為（-1，0），求出B點的坐標，并對于經過A、B點的二次函數，當x取何值時，y隨著x的增大而減小？

解析 （1）y=x2-mx+m2+12，由于Δ=（-m）2-4×1×m2+22=-m2-2<0，所以該函數與x軸沒有交點.

y=x2-mx-m2+22，由于Δ=（-m）2-4×1×-m2+22=3m2+4>0，所以該函數與x軸沒有交點.

所以圖象經過A、B點的函數是

y=x2-mx-m2+22.

（2）將A點坐標代入函數中，根據函數y=x2-mx-m2+22，可得1+m-m2+22=0，解一元一次方程得m=0或2，當m=0時，原函數即y=x2-1，令y=0，可得x1=1，x2=1，則當m=0時，B點坐標為（1，0）.當m=2時，原函數即為y=x2-2x-3，令y=0時，可得x1=1，x2=3，當m=2時，B點坐標為（3，0）.

當m=0時，二次函數為y=x2-1.此函數的圖象開口向上，對稱軸為直線x=0，所以當x<0時，函數值y隨x的增大而減小.

當m=2時，二次函數為y=x2-2x-3，此函數的圖象開口向上，對稱軸為直線x=1，所以當x<1時，函數值y隨x的增大而減小.

4 坐標存在問題

例4 拋物線的頂點為A（2，1），且經過原點O，與x軸的另一個交點為B，

（1）求拋物線的解析式;

（2）在地物線上求點M使△MOB的面積是△AOB面積的3倍;

（3）連接OA，AB，在x軸下方的地物線上是否存在點N，使△OBN與△OAB 相似？若存在，求出N點的坐標：若不存在，說明理由？

解析 根據題意可知拋物線的解析式為y=a（x-2）2+1，由于這條拋物線過原點，所以a（0-2）2+1=0，可以得到a=-14.則拋物線的解析式為y=-14x2+x.△AOB和所求△MOB同底不等高，又因為S△MOB=3S△AOB，則M的縱坐標為-3，所以-3=-14x2+x，即x2-4x-12=0，解之，得到x=6或者-2.滿足條件的點有兩個：M（6，-3），（-2，-3）.

5 函數動點問題

例5 現有一直線與直角坐標系交點為點A 、點B，并與O點構成△AOB. 直線可以表示為y=-13x+1. 之后以O點為圓點，轉動△AOB形成△CDO，此時點A，C，D都在拋物線y=ax2+bx+c上，試求出以下問題答案.

（1）確定點A，B，C，D的準確坐標;

（2）求解二次函數的表達式;

（3）在直線BG（G為拋物線頂點）上，是否存在一點F，構成△ABF與△CDO相似.

解析 （1）根據題意可以確定A、B、C、D的坐標;

（2）在確定A、C、D的坐標之后，二次函數的表達式可以設為y=x2+2x+3;

（3）首先以頂點G為基準，根據勾股定理可知GH=OB，BH=OA，GB=AB，所以∠GBA是一個直角，那么問題可以轉化為證明BFBA=ODOC或BFBA=OCOD.

教師在教學過程中，要抓住三角函數與其他函數之間的聯系，引導學生理解三角函數的解題思路.

參考文獻：

[1]楊平榮.對數形結合思想在初中函數教學中的作用探討[J].學周刊，2013（22）：144-145.

[2]溫莉英.初中生函數內容解題易錯問題研究[D].西華師范大學，2017.

[3]徐錦水.論初中二次函數中幾種常見的解題方法[J].數學學習與研究，2020（01）：145.