軌跡問題處理策略的探究

林燕青

【摘要】軌跡問題是初中數學常見的問題類型，動點軌跡分析實則就是探究運動規(guī)律的過程，即在運動中尋找不變量，推導其中的數量或位置關系.

【關鍵詞】 軌跡問題;動點軌跡;運動規(guī)律

1 平行定距

1.1 方法解讀

平行定距法常用于解析直線型軌跡問題，利用的是平行線之間的距離相等原理.如圖1所示，對于給定的定直線l，動點到其距離為定長d，則其軌跡平行于直線l，如圖中的直線m或n，兩直線的距離就為定長d.

使用平行定距法解析問題時建議采用數形結合，確定動點的直線軌跡，然后結合條件計算.解析時建議分三步進行：第一步，確定動點的初始和終止位置;第二步，關注圖中的從動點，提取從動點的關鍵位置;第三步，確定動點運動的路徑，計算長度.

1.2 實例講解

例1 如圖2所示，在△ABC中，已知∠B=90°，∠BAC=60°，AB=1.點E是BC上的一個動點，現以AE為邊在其右側作等邊△AEF，再連接CF，G為線段CF的中點.如果點E從點B出發(fā)，沿著BC方向運動至點C.試求在該運動過程中點G運動的路徑長.

解析 分析可知點E為主動點，點G為從動點，點E的運動軌跡為直線，需要確定點G的軌跡，再計算路徑.

取AC的中點為H，連接FH，如圖3，Rt△ABC，已知∠BAC=60°，AB=1，可推知AB=12AC，AH=AB.分析可知∠1+∠EAC=60°，∠2+∠EAC=60°，所以∠1=∠2.在△ABE和△AHF中，有AB=AH∠1=∠2AE=AF，所以△ABE≌△AHF，可推得∠B=∠AHF=90°，則FH為AC的垂直平分線，可推知AF=FC.

過點G作AC的垂線，設垂足為點I，則GI=12FH，且GI∥FH，分析可知點G的運動軌跡為射線IG，當點E運動到點C時，停止運動，如圖4所示.在圖4中有AF=AE=AC=2AB=2，可推得FH=3，GI=32，所以點G的運動路徑長為32.

評析 上述在確定動點G的軌跡時采用了平行定距法，充分把握動點之間的距離關系，確定動點的運動軌跡.其中解析的關鍵是提取全等圖形，推導線段之間的長度和位置關系.

2 夾角定位

2.1 方法解讀

夾角定位法也是直線型軌跡分析的常用方法，即在平面內，過定點且與定直線的夾角為定值的點，其點的運動軌跡為直線.如圖2所示，已知直線l與定點A，如果直線BA與直線l的夾角為確定的角α，則可以確定點B始終在定直線AB上.

使用夾角定位法進行動點軌跡推導，需要關注主、從動點的關聯，包括兩點之間的距離，以及相關夾角.具體解析時常結合構造法，構造全等關系來聚集條件.

2.2 實例講解

例2 如圖3所示，在平面直角坐標系中，已知點A（-3，0），點B是y軸正半軸上的一個動點，以AB為邊在AB的下方作等邊△ABP.當點B在y軸上運動時，則OP的最小值為 .

解析 本題目中點A為定點，點B為主動點，點P為從動點，△ABP為等邊三角形，則AB與AP之間的夾角為定角60°，點B的運動的軌跡為直線.

可以AO為邊長在圖中的第三象限作等邊△AP1O，如圖4，再過點P1作P1 P2⊥AP1交x軸于點P2，可證△AOB≌△AP1 P2，由全等性質可得∠A P1 P2=∠AOB=90°.

求OP的最小值需先確定點P的軌跡.已知△ABP為等邊三角形，且點B在y軸的正半軸上運動，利用夾角定位法可知點P的軌跡線為P1 P2所在直線.過點O作P1 P2的垂線，設垂足為點P，圖中OP的長就為其最小值.推導可得OP2=OA=3，所以OP=32.

評析 上述采用夾角定位來確定點P的運動軌跡，在點B向下移動的過程中，可將△ABP視為是平移縮放的過程，而平移的方向就為點P的運動方向.

3 “定邊對直角”建模

3.1 方法解讀

建模是基于圓周角定理所構建，即在圓中，直徑所對的圓周角為直徑.

依托圓周角定理可推知，在圖5所示的三角形中，若點A和B為定點，動點P在平面內滿足∠APB=90°，則點P的軌跡為以AB為直徑的圓上，幾何上將其稱之為“定邊對直角”模型.

3.2 實例講解

例3 如圖6所示，在Rt△ABC中，已知AB⊥BC，AB=6，BC=4，點P是△ABC內部的一個動點，且始終滿足∠PAB=∠PBC，則線段CP的最小值為 .

解析 分析可知∠ABP+∠PBC=90°，又知∠PAB=∠PBC，則∠BAP+∠ABP=90°，所以∠APB=90°，即定邊AB所對的角為直角，可確定點P在以AB為直徑的圓上運動，取AB的中點，記為圓心O.

顯然當點O、P、C共線時，CP取得最小值，連接OP，與⊙O的交點就為點P.在Rt△BCO中，由勾股定理可得OC=5，則PC=OC-OP=2，即PC的最小值為2.

評析 上述求CP的最小值，關鍵是確定點P的軌跡，通過等角代換依然可推知定角—∠APB=90°，顯然滿足“定邊對直角”模型的要求.

總之，初中階段動點軌跡常見的為直線和圓弧兩種，對于軌跡問題可分三步進行，即猜測形狀——證明軌跡——代入應用，具體應用時需針對性分析，靈活變通.