銳角三角函數(shù)相關(guān)基礎(chǔ)計(jì)算解析

李銀翠

【摘要】銳角三角函數(shù)的運(yùn)算是在初中階段首次接觸的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，初中階段銳角三角函數(shù)是需要學(xué)生掌握銳角三角函數(shù)的概念和解直角三角形[1].在初中階段學(xué)好銳角三角函數(shù)對(duì)于以后的學(xué)習(xí)是非常重要的[2].本文主要探究了銳角三角函數(shù)相關(guān)計(jì)算以及其在實(shí)際生活中的應(yīng)用[3]，分為三部分來介紹.

【關(guān)鍵詞】銳角三角形;三角函數(shù);基礎(chǔ)計(jì)算

1 探索并認(rèn)識(shí)銳角三角函數(shù)（sinA，cosA，tanA）

首先需要熟悉掌握銳角三角函數(shù)的定義，然后才能輕松地進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為a，b，c，則sinA=ac，cosA=bc，tanA=ab.

例1 在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=2，BC=1，則

sinA= ，cosA= .

解 在Rt△ABC中，已知AB=2，BC=1，所以sinA=BCAB=12.cosA=ACAB，

已知AB=2，需要求AC的值.AC= 22-12= 3，因此cosA=ACAB= 32.

例2 在Rt△ABC中，∠C=90°， BC=4， sinA=45，則AC=（）.

（A）3. （B）4. （C）5. （D）6.

解 在Rt△ABC中，sinA=BCAB=45，已知BC=4，可以求得AB=5，

利用勾股定理AC2+BC2=AB2可以得出AC= AB2-BC2= 52-42= 9=3.故選A.

注：此類計(jì)算題經(jīng)常結(jié)合直角三角形的勾股定理來進(jìn)行運(yùn)算.

2 用銳角三角函數(shù)解直角三角形

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為a，b，c，則有下列關(guān)系：

（1）三邊的關(guān)系：a2+b2=c2;

（2）角的關(guān)系：∠A+∠B=90°;

（3）邊與角的關(guān)系：sinA=cosB=ac，sinB=cosA=bc，tanA=ab.

例3 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為a，b，c，則下列關(guān)系正確的是（）.

（A）c=a·sinA.（B）c=a·cosA.

（C）c=asinA . （D）c=acosA.

解 A選項(xiàng)c=a·sinA將等號(hào)兩邊同時(shí)除以a，可以得到ca=sinA，但是在Rt△ABC中，sinA=ac，所以A選項(xiàng)不正確.

B選項(xiàng)c=a·cosA將等號(hào)兩邊同時(shí)除以a，可以得到ca=cosA，但是在Rt△ABC中，cosA=bc，所以B選項(xiàng)不正確.

C選項(xiàng)c=asinA將等號(hào)兩邊先同時(shí)乘以sinA，再將等號(hào)兩邊同時(shí)除以c，可以得到sinA=ac，所以C選項(xiàng)正確.

D選項(xiàng)c=acosA將等號(hào)兩邊先同時(shí)乘以cosA，再將等號(hào)兩邊同時(shí)除以c，可以得到cosA=ac，但是在Rt△ABC中，cosA=bc，所以D選項(xiàng)不正確.故選C.

例4 在△ABC中，a，b，c，分別是∠A，∠B，∠C的對(duì)邊，如果a2+b2=c2，那么下列結(jié)論正確的是（）.

（A）c·sinA=a. （B）b·cosB=c.

（C）a·tanA=b.（D）c·tanB=b.

解 已知a2+b2=c2，滿足勾股定理，所以該△ABC是直角三角形，并且∠C=90°.A選項(xiàng)c·sinA=a將等號(hào)兩邊同時(shí)除以c，可以得到sinA=ac，A選項(xiàng)正確.

B選項(xiàng)b·cosB=c將等號(hào)兩邊同時(shí)除以b，可以得到cosB=cb，但是在Rt△ABC中，cosB=ac，所以B選項(xiàng)不正確.

C選項(xiàng)a·tanA=b將等號(hào)兩邊同時(shí)除以a，可以得到tanA=ba，但是在Rt△ABC中，tanA=ab，所以C選項(xiàng)不正確.

D選項(xiàng)c·tanB=b將等號(hào)兩邊同時(shí)除以c，可以得到tanB=bc，但是在Rt△ABC中，tanB=ba，所以D選項(xiàng)不正確.故選A.

注：此類題目就是考查對(duì)于銳角三角函數(shù)定義的熟悉程度，難度不大，但是需要認(rèn)真計(jì)算.

3 用相關(guān)知識(shí)解決一些實(shí)際問題

例5 如圖1所示，小明同學(xué)觀測(cè)新華書店樓房墻上的電子屏幕CD，點(diǎn)A是小明的眼睛，測(cè)得屏幕下端D處的仰角為30°，然后他正對(duì)屏幕方向前進(jìn)了6米到達(dá)B處，又測(cè)得該屏幕上端C處的仰角為45°，延長(zhǎng)AB與樓房垂直相交于點(diǎn)E，測(cè)得BE=21米，請(qǐng)你幫小明求出該屏幕上端與下端之間的距離CD.（結(jié)果保留根號(hào)）

解 因?yàn)椤螩BE=45°，CE⊥AE，

所以CE=BE=21，

AE=BE+AB=21+6=27，

在Rt△ADE中，∠DAE=30°，

所以DE=AE×tan30°=27× 33=9 3，

所以CD=CE-DE=21-9 3.

即該屏幕上端與下端之間的距離為（21-9 3）米.

例6 如圖2所示，是一水庫(kù)大壩橫斷面的一部分，壩高h(yuǎn)=6m，迎水斜坡AB=10m，斜坡的坡度為α，則tanα的值為 .

解 設(shè)h對(duì)應(yīng)的邊為AC，即AC=6，已知AB=10，利用直角三角形的勾股定理可得BC= AB2-AC2= 102-62= 64=8，所以可以求得tanα=ACBC=68=34.

注 此類題目其實(shí)不難，要能夠從圖形中找到直角三角形，從而運(yùn)用銳角三角函數(shù)來計(jì)算.

參考文獻(xiàn)：

[1]孫牟昕.初中銳角三角函數(shù)教學(xué)研究[D].沈陽師范大學(xué)，2017.

[2]姜孝梅.初中數(shù)學(xué)“銳角三角函數(shù)”探析[J].新課程（中），2016（09）：16.

[3]周曉鳳.銳角三角函數(shù)的類型及應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)大世界（中旬），2019（05）：6+9.