設計幾何學在造型設計中的應用研究

秦小宇

關鍵詞：設計幾何學 造型 黃金分割法 √2分割法 形態設計

中圖分類號：J 文獻標識碼：A

文章編號：1003-0069（2022）07-0154-04

引言

轟轟烈烈對的工業革命浪潮的到來，為設計領域帶來了功能主義、抽象主義、幾何形態、理想主義等特征。設計形態從中世紀的哥特式、巴洛克式等古典主義風格轉變為了“方盒子”式的現代主義風格，風格由原來的浮夸的、張揚的、矯揉造作的形態轉變為了簡潔的、存粹的、抽象的形式。隨著現代主義設計運動的到來，設計師們開始探索幾何學的應用。并形成了一系列的設計幾何學理論體系與方法[1]。深入研究并運用好設計幾何學方法與理論，對當代設計形態學有著重大的理論意義和實踐意義，對當今產品、建筑、平面設計有著重要又深遠的意義。

一、設計幾何學相關原理

（一）黃金分割比例

黃金分割比例是造型設計中最常用的比例之一，也是設計形態學中非常重要的方法之一。黃金分割點是指在一條線段中取一點，較長部分線段比上整體線段的比值等于較短線段比上較長線段的比值，其比值約等于0.618[2]。通過調查研究表明，這個比例被認為是最符合人類視覺美感的比例，因此被譽為黃金比例。

類似黃金分割率的關系是一個叫作斐波那契數列的定律，由一位叫作雷昂那多·斐波那契數學家根據兔子實驗而得出的一個規律：假設一只成年兔子一個月后才能繁殖，每次繁殖能生出一只幼年兔子，生出的幼年兔子又得經過一個月才能成熟并可以繁殖，假設兔子長生不老，那么N個月后，又有多少只兔子？

即：F（n）=F（n-1）+F（n-2），n≥3。在整個斐波那契數列中，隨著數值的增大，兩個相鄰的值更接近黃金比率，即0.618。斐波那契數列與黃金分割比例關系及其密切，兩者相互聯系，不可分割[3]。

（二）根號比例

書本紙張比例大多為1：1.414，也就是通常說的根號 2 矩形。該值接近黃金矩形的比率。但最大的優點是，如果無線對折分割仍然可以得到兩個相同比例的根號2矩形：連接上下邊緣中心線長度的軸可以得到兩個相同且更小的矩形，按照這種方式可以無限推導。在人們的的日常生活中，存在大量的圖形案例度使用了根號矩形的方法。其中根號 2比例的矩形是生活中是最常見的，經常使用的2開紙就是所謂的根號2比例的矩形，這中紙的比例看起來不僅均勻舒適，更重要的是，即使紙張一次又一次地對折都可以得到相同的比例，既根號2比例，仍然可以不發生變化，這樣便于最大限度地利用紙張，不浪費紙張，達到綠色環保可持續的目的[4]。

二、藝術中的設計幾何學

針對人體比例，維特魯威對其進行了系統的歸納與總結，通過維特魯威對人體比例的描述：如果一個人平躺在地上，背部朝下，手和腿張開，肚臍是圓圈的中心，手或腹趾之間的距離是半徑（手和腹趾之間的距離等于腳趾之間的距離），他的手指和腳趾只在弧線上方移動。同時，人體可以形成一個正方形。通過測量，從腳到頭頂的高度等于手臂伸展時雙手兩端之間的距離，正好在正方形內。萊昂納多·達芬奇準確地描繪了人體比例與尺寸，如圖 1。達芬奇描繪的人體比例隱藏著嚴謹的黃金比例：以人體肚臍為界點，上面為上身，下面為下身。舉起手后，手離地面的高度是腹部離地面高度的兩倍。上半身與下半身的比例為0.618 黃金比，下半身設為 1，于是上半身便為Ф，則人的身高（上身加下生）為 h=1+Ф，舉手高度為H=2。身高與舉高手尖之間的距離為：D=H-h=2-（1+Ф）=1-Ф。同時，會陰高為身高的一半，可得出人體肚擠眼到會陰的距離為d=（H-h ）/2=（1-Ф）/2。

在達芬奇傳奇的一生中，其中以繪畫藝術作品《最后的晚餐》最為有名，這幅壁畫非常透視精準、準確的描述和優秀的人物塑造已經受到世界各地人們的贊賞，見圖2。最后的晚餐構圖將黃金比例關系顯示得淋漓盡致，這些邏輯嚴謹的黃金分割比例使畫面呈現出和諧有秩序的視覺體驗[5]。畫面四個角對角線的中心點，叫透視中心點，耶穌正好位于這個點上;畫面左側的猶大，處于畫面三次分割的黃金分割線上，那只拿著錢袋的手，也處于黃金分割線上。通過這些人物的構成與視覺上的安排，即使沒有錢袋子和恐怖的表情，也同樣可以清楚地知道猶大是誰。人物和繪畫的完美結合，以及精細的構圖給人身臨其境的感覺。

三、設計幾何學在造型設計中的應用

（一）設計幾何學在建筑造型設計中的應用

印度的泰姬陵號稱是“世界新七大奇跡”之一，在整個泰姬陵建筑的造型設計上也遵循著內在的規律與秩序，見圖3。泰姬陵的陵身由兩個相同大小并重疊的黃金矩形組成，重疊的部分也是一個豎向黃金矩形，與泰姬陵的大門相吻合，在重疊的豎向黃金矩形內，上下兩個內接正方形重疊的矩形寬度與大門內窗戶的長度一致。

巴黎圣母院不僅是哥特式建筑的典型代表，也是設計幾何學的一個應用實例。它充分利用輔助線來表達建筑師的意圖，見圖4。通過幾何學分析，可以發現巴黎圣母院的正視圖剛好內接在黃金矩形里面，整個建筑被分為九個小黃金矩形，建筑通風窗的位置正好處于外輪廓的大黃金矩形的對角線交點，通風窗的直徑是前主圓直徑的1/4。同時建筑正門也為一個黃金分割矩形，建筑的整體形式與周圍環境相輔相成，相得益彰。

見圖5，在古希臘的帕臺農神廟中，古希臘建筑師增加了黃金比例。整個神廟都建在一個黃金比例的長方形中（長方形的長與寬之比為1.618），黃金矩形的黃金分割線線幾乎與支撐寺廟的柱子重合。從廟底到柱子頂部的高度和從柱子頂部到廟頂的高度正好與豎向黃金矩形的黃金分割線分開。帕臺農神廟的設計，從整體形狀到每個裝飾細節，都遵循黃金比例規律[6]。

相比于西方偏愛的黃金比例，中國古代建筑更愛采用√2：1，√3：2的比例。這個比例可以起源于中國古代數學與工藝著作——《周髀算經》和《營造法式》中的圓中方、方中圓圖。《周髀算經》中指出：數之法出于圓方，圓出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。萬物周事而圓方用焉，大匠造制而規矩設焉。我國現存最大、結構最完整、藝術價值最高的唐代木殿非五臺山佛光寺東大殿莫屬，被梁思成譽為“國內古建筑之第一瑰寶”，見圖6。大廳寬七間，深四間，頂部有單檐和陽臺。平面的內柱和外柱被大廳的內槽和外槽包圍。主要雕像有35座。它們位于內部凹槽中，有五個房間寬，兩個房間深。外槽像回廊，是信眾禮佛的空間。佛光寺東大殿設計手法之關鍵在于：整個空間設計的“起源”是，明間佛像的凈高等于明間佛像凈高的兩倍（明間佛像寬度的兩倍）。大廳的總高度為明間面闊2√2倍，即主佛像凈高的4倍正殿底部的總寬度是大佛的兩倍。大殿臺基總寬為大殿總高的2√2倍（即明間面闊的8倍）——矩形佛光寺東殿的基本構圖母題為邊長比為2√2：1的矩形，將殿的立面與剖面融為一體，體現了天人合一的宇宙觀，和天地之和的文化觀，實現了建筑空間與雕塑家具的完美比例關系[7]。

（二）設計幾何學在產品造型設計中的應用

在產品設計活動中，將設計幾何學應用與造型設計中，同樣適用并合理，現代主義設計中，已經有大量設計先輩發現并利于幾何學規律在產品形態設計中。設計幾何學特征的產品形態顯得更有秩序與邏輯，受到了許多設計師與制造商的推崇。

甲殼蟲汽車作為二戰科技的產物，見圖7，其圓滑流暢的造型，給人速度感與科技感。在甲殼蟲汽車新穎的造型設計中，設計師同樣賦予了其內在的規律與秩序。整個車殼外形大致為一個二分之一黃金橢圓（內置在黃金矩形里面并與黃金矩形相切，短軸比長軸約為0.618），輪轂、輪胎、輪艙處于同一圓心的同心圓，車窗的造型曲線軌跡也是一個黃金橢圓，這個黃金橢圓正好與前輪輪艙和后輪輪轂想切。

老板椅的設計也遵循著相應的幾何學規律，作為舒適生活的象征，老板椅由于其舒適的用戶體驗與感受，一經上市就受到了推崇，見圖8。整個老板椅內接在一個黃金矩形（矩形的寬比長為黃金比例0.618），老板椅的靠背由兩個不同大小的黃金矩形相接而成，椅子的坐墊正好與外接黃金矩形的黃金分割點吻合，坐墊將老板椅坐墊以下的區域完美的分割為黃金矩形。老板椅的側視圖的造型同樣內接在一個相同大小的黃金矩形內，坐墊也同樣與相應的黃金分割線吻合，從整體上看，老板椅的頸椎靠墊的最上方到坐墊的最前方，再到椅子輪子，最后帶靠墊與坐墊的銜接處，形成一條的斐波那契螺旋線，所謂的斐波那契螺旋線，就是在黃金比例的矩形中可以分割出一個正方形和另外一個黃金矩形，在分割出來的黃金矩形中，可以繼續分割出一個正方形和一個黃金矩形，無限推導下去，將分割出來的正方形中，作四分之一圓弧，所有的四分之一圓弧可以流暢地串聯成一個螺旋形，這個螺旋形稱之為斐波那契螺旋形。

阿萊西是米蘭一家設計制造商，其生產的圓錐壺由是不同的幾種幾何形體的有機的組合在一起，見圖9。壺體的正視圖為等腰三角形，壺底為圓形。鍋底加熱面積大，沸水快。這樣的話，壺底加熱面積輝更大大，導致燒水會相應更加快。該壺同樣蘊含著設計幾何學相關原理，整個圓錐壺內接在正方形里。在正方形最上一排的中點位置正好為壺蓋的頂點，蓋子的把手是一個小巧優雅的金屬球，用手按住金屬球即可輕松打開。這個球降低了整個水壺的機械化、剛性和沒情感的形狀。中和了整個鍋的剛性和柔卻，正方形處于3乘以3的網格之中，壺嘴和手柄分別設置在中心網絡的兩端。把手的形狀很有趣。它形成一個垂直向下的角度，并與網格線重合。茶壺的壺身由圓錐體、圓、三角形、球體、正方形等基本幾何形狀組成，形式簡約又不缺乏內涵。

可口可樂作為最暢銷的飲料，一上市就贏得了市場競爭，家喻戶曉的可口可樂除了在味覺上深入人心，在包裝設計上，同樣深入人心。一瓶用玻璃包裹的可口可樂因為采用了女孩身體的曲線而成為經典。在全球消費者的認可與支持下，可口可樂推出了更合理的曲線塑料包裝瓶。該瓶身比例與遵循黃金比例，該包裝瓶曲線凹凸的位置均滿足黃金分割比例關系，便簽下面的瓶底與上面標簽加瓶口正好為黃金比例，可口可樂瓶的外觀結構性幾乎與黃金比例的結構線相重合，見圖10。

（三）設計幾何學在平面造型

設計中的應用設計幾何學在平面設計中同樣適用，將設計幾何學運用到平面設計中，使平面設計美感、規律與邏輯并存，感性與理性相互交叉，給人美的享受[8]。在平面設計大師朱爾.謝雷的作品《福利斯-貝熱爾》中，見圖11。設計師以三位舞蹈演員為該作品的主體，三個演員付款的動作定格下來。其浮夸的造型，給人極具動態感的感受。這些浮夸的舞蹈動作，看似漫不經心，其實則隱藏秩序：通過副輔助線分析，利用設計幾何學相關原理來解析該作品，不難發現這三名演員浮夸的肢體完美落在一個正五邊形邊緣線上，該正五邊形的外接圓圓心正好位于女演員的臀部。將該正五邊形分割為兩三個等腰三角形時，不難發現兩邊的兩位男演員的形成的三角形兩條不同邊之比為 1：1.618，既黃金三角形。

一直以嚴謹理性為名的標桿級工業設計公司——蘋果公司，在logo設計上也別有用心。蘋果公司的logo是一顆被坑了有口的蘋果，漫不經心又深入人心，見圖12。看似隨意的蘋果，卻充滿了邏輯與秩序。整顆蘋果都是嚴謹推敲出來的結果，葉子兩端的弧形到缺口的弧形到所有的弧形，都是由不同大小的圓組成的，這些不同大小的圓形按從小到大排序就是所謂的斐波那契數列。同理，icloud標識也是一樣的規律，整個云朵都是由大小不同的圓組成，這些圓從小到大排序形成了斐波那契數列。可以看出，偉大的工業設計公司幾十年前就在開始探討理性與感性共存的設計格局[9]。

阿道夫.穆龍經典的《絕不妥協》海報設計中，巧妙地運用了設計幾何學，見圖13。這不僅是設計理論與設計方法的成功，更是設計幾何學運用于設計實踐的成功。阿道夫.穆龍將采用抽象的女性的頭部形象運用在海報設計，使用較為簡單的幾何形體來概括女性頭像，深化其內涵。整個海報的版面采用1;根號2的比例，女性的眼睛正好在矩形的對角線上，將矩形分成48個單元格，海報上有許多幾何圖形，與水平線的角度為15°或45°，在女性的耳朵和嘴上作出的圓形的輔助線可以找到兩個大小相等的圓圈。

四、基于設計幾何學在產品設計中的實踐應用

根據“三層次理論”——即本能層、行為層、反思層。人們在使用產品過程中，必然會經歷這三個階段，在初級層中，用戶只對產品最直觀的感受以及最初的判斷;中級層中，用戶開始聚焦產品的功能、可用性與功能性等感知;在高級層中，用戶更注重精神要求，也就是產品在滿足功能的基礎之上，用戶會更追求產品的內涵、文化以及其他意義，見圖14。這就要求設計的產品中，出除了滿足物質功能之外，需要有深層次的內涵意義，設計幾何學指導下的產品設計恰好能滿足用戶對內涵的需求。

在座椅的造型與形態中，適度的比例是造型設計中最基本、最重要的原則之一[10]。將設計幾何學相關原理付諸于產品設計中，產品設計擁有了嚴謹、有秩序、規范的設計方法，使產品設計擁有理性指導下的和諧、統一與優美，摒棄以往停留在表面的、直覺的設計方法[11]。以設計幾何學相關原理為理論基礎，以黃金分割法為重要方法，借鑒成功設計案例，對家用休閑椅進行了設計與創新，見圖15。

該款家用休閑椅嚴格的遵守設計幾何學的相關原理，首先休閑椅在色彩搭配上，采用了粉灰與淺灰的色彩搭配，輕松活躍中透露著低調與嚴謹。休閑椅在材料運用上，采用鋼管結構、布料等現代材料作為休閑椅的主要使用材料。在整個家用椅造型設計上并不是憑直覺與感性設計的，而是經過理性、嚴謹、有邏輯、有秩序的方式得出的形體設計。正視圖與側視圖都處于長與寬之比為1.618黃金比例的黃金矩形中，整個形體正好內接在黃金矩形內。休閑椅的坐墊正好出于黃金矩形的黃金分割線上，將休閑座椅上方分割為正方形，將休閑座椅下方也完美地分割成另一個黃金矩形，見圖16。

整個休閑椅的倒角也是經過嚴謹的推敲形成的，見圖17。在休閑椅的側視圖中，鋼管結構的倒角與倒角的圓呈現黃金比例關系。支撐休閑椅的鋼結構的四處倒角由上下兩種不同大小的圓構成，上面的大圓直徑為下面小圓的1.618倍，在休閑椅的正視圖中，靠背上方兩邊也是由兩個大圓倒角而成，整個休閑椅的三處倒角圓分別命名為大、中、小，正好形成了這樣一套規律：大圓除以中圓=中圓除以小圓=1.618.....這種內在的規律賦予了整個休閑椅造型設計上的嚴謹與輕松的結合、理想與感性的結合、秩序與混沌的結合[12]。

休閑椅除了遵循相應的黃金比例以外，還隱藏著斐波那契規律。休閑椅從側視圖看，椅子靠背的最頂部的端點到椅子坐墊最前端的端點再到休閑椅最底部，最后到休閑椅靠背與休閑椅的桌墊的銜接處，正好形成了一條圓滑流暢的斐波那契螺旋線。將看似規整的休閑椅造型賦予了其運動感與邏輯感，形成了幾何學指導下的和諧、統一、循環與規律，見圖18。在幾何學的規范與約束下，休閑椅的造型設計形成一種感性工學，感性中滲透著理性與秩序，理性中滲透著感性與自由。

結論

將設計幾何學相關原理付諸于造型設計中，讓造型在具備藝術性，創意性的同時還擁有嚴謹又適度的比例[13]。讓造型設計生產活動更為邏輯、理性與秩序。設計幾何學既是大自然的杰作，又是人類的智慧，是大自然與人類結合的產物。“美”這個字雖然是一個非常復雜而抽象的概念，然而在幾何設計原則的指導下，形式更加和諧、統一和循環，可以明顯激發大眾的審美意志。在造型設計中，比例、形式和視覺美之間的關系是藝術創造和發展的關鍵[15]。在產品造型設計中，綜合運用設計幾何學，不僅可以成為設計師得到造型設計的工具與方法，更為后來的產品造型設計活動提供依據。因此，設計師必須熟悉動態矩形變換與幾何關系，充分理解設計中理性與感性的融合與平衡，才能更好地進行設計生產活動[16]。