注重整體設計 凸顯數與運算的一致性

陳惠芳

摘要：《義務教育數學課程標準（2022年版）》確立了核心素養導向的課程目標，強調課程內容組織“重點是對內容進行結構化整合，探索發展學生核心素養的路徑”，強調重視單元整體教學設計：“體現數學知識之間的內在邏輯關系，以及學習內容與核心素養表現的關聯。”教學中，教師要從課堂實踐出發，選擇典型案例，重點凸顯素養導向下的數學教學設計;要突出結構化、整體化，力求體現數與運算的一致性。

關鍵詞：整體設計;數與運算;一致性

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）確立了核心素養導向的課程目標，強調課程內容組織“重點是對內容進行結構化整合，探索發展學生核心素養的路徑，強調重視單元整體教學設計“體現數學知識之間的內在邏輯關系，以及學習內容與核心素養表現的關聯”。由此可見，素養導向下的數學教學實踐，尤其是小學階段的計算教學，教師要突出結構化、整體化，要體現數與運算的一致性。

一、打通關聯，凸顯理法相融

新課標在課程目標中強調了數學課程要培養學生的核心素養，具體要達到“會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界”這一要求。數學核心素養具有整體性、一致性和階段性。

例如，在教學 “小數加法和減法”時，教師不妨可以從整數加、減法切入，使學生從“計算單位”角度重新認識數，理解小數加減法的算理和算法，凸顯整數、小數、分數的理法相融。

新課伊始，教師可先讓學生回憶低、中年級時學過的“整十數加整十數30+20、一位小數加一位小數0.5+0.7，同分母分數加減法[28]+[58]”，提出問題：它們的算法和算理是怎樣的？以喚醒學生的已有知識和解決問題經驗。

接著，教師可出示教材例題，根據其中文具店里筆記本、講義夾、水彩筆等商品的單價，讓學生嘗試提出不同的問題。教師出示兩個問題和相應算式：一個講義夾和一本筆記本一共多少元？一個講義夾比一本筆記本多多少元？（4.75+3.4，4.75-3.4）

在學生嘗試探究時，教師指名兩個學生上臺板演：（如圖1）

在講評算理和算法時，教師可以讓學生說明理由，提問：第二種方法為什么是錯的呢？你能用自己的方法進行驗證嗎？

生：我利用原有元、角、分的知識來進行說明。4.75元，就是4元7角5分，3.4元就是3元4角，加起來，應該是8元1角5分。

生：我利用圖形來擺一擺，先用正方形分別表示出4.75和3.4，然后相加。利用幾何直觀可以發現，百分位上是5，十分位上是7個十分之一加4個十分之一，就是11個十分之一。因此，向個位進“1”，個位上“4和3合起來是7”，再加1就是8，結果也是8.15。

生：我要抓住“計數單位”來說明算理。4.75=4×1+7×0.1+5×0.01（就是4個1、7個0.1和5個0.01），3.4=3×1+4×0.1（就是3個1、4個0.1）。從這里可以看到，5個0.01就是0.05，7個0.1加4個0.1就是11個0.1（滿十進一），就是1個1和1個0.1。整數部分，4個1加3個1，就是7個1，合起來一共是8個1，1個0.1，5個0.01。

此時，教師可引導學生觀察這3種不同的解題方法與之前學過的整數加減法有什么相同的地方，同時追問：計算小數加減法要注意些什么？通過觀察、比較，學生清晰地看到，小數加減法與整數加減法的算理算法是一致的：小數加減法要把小數點對齊，這樣才能做到數位對齊。然后，教師引導學生重點從計數單位來分析、觀察，4.75和3.4分別表示什么意義？我們在計算時是如何相加的？這樣的分析與比較，一方面打通了“數域”之間的關聯，凸顯了算理算法的融通;另一方面，通過前面的復習導入到新課學習過程，學生經過嘗試練習、觀察比較，對整數、小數、分數加減法的計算一致性有了深刻體悟。

二、聚焦本質，實現經驗遷移

新課標在第三學段的教學提示中指出：通過整數的運算，感悟整數的性質;通過整數、小數、分數的運算，進一步感悟計數范圍在運算中的作用，感悟運算的一致性。小學階段的數與運算主要包括整數、小數、分數及其四則運算，從橫向（數的認識發展）與縱向（不同運算發展）的聯系看，在“分數除以整數”的教學中，教師可以幫助學生聚焦本質，從整數除法、分數意義、分數乘法入手，理解分數除法的意義和計算方法，實現經驗的有效遷移。

例如，教師在出示例題后，可以引導學生列出算式：[45]÷2 ，這個分數除以整數的題目，如何計算呢？教師請學生利用已有的知識經驗先嘗試解決。接著，教師選擇了三份不同的作品進行展示，讓三位“小老師”進行講解。

生：如圖2，我把[45]升果汁化成800毫升，800÷2=400（毫升），400毫升=[25]升。

教師指名兩名學生上臺板演。

師：為什么想到把[45]化成[1215]呢？

生：因為4÷3除不盡，所以根據分數的基本性質，把[45]先化成[1215]，12個[115]，平均分成3份，每份就是4個[115]。

教師對后一名學生的想法進行了肯定，隨即呈現了“小數除法”中的例題，當12除以5，第一次商是2余2的情況下，我們在余下的2后面添0 ，表示20個十分之一，繼續除下去， 20個十分之一除以5就是4個十分之一。所以，最后的商是2.4。

由此學生可得出，把整數除法的經驗遷移到小數除法、分數除法，同樣是適用的（如圖6）。教師引導學生在觀察、比較中探究算法，進一步聚焦計算的本質，感悟從計算單位入手，就能很好地理解一個數除以分數，為什么等于它乘以這個分數的倒數。

縱觀小學階段的計算學習，新知一般是在已有知識基礎上進行建構的。通過整數除法、小數除法的回憶，可以喚醒學生對已有除法的認識。當學生在計算[45]÷2和[45]÷3時，自然會產生方法上的遷移。通過計算單位的細分，學生可以借助幾何直觀來探索和理解其算理，主動生成算法，完成對一個數除以分數計算方法的意義建構，并感受到“基于計算單位的視角，整數除法、小數除法、分數除法在計算方法上具有一致性”的道理。

三、注重勾連，促進深度學習

運算律是小學數學計算教學中的重要內容，利用運算律可以幫助學生進行簡便計算，提高運算能力。蘇教版小學數學教材四年級下冊集中安排了加法交換律、結合律，乘法交換律、結合律、分配律。學生在初學這些內容時，往往掌握得不錯，但到期末復習階段或者小學六年級再來梳理運算律時，在作業練習中往往出現很多錯誤。通過調研，我發現造成這個問題的主要原因是在教學運算律時，教師往往忽略了知識之間的勾連，學生獲得的是碎片化的理解，導致其對運算律的理解不是很到位。如果站在一致性的角度，我們可以嘗試這樣來設計運算律的教學。

例如，在教學“乘法分配律”時，教師可將其分為六個板塊有序推進。

1.復習舊知。最近，老師帶領大家一起學習了加法、乘法的運算律。你能用字母表示嗎？

加法交換律，加法結合律：。主要適用于加法運算。

乘法交換律，乘法結合律。主要適用于乘法運算。

請同學們猜想一下：加法和乘法之間是否也存在一種運算律呢？你打算怎樣學？

2.創設情境。（情境一）慶祝“六一”節，學校給鼓號隊表演的33位同學，每人買了一套運動服，每件上衣75元，每件褲子45元。一共用了多少錢？

（情境二）學校擴建一個長方形的花壇。原來花壇長6米，寬2米，擴建后的長增加了3米，求現在花壇的面積是多少平方米？

學生嘗試練習、交流，教師引導學生通過圖形表征，分析每個算式的意義，并用文字表征的方法，初步歸納得到：75×33+45×33=（75+45）×33 ，（6+3）×2=6×2+3×2。有的學生嘗試用文字語言來描述：75×33加上45×33，等于75與45的和與33相乘;6與3的和與2相乘，等于6×2的積加上3×2的積。

此時，教師追問：“為什么每一個題目中左右兩個式子是相等的呢？（學生小組合作，嘗試進行驗證）”有的學生從實際意義來說明：33件上衣的價錢加上33件褲子的加錢，就等于33套運動服的總價;而右邊花壇的面積，我們既可以看作兩個小長方形的和（用左邊原來長方形的面積加上增加部分的面積），也可以從整體看（用現在的長乘原來的寬）。有的學生從計算結果來驗證，有的采用數形結合來驗證……其中，一位學生進行了這樣的推理：（6+3）×2=（6+3）+（6+3）=（6+6）+（3+3）=6×2+3×2。

基于這樣的分析，學生同樣可以根據（75+45）×33，得到33個75相乘加上33個34相乘……聯系乘法的意義去理解等式兩邊相等的道理。至此，無論從情境中的實際意義，還是從聯系圖形的幾何意及算理推導，到最后的乘法意義說明，學生都對兩個算式為什么左右相等，進行了解釋和驗證。

3.抽象概括。通過上面創設的情境，教師進一步引導學生把第一題、第二題的具體數字用字母來表示，再讓他們嘗試進行總結，借助幾何直觀，用字母表征。這樣可幫助學生從更為一般的層面來完整理解乘法對于加法的分配律的意義。

4.回顧梳理。課始的復習環節，教師引導學生得到的猜想，已經得到驗證。那么，我們剛才是怎么學習的呢？師生一起總結方法，進行鞏固練習。

5.縱橫勾連。教師啟發學生思考：在已往的學習中，哪些地方已經運用了乘法分配律？經過討論交流，師生一起回憶：原來在三年級學習計算長方形、正方形的周長、兩位數乘一位數的口算以及兩位數乘兩位數乘法等內容時，我們都已經運用了乘法分配律進行簡便計算。

6.拓展聯想。既然乘法對加法有運算律，那么，乘法對減法有運算律嗎？基于上面的學習和思考，學生也不難自主進行遷移。教師可引導學生觀察得到乘法對于減法的分配律，并從乘法意義的角度，再次進行驗證……

新課標在“課程內容”第二學段的教學提示中明確指出：通過實際問題和具體計算，引導學生用歸納的方法探索運算律，用字母表示運算律、感知運算律是確定算理和算法的重要依據，形成初步的代數思維。上面的教學設計，教師在學生已有經驗的基礎上，縱向勾連，橫向生長，激活了新知與舊知之間的聯系;運用數形結合，采用多元表征的方式，讓學生充分理解了乘法分配律的意義，凸顯了乘法分配律與乘法其他運算律實質性的區別;發展了推理能力，建構了模型思想，促進了學生的主動參與和深度學習。

參考文獻：

[1]王玉彬，姚穎.探索運算本質 構建運算聯系——數的運算“一致性”的探索實踐與研究[J].小學數學教育，2022（9）.

[2]鞏子坤，史寧中，張丹.義務教育數學課程標準修訂的新視角：數的概念與運算的一致性[J].課程.教材.教法，2022（7）.

（責任編輯：楊強）