高中數學立體幾何解題技巧教學分析

摘 要：立體幾何知識在當前新課改下的數學教學中有諸多應用，將其與相應的數學題型結合能夠獲得較好的解題效果，從而激發學生的數學學習欲望。文章基于這一課題，從引入立體幾何元素，培養學生空間思維;豐富立體幾何內容，提升學生數學能力;優化立體幾何教學，訓練學生的數學技巧這三個教學技巧出發，對高中數學立體幾何解題技巧教學展開具體探討。

關鍵詞：立體幾何;數學解題;教學方法

立體幾何是高中數學教學的重要內容。在該內容的教學中，傳統的數學課堂教學形式比較枯燥，難以激發高中生的學習熱情。教師要轉變教學思路，巧妙利用各種幾何元素，為學生創設多元的立體幾何解題情境，以此獲得良好的教學效果。為了提高學生的數學感知能力，培養他們的空間想象力，本文從立體幾何教學出發，對當前的數學課堂教學模式、教學策略做具體分析。

一、高中數學立體幾何解題技巧教學現狀

解題技巧是在解答題目過程中沉淀、總結和歸納得出的，能夠快速而準確地解決問題的方式方法。解答高中數學立體幾何題有很多技巧，學生使用相應的解題技巧，可以提升自己解答立體幾何題的正確率、解題速度等。因此，在當前的立體幾何教學中，許多教師開始關注解題技巧的應用，有意識地在教學中引入解題技巧;但仍然有部分教師不夠重視立體幾何題解題技巧的教學，缺乏對學生空間思維、數學能力等方面的關注，這對學生數學思維能力的提升是不利的。

二、高中數學立體幾何解題技巧教學的原則

一是學生主體原則。高中立體幾何解題技巧教學要聚焦學生主體地位，根據學生的實際情況來具體展開。換言之，學生主體原則是以學生為導向的教學模式。教育學認為每個學生都是學習的主體，而且學生具有個性化特征，即不同學生的智力水平、學習經歷、學習能力、基礎水平、學習習慣、學習興趣等存在一定差異。在立體幾何教學中，教師需要結合學生需求，將學生分為不同層次，在此基礎上為學生設計不同的立體幾何解題技巧學習方式，從而促進學生整體的提升[1]。

二是互動性原則，即在開展數學立體幾何解題技巧教學時，教師要做好與學生的互動。數學教師專業知識豐富，是學生學習立體幾何解題技巧的啟發者和組織者;而學生是數學立體幾何解題技巧的學習者，其能力存在一定的欠缺，這就要求學生和教師之間要建立密切的互動關系，在互動中實現立體幾何解題技巧的傳遞。

三是適切性原則。適切性一方面指的是教師講解的解題技巧要與學生所學知識相匹配，學生通過學習解題技巧能夠起到查漏補缺、提升學習效果、增強解題技能的作用;另一方面，教師講解的解題技巧要與學生的基礎能力相符，難度適中，符合學生的最近發展區。唯有如此，學生才能夠產生學習與探究的欲望和動力，才能夠在解題技巧學習中獲得真正的提升。

三、高中數學立體幾何解題技巧的教學對策

（一）引入立體幾何元素，培養學生的空間思維

空間思維能力的培養具有重要的意義和價值，它是解答立體幾何題的關鍵，也是每個學生應該加強的思維能力。具體而言，立體圖形需要學生用一定的空間思維能力對其進行想象和分析，通過對點、線、面的透徹理解和分析，找到更簡便的解題方式，從而得出答案。在立體幾何教學中，每個學生的思維方式不同，而立體幾何元素也是多種多樣的，這需要教師在教學過程中引入各種類型的數學例題，在數學例題中融入立體幾何元素，并切合不同學生的興趣點，兼顧不同學生的學習需求。當學生完成例題解答后，教師要進行多角度評析，對學生的結果給出反饋性評價，尤其是要對學生常見的錯誤進行講解和分析，總結錯誤根源，查找學生的解題漏洞，這樣才能進一步強化學生對知識的掌握與運用，加強學生的論證能力，降低他們解答立體幾何題的難度，增強他們學習數學的自信心。

例如，在立體幾何“點、線、面”章節的教學中，考慮到點、線、面都是比較抽象的元素，單純依靠教師的語言講解或書面解釋，學生很難透徹地理解點、線、面的本質。為了提高學生對點、線、面的認識，數學教師可以給出一個四棱錐P-ABCD（圖1），讓學生展開相應探究，如描述四棱錐P-ABCD的點、線、面，探討四棱錐P-ABCD的點、線、面之間有什么關系，等等。教師通過引導學生在由四棱錐P-ABCD建構的立體幾何空間中探索知識，培養他們的空間思維能力。比如，教師可以提出問題：線段AB垂直于線段AD，線段PA垂直于底面ABCD，點E在邊AD上，請利用數學知識證明線段CE垂直于平面PAD。通過圖像分析，學生可以得知，線段CE和線段AB是相互平行的，即CE∥AB，這是解題的突破口。學生再由CE∥AB推出CE垂直于AD，而AD與PA兩條直線相交于點A，最后得出線段CE垂直于平面PAD。在這一過程中，數學教師充分運用了立體幾何的空間特征，激發學生的思維，讓學生在四棱錐P-ABCD建構的幾何情境中思考和探究空間關系，最終獲得對問題的正確解答。學生在這一解題過程中，能不斷積累立體幾何圖形運用技巧與解題思路，提高解題能力[2]。

（二）豐富立體幾何內容，提升學生的數學能力

豐富的立體幾何內容能夠提高學生的知識整合能力、思維能力和解題能力。在實際的立體幾何題解題過程中，我們發現學生能通過解讀立體幾何信息來獲得解題能力的鍛煉和提升，其中，函數思維非常關鍵。在解答立體幾何題時，學生需要具備一定的函數思維，根據題目構建相關的函數關系式，再通過計算函數模型求出問題答案。雖然這一解題思路比較明確，但部分學生在將其應用于解決實際數學問題時還存在一定的不足，教師要重視引導學生對這一思路進行實踐和應用。比如，有一道立體幾何題：已知在球O（圖2）中，點P是球O的直徑AB上的動點，PA=x，過點P且與AB垂直的截面面積記為f（x），請利用立體幾何的數學知識來表示y=f（x）的表達式。這一題目需要學生利用函數思想來解答，屬于綜合類知識考查題目。

面對這道數學立體幾何題，學生如果缺乏一定的空間思維能力，就會不知道從何入手，筆者在執教時就發現有很多學生對這道題目一頭霧水。那么如何著手解答這一題目呢？首先，要觀察題目中給定的條件，明確題目考查的知識點，并對其中的知識點進行思考和分析。基于立體幾何的知識概念，教師可以先簡化題目，引入函數思想，幫助學生解決問題。具體的解答過程如下：

設截面圓的半徑為r，而球O的半徑為R。作圖，可以根據射影定理列出式子r2=-x2+2Rx，而f（x）是過動點P的截面圓面積，即f（x）=-π（x-R）2+πR2，這就表達出了最基礎的f（x）函數式，繼而可推出y=f（x）的表達式。

這一過程中，學生的思考需要在立體幾何思想與函數思想之間轉變，分析每條信息對解題的影響和價值。這一思路并不算難，學生掌握相應的思考流程就能很快地找到解題突破口，復雜的數學問題便能迎刃而解。在具體講解中，如果學生對解題過程存在疑惑，教師需要耐心為學生解答。如在分析題目階段，教師可以創設簡單的導入情境。如提出問題：“同學們，這道題給了我們哪些條件？你可以看出這道題目都考查了哪些知識嗎？”以此幫助數學基礎能力較弱的學生集中精力，理解該題目。在講解的過程中，教師要及時了解學生是否能夠順利得出本題的解題思路和應用相應的解題技巧;在講解結束之后，教師可以邀請數學基礎能力較強的學生探討是否有更多解題技巧可以用于解答該題目。通過這種分層關注與針對性教學，教師能夠全面培養學生的數學核心素養，促進學生的數學思維發展。

為了進一步強化學生對立體幾何題解題技巧的關注和應用，教師可以給學生布置相應的分層作業練習。如作業擬設計8道題目，其中3道是基礎性題目，難度中等偏下，主要是為了強化學生對立體幾何的理解，這些題目全班學生都有能力完成;設置3道考查學生是否能靈活應用立體幾何解題技巧的題目，題目難度中等，旨在提升和強化中等及中等以上學習能力的學生的學習能力;設置2道拓展題目，以知識應用為主，難度較大，旨在給數學基礎好、學有余力的學生完成，以提高他們的數學核心素養。

（三）優化立體幾何教學，訓練學生的數學技巧

數學解題技巧不是一朝一夕就能養成的，而是需要長期的引導與訓練。換言之，培養學生的空間思維能力是一個循序漸進的過程，對這一能力的培養應當滲透在日常教學中。教師要優化立體幾何教學模式，讓學生感受立體幾何的趣味性，學會自主、自覺地感受數學空間概念。當學生建立起完善的數學知識體系，他們在遇到數學問題時就能自主建立相應的空間坐標系，學會簡化數學問題。如果有數學基礎薄弱的學生暫時還不會構建空間坐標系，教師不要過于苛責他們，而是要耐心地指導和教育他們，并適當降低例題難度，讓數學例題更加貼近他們的學習基礎，避免他們出現學習能力止步不前的情況。立體幾何是抽象性極強的內容，僅靠理論知識講解是不夠的。如果條件允許，教師可以通過多媒體教學、創設故事情境、設計實踐情境等教學模式，直觀、形象地呈現立體幾何知識，為學生營造輕松愉悅的數學學習氛圍，學生的思維也會更加活躍。在這一過程中，教師要循序漸進地培養和提高學生的數學解題技巧，提升學生的數學綜合能力。

例如，有一空間四邊形ABCD（圖3），已知邊AD=BD，邊CB=CA，請利用數學幾何知識，證明圖中的線段AB垂直于平面DCE，并給出證明過程。這是一道抽象性較高的數學問題，類似題型是近年高考的熱點考查題型。這類題目看似簡單，實則包含很多細節，如果學生缺乏一定的解題技巧，就容易掉進出題者所設的圈套，難以證明題設。基于教學實踐，筆者發現不少數學能力中上等的學生也無法很快找到該題目的解決思路與方法。為了幫助學生理解，教師可以采用多媒體進行動態演示：取AB的中點E，將線段CE和線段DE連接。接著教師再分析證明過程，簡化作答流程，邀請學生來點評和分析多媒體動態演示這一解題方法。這樣學生在解決這一題目時就有了思路和解題的突破口，從而順利回憶起“等腰三角形底邊中線三線合一”等相關數學知識，合理解答問題，促進自身對立體幾何的理解。教師一定要注重對學生解題思維的引導與啟發，并與學生進行溝通，凸顯學生的學習主體地位。在講解完該題目后，教師可以進一步出示類似的題目，供學生練習和鞏固解題技巧。在學生解答的過程中，教師要給予其積極的指導，尤其是學生遇到難以理解的問題時，教師要給予學生更多的關注和積極開展錯題歸因分析，以發現立體幾何教學中的薄弱環節。

結語

綜上所述，數學是一門融合圖像、理論、計算等內容為一體的學科，對學生的感官能力、解題思維、計算技巧等都有著較高的要求。特別是高中階段的數學學習，學生若缺少對立體幾何知識的深入掌握，就難以樹立明確的數學學習方向。在日常教學活動中，教師要注重立體幾何元素的應用，培養學生的空間思維，通過新時期的教學素材，豐富立體幾何教學的內容。只有這樣才能不斷優化立體幾何解題技巧教學，在保證課堂教學效果的同時，全方位訓練學生的數學解題能力。

[參考文獻]

[1]陳優厚.高中數學立體幾何教學中對學生空間想象力的培養分析[J].考試周刊，2020（24）：43-44.

[2]王龍，周思波.基于數學核心素養的高中立體幾何學習評價分析：以2019年全國高考文科Ⅲ卷19題為例[J].數學教學研究，2020，39（1）：50-54.

作者簡介：徐詩淇（2002—），女，南京曉莊學院。