數形結合思想在初中數學解題中的若干應用

管衛偉

數形結合思想方法的掌握無論是對一個中學生來說還是其他義務教育階段的學生來講，都是尤為重要的。這種方法有助于教師在講解過程中展開教學，既可將知識點化繁為簡，又可以讓學生更好地理解數學問題[1]。將抽象、復雜的問題簡化，從而不斷增強學生數學思維的轉化與邏輯思維能力，準確地理解并掌握問題的本質;采取數形結合思想來求解比較煩瑣、抽象的題目，這個過程能夠幫助學生一步一步養成好的思維習慣，幫助他們記住并掌握所學的知識，培養其數形結合的思維和發散性思維，讓學生在學習此方法時不斷總結和歸納解題的對策。

一、以“形”助“數”

在初中數學解題過程中，會發現題中存在許多有關代數式的問題。由于初中階段的學生空間想象力較弱，無法通過轉換自己的思維解決這類問題，這時教師需要在課堂上對學生加以引導、啟發，使學生能夠自主地借助自己的空間想象力以及數形結合的思想來解決[2]。運用這種“以形助數”的方法來解決此類問題尤為必要。

例如，數形結合解決三角形的構成問題?！螧AC=30°，AB=10?，F請你給定線段BC的長，使構成的△ABC能唯一確定。你認為BC的長可以是_______，________。

分析求解：觀察題目信息，這是一個求解代數式的問題，并且這是一個關于三角形的構成問題，需要結合圖形進一步解決。學生在做此類問題時可以通過動手擺動三根木棒，發現不是任意的三根木棒都能使它構成一個封閉的三角形，運用木棒可以將抽象的問題轉變成更形象的問題得以解決。

當BC<5時，不能構成△ABC;

當BC=5時，構成的△ABC能唯一確定;

當時5當BC≥10時，構成的三角形能唯一確定;

綜上所述，當BC=5或BC≥10時，構成的△ABC能唯一確定。

二、以“數”解“形”

數形結合可以將難以解決的數學問題輕而易舉地解決。讓我們獲取更多的信息及知識，進而運用“數”使圖形精確化。

初中數學學習中，有許多關于圖形與數字結合需要運用數形結合思維來解決的數學問題，可以運用平面直角坐標系和思維方法，解決有關三角形構成的相關問題、借助勾股定理來證明直角三角形的問題以及求解一個函數的解析式與圖象性質的問題等。這些問題具有高度的抽象性，學生需要有一定的抽象思維和空間想象力，運用以數解形的方法解決數學問題。

例如，探究數字變化的問題。如圖1所示，把形狀大小相同的小石子擺放成如下圖所示，按照這樣的規律擺下去，則第n個圖形需要小石子的總數是多少？

分析求解：首先對這個問題進行分析并觀察這幾個圖形，發現都是規則的特殊圖形，并且每個圖形小石子的總數為每條邊上小石子的顆數乘以邊數，但各條邊的頂點重復了一次，為保證不重復應該減去重復頂點位置的小石子，第一個圖形是一個規則圖形即三角形，通過數邊共有3條邊上有小石子，每條邊上有2顆小石子，一共重復了3顆小石子，需要小石子的總數為（2×3-3）顆。

第二個圖形是一個規則的四邊形，通過數邊共有4條上有小石子，每條邊上有3顆小石子，一共重復了4顆小石子，需要小石子為（3×4-4）顆。

第三個圖形是一個規則的五邊形，通過數邊共有5條邊上有小石子，每條邊上有4顆小石子，一共重復了5顆小石子，需要小石子為（4×5-5）顆。

按照這樣的規律擺下去，則第n個圖形需要小石子的顆數是（n-1）（n+2）-（n+2）=n（n+2）。

故答案為n（n+2）=n2+2n。

綜上分析，在初中數學問題中，學生對一些較復雜抽象的數學問題存在解決的困難，利用數形結合思想能夠不斷地開闊學生的數學知識視野，使學生養成運用數形結合思維解決問題的良好習慣，讓他們深刻地體會到運用數形結合思想方法解題的重要性及靈活性，能夠做到學以致用。

參考文獻：

[1]徐玉嬋.數形結合思想在初中數學解題中的應用[A].教師教育論壇（第五輯）[C]，2019.

[2]童琛菲.數形結合思想在初中數學解題教學中的滲透策略[J].數學學習與研究（教研版），2020（3）：114.