運用數形結合思想處理初中數學二次函數問題的探究

黃清山

本文結合具體教學例題，對數形結合思想在初中數學二次函數教學中的具體應用進行了詳細的分析論述，旨在通過此次研究分析，明確數形結合這一教學思想的具體價值，提升二次函數教學的效果，幫助學生更好地建立數學思維。

二次函數是初中階段數學教學中非常重要的一個知識點，也是教學重難點之一。由于函數知識相對比較抽象，因此很多學生對知識點的理解不是很到位。若想解決學生在學習過程中出現的問題，當前最為有效的教學方式就是通過數形結合的教學思想，鞏固學生對函數的理解，讓學生具體理解二次函數的性質，使知識點之間的橫向連接更加緊密。運用數形結合思想，可以將復雜的函數問題進行簡單化處理，推動學生抽象思維能力的優化形成，強化學生的數學解題能力，為后續階段更為復雜的函數學習打下堅實的基礎?；诖?，對數形結合思想在二次函數教學中的具體應用進行詳細的分析。

一、數形結合思想的具體概念

數形結合思想是初中數學教學中非常重要的教學思想之一，其內容為“以形助數，以數輔形”。著名數學家華羅庚也對數形結合的思想進行了深入的研究，他認為，“數以形而直觀，形以數而入微”，這在根本上肯定了數形結合思想在數學教學中的價值。數形結合思想的運用主要分為兩個方面，第一方面是通過圖形的直觀性來明確數和數之間的聯系，將圖形作為教學的主要手段，數作為教學的主要目的;第二方面是通過數的規范性和嚴密性來明確圖形的具體屬性。這樣一來，通過數形之間的全面轉化，將一些復雜的數學問題進行簡單化處理，并將抽象的數學問題變得更加具體。數形結合作為初中數學教學應用最為廣泛的教學思想之一，對于培養學生的數學思維、建立數學學科素養有著舉足輕重的作用。

二、數形結合思想在初中數學教學中的主要作用

目前，數形結合思想在初中數學教學中的使用非常頻繁，已經全面融入了教學內容中。通過數形結合思想開展教學，首先能夠提高學生的學習注意力，利用圖形直觀性的優勢，避免了學生由于代數抽象性的原因注意力不集中。同時，教師應用數形結合思想還能夠提升學生的學習趣味性，全面激發學生的學習興趣和學習熱情，提升學生的空間整合性思維，增強數學分析的能力。

具體來看，數形結合思想在初中數學函數問題教學中有獨特的價值，目前已經成為初中函數教學中最主要的方式。數形結合思想極大地簡化了與函數相關的單一型或復合型數學題目的解題步驟，以最簡單清晰的方式解決數學問題。此外，針對一些應用性比較強的題目，數形結合思想能夠幫助學生更好地理解題目的含義。最后，在函數不等式這一教學難點上，數形結合思想也發揮著非常突出的價值，可以利用圖像確定取值范圍。

三、數形結合思想在初中數學二次函數教學中的具體應用策略

（一）鞏固學生對函數概念的理解

初中階段的數學教學，要求學生全面掌握函數的常量、變量，明確函數的具體意義，并精確分辨函數的常量和變量之間的關系。為了加深學生對函數知識的理解，教材中也加入了很多生活化的例子，例如，一天當中氣溫的變化趨勢，快遞重量與郵費之間的變化關系等。通過這些例子，引導學生得出函數的一個量是隨著另一個量的變化而產生變化的結論，并讓學生理解函數在我們的生活中是大量存在的，從而認識到函數概念構建的必要性。在傳統化教學方式下，學生對函數概念的理解是非常機械化的。例如，在一次函數和反比例函數的學習上，學生利用函數的表達式可以對變量之間的函數關系進行判斷，但是這種方式并不能讓學生探索兩個數量之間變化關系的具體區別，一旦遇到全新的問題，就無法構建函數模型來解決問題。這種現象從本質上來看，就是沒有建立相應的函數思想理念，對于函數模型的應用能力掌控不足，對函數知識板塊的整體理解是有問題的。而在數形結合思想的幫助下，學生對函數的理解會更加全面，針對不同的問題，可以靈活運用函數的全部知識點構建函數模型，最終解決相關問題。

例如，在二次函數的概念認知方面，教師可以舉一些生活中的例子，通過生動形象的示例來明確二次函數所表述的關系。學生在探尋變量之間關系的過程中，就可以得到函數的解析表達式。表示函數關系的方法有很多種，具體來看有解析法、列表法、圖象法，教師要將這些函數的表現形式都展現在課堂中，并將函數當中的有序實數對和函數圖象上的點進行一一對應，這樣通過數形結合的方式，幫助學生加深對函數的理解。鑒于這種情況，教師需要在學生得出函數表達式之后，找到各個數量之間的具體變化關系，之后使用平面直角坐標，將數轉化成為圖象上的點。這樣的話，就可以通過圖象看到函數數量之間的變化情況，也就實現了從數到形，再從形到數的轉化。并且通過圖象，教師可以讓學生深刻理解二次函數所展現的具體變化關系，明確與其他類型函數的不同點。同時理解數值的取值范圍與圖象變化之間的關聯情況，最終將數和形形成一個對應的關系。

（二）通過圖形全面理解二次函數的性質

二次函數當中的自變量和因變量的變化都是非常抽象的，如果單純從表達式和文字的角度去理解的話，學生對性質的把握不準確。因此，教師需要通過數形結合的方式，讓學生將函數具體的曲線畫出來，并找到圖象中對應的數值，進而讓學生深刻地理解二次函數的具體性質。

在二次函數性質的課堂教學中，教師首先要引導學生列出表格對數據的特點進行分析，之后根據表格數據指導學生自己畫出函數的曲線，將函數表達式的具體特性展現在圖象中。

通過這種數和形轉換過程中的訓練，學生在繪制圖象時就能夠對二次函數的性質進行整合思考。此外，學生在學習二次函數性質時，首先要對基本圖象充分了解，指導學生利用圖象的移動感受性質變化的具體過程，同時明確常數在二次函數圖象當中的作用，了解每一種二次函數圖象的開口方向。通過對二次函數常數的變化以及圖形變化關系的觀察，學生就可以很清楚地了解二次函數圖象變化的具體規律，按照圖象的特性，確定二次函數表達式中變量的取值狀況。同時教師在教學過程中需要注意的是，雖然圖形與表達式相比更加直觀具體，但是如果明晰二次函數的具體性質，如圖象的頂點坐標位置，以及和x軸與y軸的交點坐標位置等，就需要通過代數的精確計算來實現圖形轉化為數的形式。針對二次函數的具體變化，通過數形結合的方式都能夠達到意想不到的效果，因此通過數形結合的方式理解二次函數的性質，不僅可以將抽象的知識抽絲剝繭，以直觀的方式展現在學生眼前，同時還能給學生帶來準確的理性認知，將數學知識運用得更加靈活，高效準確地解決各類數學問題。

例如，以下題目：一條拋物線y=ax2和四條直線x=1，x=2，y=1，y=2所圍成的正方形存在公共點，那么a的取值范圍應當是多少？這道題如果單純從代數的角度去思考的話，是很難解出來的，而一旦畫出圖象，這道題的解題難度就會降低很多，按照題目畫出的圖象如下：

通過圖象，我們可以發現四個交點的坐標為A（1，2）、B（2，2）、C（1，1）、D（2，1），而拋物線y=ax2是開口向上的，也就是a>0。如果y=ax2經過D點時開口是最大的，那么將坐標代入可以得到a=1/4;如果y=ax2經過A點時開口最小，那么將坐標代入就可以得到a=2。因此我們就可以確定a的取值范圍1/4≤a≤2。因此我們可以看到，通過圖象解決這個問題是非常輕松的。因此我們在教學和解題訓練中，一定要注重利用數形結合的思想，通過最便捷的方式進行解題。

（三）構建二次函數知識點之間緊密的橫向聯系

數學是一門知識點連接非常緊密的學科，二次函數的知識點和一元二次方程以及一元二次不等式之間的聯系都非常緊密。如何幫助學生正確理解這些知識點之間的關系，是教師的教學重難點之一。在這種情況下，教師就需要通過數形結合的思想將這些知識點之間的聯系都直觀地反映出來，最終提升學生的數學解題和綜合分析能力。事實上，數形結合思想可以最大限度地提升學生的解題能力和研究分析能力，通過數形結合的方式，學生本身的數學認知結構和知識脈絡都會更加清晰，并幫助學生形成數學問題遷移與聯想的能力。

例如，下面的這道例題：直線y=x+k和拋物線y=3x2+5x+1存在兩個交點，求k的取值范圍為多少。這道題實際上考查的是二次函數和一元二次方程組x+k=03x2+5x+1=0之間的聯系，其目的是求兩個方程之間的公共解。因此可以按照題目的說明列出一元二次方程組，之后對這個方程組進行求解，就能夠完成數形之間的合理轉化，以最簡單的方式進行解題。在后續的解題步驟中，該方程組進行聯立之后通過移項處理得到圖形。按照題目的意思，該方程有兩個不相等的實數根，因此可以得到k>0，這樣通過簡單的計算，k的具體取值范圍就能夠確定了。

（四）解決進階性二次函數問題

關于二次函數的考點，最難的就是函數拋物線的平移，這也是初中數學應試當中的“拔高題”。很多學生一碰到這種題，就會自覺地打起退堂鼓。其實這種類型的問題通過數形結合思想是非常容易解決的。比如，將拋物線y=2x2向右平移2個單位和向下平移3個單位，問這個拋物線的函數表達式是什么。這種問題如果不通過圖象的方式求解的話，可能會需要耗費很多的時間。而結合圖象就可以在圖象上直接進行移動操作，最終得到平移后的拋物線為y=2（x-2）2-3。而且通過圖象的移動，學生還能夠得到拋物線平移的一個規律，那就是向左右移動的話，需要在變量x的后面進行加減;向上下移動的話，則需要在整個函數表達式的后面進行加減。

關于函數拋物線平移的問題，還有很多種考查方法，如這道例題：已知函數y=ax2+bx+c（a≠0）的函數圖象經過點A（1，2）、B（3，2）、C（5，7），如果點D（-2，y1）、E（-1，y2）、M（8，y3），同樣在該函數圖象中，那么y1、y2、y3之間的大小關系是什么樣的？在傳統解法下，這道題的求解首先要充分利用題干當中的條件，代入A、B、C三個點的坐標得到函數的表達式，之后再將D、E、F的x軸坐標值代入函數中依次求得y1、y2、y3的值。這種解法需要大量的計算，如果通過數形結合的方式，那么解答起來就會更加簡單。通過A、B、C這三個點的坐標就可以明確該拋物線的對稱軸是x=2，開口的方向是朝上的。所以在對稱軸的左側，也就是x的值小于2的情況下，y的值會伴隨著x的增大而減小;與此相反在x的值大于2的情況下，y的值會伴隨著x的增大而增大。因此通過圖象我們就可以得出y1>y2的結論。同時點F與對稱軸之間的距離大于點E到對稱軸的距離，由此可以判斷出三者大小關系y1總之，數形結合思想滲透于整個二次函數的教學，其具體事例舉不勝舉。教師應在日常的教學過程中，通過引導學生準確理解二次函數的圖象及其性質，找準解題的突破口并正確地進行數形之間的轉化，讓學生逐步掌握運用數形結合思想解題的方法，實現學生數學素養的提高。

注：本文系泉州市教育科學“十四五”規劃（第一批）立項課題“數形結合思想在初中數學教學中的應用路徑研究”（QG1451-086）的研究成果之一。