數學的力量：讓我們成為更好的人

李孝輝

《數學的力量：讓我們成為更好的人》一書的作者弗朗西斯·蘇的父母都是華人，他在2015年成為美國數學協會（MAA）有史以來的首位非白人會長，是一位卓有成就的數學家。

他在即將卸任MAA會長時發表了一場令人動容、引起轟動的告別演講。他在演講中將數學描述成通往人類繁榮的大道，認為對數學的探尋能滿足人類的五種基本需求：游戲、美、真理、公正和愛。本書是在這個演講的基礎上拓展而成的。

數學對一個人的意義到底在哪里？一個等價的問題是數學到底有怎樣的育人功能。

與抽象地強調“數學在形成人的理性思維、科學精神和促進個人智力發展的過程中有著不可替代作用”不同，弗朗西斯認為應該從了解“數學是如何與人類心靈深處的渴望緊密相連的”入手去討論數學是什么、為什么要學數學。

弗朗西斯的答案是“數學促進人類的繁榮”，而“人類的繁榮”則指存在和行為相互統一，人人都能發揮自己的潛能并幫助他人實現潛能，有尊嚴地行事，并維護他人的尊嚴，即便在充滿挑戰的環境中，也保持正直的人格。

何實現人類的繁榮？弗朗西斯推崇亞里士多德的觀點——繁榮來自美德的實踐，并認為“正確的數學實踐，可以培養出有助于人類繁榮的美德”。

那么，正確的數學實踐培養了哪些有助于人類繁榮的美德呢？弗朗西斯在本書中給出了全面而深刻的闡述。他認為，數學研究的核心意義在于探索和理解。

探索是人類心靈深處的渴望，也是人類繁榮的標志。探索培養了想象力的美德，激發了創造力的美德，孕育出對迷人魅力的期待。

理解是對事物意義的追求，它造就了重要的美德：第一，構建故事的美德（這里的“故事”某種意義上可以理解為背景、情景、關系、聯系等，通過“故事”把各種想法聯系起來，實現數學的意義建構，將“故事”融入新知識使其具有生命力）;第二，抽象思維的美德（抽象，通過在兩個具有類似結構或相似表現的事物之間建立聯系而豐富事物的意義）;第三，對意義的追求產生了堅持和沉思的附加美德。他指出，辨明一個想法的意義需要持久思考，這是解決問題的艱苦工作，你必須坐下來專注于一個數學問題，并對其冥思苦想，這樣你會形成思想的關聯，并構建故事來解釋你所看到的規律。

數學的意義遠不止它的效用，而數學之美，正是通過我們從一個視角轉向另一個視角，在反思一個思想的多重意義的過程中找到的。因此，弗朗西斯認為，“數學是規律的科學，也是賦予這些規律意義的藝術”。

探索和理解是正確的數學實踐的核心。反觀我們的數學課堂，可以發現，探索和理解淪為副歌，而記憶加模仿卻成了主旋律。

如何改變這種狀況？弗朗西斯認為，成為一名數學探索者的唯一要求是擁有能夠提出“為什么？怎么樣？如果……那么……”之類問題的能力。只要有機會，我們就要反駁數學即記憶的觀點，并用數學即探索的觀點取代它。

一個數學記憶者不知道如何應對不熟悉的情形，但一個數學探索者可以靈活地適應不斷變化著的條件，因為他已學會提出問題，而這將使他在面對陌生情況時能從容應對。所以，改變課堂從培養學生的提問能力開始。

同時，為了造就構建故事和抽象思維的美德，培養堅持和沉思的美德，我們必須把“意義的追求”作為課堂的核心任務。

在新課程實施過程中，我們曾經提出如下觀點：以研究一個數學對象的“基本套路”為指導，設計出體現數學的整體性、邏輯的連貫性、思想的一致性、方法的普適性、思維的系統性的系列化數學活動，引導學生通過對現實問題的數學抽象獲得數學對象，構建研究數學對象的基本路徑，發現值得研究的數學問題，探尋解決問題的數學方法，獲得有價值的數學結論，建立數學模型解決問題。要使學生掌握抽象數學對象、發現和提出數學問題的方法，將此作為教學的關鍵任務，以實現從“知其然”到“知其所以然”再到“何由以知其所以然”的跨越。

對照弗朗西斯的觀點，可以發現，我們所強調的也是“探索和意義的追求”，與他注重的“正確的數學實踐”不謀而合。

那么，從數學認知活動的角度看，數學教學中到底應以怎樣的方式來開展“正確的數學實踐”呢？弗朗西斯認為，正確的數學實踐應基于人類心靈深處的渴望。

他在本書中討論了源于人類心靈深處的渴望、標志著人類繁榮的人的深層次需求與數學的聯系，包括探索、意義、游戲、美、永恒、真理、奮斗、力量、公正、自由、團體、愛等。他認為，如果這些需求得到滿足，那么越來越多的、來自各種背景的人就會被吸引到數學王國中來。

可以看到，這些需求與數學的聯系，許多都是我們熟悉的，例如通過數學滿足對真理、美、永恒、力量、自由等的需求，但也有一些是我們比較陌生的，例如公正、愛、游戲等。下面以建立游戲與數學的聯系為例，看看我們應該以怎樣的方式實現正確的數學實踐。

游戲的這些特征在數學的探索中是如何體現的呢？

弗朗西斯認為，數學使大腦成為游戲的樂園。數學探索是一種引人入勝的游戲：在探索規律、培養對事物運作方式的好奇心的過程中，樂趣將隨著各種想法的出現而得到激發。

數學家陳省身說“數學好玩”，這也是弗朗西斯的觀點，看來這是數學研究者的共同體驗。數學家對一個項目的研究通常也是源于“好玩”：思考規律，玩味想法，探究何為真實，并享受來自過程的各種驚喜。

在探索過程中，數學游戲培養了好奇心、發展了專注力，這是一種強烈的充滿愉悅的精神活動，可以避開日常生活的紛擾。

數學游戲培養了努力中的自信——你知道努力是怎樣的，因為你已習慣于此并樂于接受，你意識到如果自己的大腦因努力而疼痛，那么它就是令人愉悅的思維活動。數學游戲培養了等待過程中的耐心，一個數學問題的解決也許需要幾年時間，直到你發現它的結果。

數學游戲培養了毅力，每周的數學探究使我們更迫切地迎接下一個問題，不論它是什么。數學游戲培養了轉換觀點的能力，使我們能從多個視角看問題，形成一種為社會做出貢獻的開放精神。

游戲是我們作為人類的一種本質需求，對數學游戲的渴望會吸引人們去研究并享受數學，在研究和享受數學的過程中使希望、好奇心、專注力、自信、耐心、毅力和開放的態度等美德得到培養。

弗朗西斯的這些觀點醍醐灌頂，極具啟發性，使我們清晰地看到當下流行的“刷題教學”是如何扼殺學生的天性、傷害學生對數學研究的渴望，又是如何背離數學育人的本來目標的。這樣的教學把數學當成了一堆冷冰冰的法則，根本不存在數學游戲中出現的那種跌宕起伏、令人心跳的過程，使弗朗西斯所描繪的希望、好奇心、專注力、自信、耐心、毅力和開放的態度等美德的培養失去土壤，必將湮滅學生對數學的內心渴望之火。

如果我們的教學能充分利用“好玩”這一數學本性，通過有數學含金量的問題對學生形成真正的智力挑戰，把學生對游戲這一人類的深層渴望激發出來，那么好玩的數學就能鼓勵他們去嘗試，無聊的“刷題”也就能轉化成一次次令人興奮的探索和規律、意義的追尋，這樣，有助于人類美德的培養也就自然而然、水到渠成了。