立體幾何中常見解題誤區透視

李昭平

立體幾何是高考考查的重要內容之一，它涉及面廣、對空間想象力要求高、綜合性較強，能有效考查考生的直觀想象、邏輯推理和數學運算核心素養. 正因為如此，解題中往往會出現這樣或那樣的錯誤，有的錯誤還不易察覺. 現透視常見的十種解題誤區，請注意防范.

誤區1：忽視兩點間的位置關系

例1. 已知異面直線l1，l2都垂直于線段AB，A、B分別為垂足，點C在l1上，點D在l2上，若AB=4，AC=8，BD=6，l1，l2所成的角為60°，求C、D兩點間的距離.

錯解：如圖1，過點B作l∥l1，過點C作CE⊥l于E，連接DE.

在？駐BDE中，BE=AC=8，BD=6，∠EBD=60°，

可以求出? DE=2.

在直角三角形CDE中，CE=AB=4，DE=2，所以CD==2.

即C、D兩點間的距離是2.

評析：本題沒有明確C，D兩點的位置，應分C，D在AB同側和AB兩側考慮. 求點點距離的常見方法是將相關的線進行適當的平移轉化到同一個三角形中處理，此三角形應含有邊CD，到底如何平移空間的線是關鍵.

正解：當C，D在AB同側時，如圖2，CD==? ? ? 2. 當C，D在AB兩側時，在？駐BDE中，BE=AC=8，BD=6，∠EBD=120°，

可以求出DE =2.

在直角三角形CDE中，CE=AB=4，DE=2，

所以CD==2. 故C、D兩點間的距離是2或2.

誤區2：忽視線線角的意義

例2. 在空間四邊形ABCD中，AC=BD=a，AC與BD所成的角為60°，M、N分別為AB、CD的中點，則線段MN的長度等于? ? ? ? ? ? .

錯解：如圖3，取BC中點E，連接ME、NE. 由已知，得ME∥AC，NE∥BD .

因為AC與BD所成的角為60°，所以∠MEN=60°.

因為AC=BD=a，所以ME=NE=a，即？駐MEN為等邊三角形，故MN=a . 故線段MN的長度等于a .

評析：錯在將三角形的內角視為空間兩條直線所成的角.其實，線線角的范圍是[0°，90°]，圖中∠MEN不一定是直線AC與BD所成的角，也可以是它的補角，這是一個易錯點.

正解：因為AC與BD所成的角為60°，所以∠MEN=60°或∠MEN=120°.

（1）若∠MEN=60°， 因AC=BD=a，所以ME=NE=a，即？駐MEN為等邊三角形，故MN=a .

（2）若∠MEN=120°，因AC=BD=a，所以ME=NE=a，即？駐MEN是頂角為120°的等腰三角形，易得：