小學數學數形結合思想的運用與教學分析

梁雪梅

數形融合，是指通過數上構形或形中覓數來求解的一類思維方式。在小學數學課程中，它既是一個主要的數學思維理論與方式，也是一個認識數學、學好數學的有效手段。人們在研究數的時候，總是要通過對形狀的直接認識來分析，使數更加清澈、透徹;而在研究形的時候，則總是偏離數的內在實質。所以，在小學數學課程中有機地滲入了數形融合思想，通過探索數和形間的聯系，就可以使疑難定義、困難問題都豁然開朗、迎刃而解。

1. 以形悟數，在直觀中建立概念

數概念是數理經驗的種子，是發展學生思維能力的重要源頭。所以，學校在教育抽象化的數概念時，應用圖形的直觀形式來表現數的精確，讓學生在認識概念的同時抽象出數概念的內容和外延，以便形成合理的、科學的數概念。在案例1：人教版四年級下冊“小數的近似數”中，強調“在表示接近數時，小數結尾的零不能去掉”。學生雖然能記住這種概念，但很容易和小數的性質（小數的末尾添上零或去掉零，小數的大小不變）混淆。如何引導學生比較近似值七點八和七點八零的異同點呢？教學中筆者在數軸上表示出接近似值七點八和七點八零的取值范圍，讓學生更清楚地看出了為什么以七點八零結尾的零沒有去除，同時又深切地感受到七點八零比七點八更精確。而通過用幾何軸直接、形象的解析，不但有助于學生掌握接近數的定義，同時也在學生頭腦中形成了小數與接近值的模型，對精確到小數的位號有了更本質的理解。

2. 以形解數，在連接中體悟方法

小學生的基本邏輯思考主要以表象思考為主，而抽象式思考則相對薄弱。在課堂教學中，將抽象式的數量關系通過直接的形象圖來表現，可以做到化隱為顯、化難為易，以便于將某些數學問題加以合理地轉化，使解法思路更為明確了。在案例2：教學人教版四年級下冊的“乘法分配律”后，發現了“1997×2013-1996×2014”一題。因為題目中的數值相當大，直接運算相當困難且易出錯，所以必須分二次使用乘法分配律來運算，能掌握的學生很少。于是筆者將這道題通過代數變形法加以教學，形象而直接地表示了此題的含義，準確率也大大提高了。在課堂教學時，利用圖形展開了下面的教學內容：長方形ABCD和正方形AEFG，其中CD=2013， AD=1997， AE=2014， EF=1996。由圖可知，由于ABHG是二正方形交叉的區域，所以我們可以將原始的計算方式轉換為求二正方形的面積之差，亦即求正方形GDCH與長方形BEFH的積面之差，通過幾何學直接方便地得到正方形GDCH與正方形BEFH的寬都為1，所以，兩者之差：2013×1-1996×1=17。經過如此直觀、形象的剖析，學生從數和形的連接中充分體會到了解題策略的多樣性。

3. 以形構數，在過程中探究奧秘

數與形是研究的兩種對象，在處理某些抽象的、繁雜的、不好理解的教育問題時，運用形象、直接的來闡述繁雜、抽象思考的數學教育問題，在數上構形、形中覓數，使繁雜提問簡潔化、抽象思考提問具體，化難為易，化抽象思考為直接，既充分調動了學生學習趣味，也促使了學習者思想能力的提高。案例3：人教版六年級上冊“數學廣角”解決特殊的分數加法計算：…在教學活動中，讓學生通過仔細地觀察計算中加數之間有哪些規律，然后依序類推，將無限多個加數相加，到底之和是什么？然后指導學生通過畫圖來思考，以此突出圖畫的重要性。可以將一長方形作為1，先取，然后取再加下去，就這么一直不斷地加下去，發現這樣一直不斷加下去，直到空白部分愈來愈小，一部分學生就縮小得沒有了，而陰影部分也占滿了整個長方形，很自然地得出了它的和無限逼近一，也就是等于一的道理。如此，通過數與形的結合，既使學生從繪畫中探索了數學的奧妙，也在探索的過程中更深入地體會極限的思維，從而體驗了探索數學奧妙的趣味過程。

4. 以數顯形，在觀察中理解本質

在小學數學計算教學中，有意識地用形來引導學生從觀察中，找出了計算背后所蘊藏的算理，以之來揭示計算的全過程，讓學習者從觀察中真正掌握和領會。案例4：六年級下冊“數與形”中的基本計算題：1+2+3+…+99+100+99+…+3+2+1=？和1+3+5+…+197+199=？指導學生將其中的每一個加數都設想為一點，并通過從點陣圖中的分布中去探索、去觀察，進而找到以另一種視角去思維的經典方法。由上到下一層一層數，就可以得到：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1，然后再仔細觀察，圖四按順時針方向轉動約45°就得出圖四中直視的所有正方形點陣圖形，也可以得出總數為10×10=100。然后再按照圖四由下向上沿著折線數，便可得到結果：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19。仔細觀察圖形，可以找到這二題都可以用同一方法10×10=100來運算的規律性。正是通過這樣的教育方法，不但讓學生看到了不同的運算可以用同一的形式來表現其所包含的本質，而且讓學生可以從觀察中發現數和形的一一對應性，更深入地感悟到了計算方法的多樣性。

5. 以數想形，在對比中抽象本真

在實際課程中，學習者在樹立形象后，一般用數的抽象特征來解決形的直觀問題，而很少從多角度去探究概念和思維的本質本真。但實踐證明，賦予了學習者充分的學習時間，使學習者把握數的具體特征，在探究過程中從各種視角去想象、分析、思維，從比較、概括過程中逐漸理解概念、抽出實質，以使學習者的空間觀得以發揮，思維能力也得以訓練。案例5：根據人教版五年級數學課本“三角形的面積”的教學內容，在給出三角形的面積公式后，有助于學習者理解“同底等高的三角形面積相同”這一特性。首先讓學生進行測量下三角形的面積，再讓學生進行想象，底為六高為四的三角形就只有這一個嗎？若不只一個，還可能是怎樣的？讓每個學生都進行頭腦大風暴，在對照中一一呈現。幫助學生從這個外形截然不同的三角形中展開比較，慢慢領會“同底等高的三角體積都相同”這一特性的本真。

6. 以數釋形，在明理中構建概念

圖象直接、形象地把握著人的視線，在數學課堂中也是這樣，但在有些教學實踐過程中，教師單純地憑直接圖像展示數學課堂，有時非但無法很好地理解圖像，也無法掌握圖像背后的精神，有時甚至影響到數學課堂的本真。這時，教師需用數來闡釋圖像的價值和圖像后所蘊含的特點、規律等，讓學習者更好地認識圖象，從而使形達到更好的教學效果。案例6：在人教版六年級下冊“圖像的擴大與變小”課程中，教師給出了幾樣不同尺寸的長方形國旗，并詢問學習者：這幾幅圖中，哪幾幅看上去舒適，外形也一致？原因為何？在這些提問的引導下，學習者初步了解在實際生活中什么外形是正規的。在此基礎上，進一步讓學習者去探究長擴大的倍數是否與寬擴大的倍數相等。體會擴大和變小的“大小不同，外形相同”，以便更加理解比的實質意義和比在實際生活中的運用，為以后的教學打下了基礎。

7. 數形互譯，在融合中構建新知

數與形相融合的實例，在小學數學課程與教材中比比皆是。在數學課程中，將算理定義和運算常用數與形一一對接，讓學習者切身地感受進行算理的流程，從而深入了解算理的實質;在定義課程中，通過數形結合，幫助學生在了解定義的同時，以形的直觀來增進對數的認識，并以數的真實來提升學習者對形的體驗，使其更進一步地構建數理新知;在計算數學廣角的課程中，更離不開數與形的融合，通過數與形讓學習者在認識的深入程度上降低了認識困難，從而增強了解題的能力。案例7：在人教版六年級上冊“數學廣角”的練習題中發現了完全平方公式，用現代小學知識點怎樣了解（a+b）2=a2+2ab+b2，我們應該根據圖形用面積計算的知識來思考。（a+b）2只能看成邊長是a+b的大方塊面積，在大方塊中分出一組邊長為a的長方塊、一組邊長為b的中方塊和兩個相等的長方塊，認為大方塊面積等于a2+2ab+b2，所以得到（a+b）2==a2+2ab+b2。另外，在容斥問題、行程提問中，圖是個好助手，甚至于應該說如果脫離了圖，小學生就很難認識這一類提問。但在課堂教學中將數與形有機地融合起來，既可充分調動學生的學習興趣，也可促進學習者積極主動地掌握，進而高效建構新知，使課堂教學工作到達合理、高效的程度。

8. 數形互譯，在理解中提升思維

人教版六年級下冊“策略問題”中有一個練習：一只螞蟻，從一個6×5網格的左下角A點處，要爬到右上角的B點去，如果其中間只有一個4×1的長方形空格，而其他都是長方形，那么螞蟻從A點爬到B點的最短路徑有多少種爬法？這個題目如果用列舉法處理，將相當復雜而且容易出錯。若透過數形相結，并將題中的數量聯系轉換成形式聯系，便可更直接、簡潔地探討出數學語言的奧妙。這樣，就很容易計算出從A到B的最短路線，共一百八十二條。這樣，就將數的精確體現在形的直觀上，二者和諧融合，讓數、形都充滿生命力，從而達到了教育的效果，進而更好地提高了中小學生的思維能力。

結束語：

總之，在小學數學課程中，將數與形有機地融合一起，以形的形式直接展現數的奧妙，以數的形式精確掀開圖形中所蘊涵的實質，讓數形結合和相融，從而有助于學習者建立數的基本概念，深入認識數的實質，讓解題思路和步驟更為具體，同時使學習者體驗探索數學教育奧妙的整個流程，從而更好地展現科學知識生成的整個流程，并以此鍛煉學習者的思想、提高學習者的數理素養，切實提高課堂教學效率。