正本清源是教學“比”的關鍵

陳劍春

[摘 要]“比”作為小學階段的一個重要數學概念，內涵深刻。通過對比教材中“比”概念的各種解釋，深入探究“比”的本源，挖掘“比”與除法的聯系和區別，展示“比”的本來面目。

[關鍵詞]比;概念;除法;本質;區別

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2022）20-0065-03

人教版實驗教科書和2014年人教版教材中詮釋比例時，采用的數據有所不同。一個是航天員手持的國旗長15厘米、寬10厘米，長、寬比為15比10，可記作15∶10，15∶10=15÷10=[32]，[32]就是比值;另一個是“神舟五號”平均90分鐘繞地球飛行一圈，軌道長42252 km，并指出“軌道長和飛行時間的比是42252比90”。

參考相關資料后，不得不思考以下問題：

1.在小學數學教學中，怎樣引入“比”和“比值”的概念比較合適？“比”到底是“兩數之比”還是“兩量之比”，還是可以通用、混用？

2.“神舟五號”宇宙飛船繞地球飛行一圈的軌道長與時間比為42252比90，那么按常理，比值應為42252÷90=[704215]（或469.464）。而依教師用書所言，“兩個非同類量的比可以衍生出一個全新的數量”，那么所得比值該不該帶單位“千米/分”？

3.在小學階段，有無必要推介非同類量衍生的“比”和“比值”的概念？

一、對“比”的各種解釋

人教版教材第十一冊第43頁中對“比”是這樣定義的：“兩個數進行除法運算的過程也叫作兩數之比。”“被除數叫作比的前項，除數叫作比的后項，所得的商叫作比值。”“比值一般可以用分數表示，也可換作小數或整數。”在后續改版的教材中，對“比”的定義大同小異，都是按照除法來定義的。而教師用書中卻這樣描述：“兩個同類量的比也可以表示它們的倍率關系，兩個非同類量的比則可以引申出一個全新意義的數量。如‘路程比時間就會衍生出一個嶄新的量——速度。”

對比新舊教材，不難發現“比的認識”一節的修訂痕跡。老教材曾用球賽比分來介紹比，這顯然不是“正宗”的數學比，或許只是編者借用一個專業術語來類比推出數學比。新版本的教材是用路程除以時間等于速度、總價除以數量等于單價等異類量的相除，衍生出全新量來介紹比，這原本是除法應用題型，卻被拿來充作“比”的引入素材。那么既然有了除法，為何多此一舉，平白無故地引入新概念“比”，這不是添亂嗎？

《辭海》中如此定義“比”：“兩個同類量相比，如果以b為標尺度量a，稱為a比b，所得的k值稱為比值。”這興許就是比的“始祖”。教材廢除這些“繁文縟節”，直截了當將“比”定義成除法，這樣做等于對除法進行二次定義。這樣的改編，是對是錯？武斷草率地把“比”看作除法的第二定義，知識的生成性過程該如何落實？

對比可知，《辭海》中“比”的定義重在揭示其本質，而教材則避重就輕，避實就虛，僅僅顯露其外形。學生看到“比”這個字，首先想到的是“比較”，而六年級的學生對于如何比較兩個數已是行家里手：第一是比較差值，直接作差即可;第二是倍率關系，用除法求商即可。可見，“比”這一概念來源于“比較”。用倍數反映大小就是一種“比”的關系，這就是求商比較法。

由于數學的系統性和復雜性，數學中存在很多高度重合的循環概念，如除法這個概念，既可以定義分數，又可以定義比，它可以作為紐帶將分數和比連接起來。可見，這些概念本就是一個不可分裂的整體，同時又各自具有獨特性和獨立性，它們在外延上高度重疊，在內涵上卻又互不包含。“比”偏向于表示兩個量的權重對比，而不是追求兩個量的運算結果，重在兩個量（主要是同類量）的靜態比較關系，而不在于分清誰是部分、誰是整體。“比”的前項和后項是兩個完全對等的量，性質、含義完全相同，因此，“比”不可以與分數和除法完全畫上等號。

二、對“比”追根溯源、正本清源

綜上，可以給“比”下一個確切的定義：“兩個同類量a、b，如果以b為基準去度量a，那么a和b就建立了比的關系，稱之為a比b，記作a∶b。a÷b=k稱為比值。”下面，通過一些示例來深化“比”的本意。

【例1】沖泡咖啡時，用1杯咖啡粉加3杯溫水。咖啡粉和溫水的體積比是1比3，記作1∶3。比值是1÷3=[13]。

【例2】用1杯奶茶粉加5杯水兌成茉莉奶茶。奶茶粉和溫水的體積比是1比5，記作1∶5。比值是1÷5=[15]。

【例3】在某時刻，以樓房影子衡量樓房高度，形成2比1的關系，記作2∶1，比值是2÷1=2。

首先，“比”是一種數量關系。“比”不能等同于除法運算，只是在求比值時必須用到除法運算，實際上，“比”大多數時候只是反映一種對峙狀態，一種靜態比較，可以不必求出比值，沒有比值，比例關系依然存在。如例1中，1杯咖啡粉要用3杯水沖調，沖調咖啡時直接按照“1比3”來調配即可，記作1∶3。此時，算出比值反而沒有實際意義。換言之，只有需要求出比值時，除法才會派上用場，1∶3可以只是一種對比的狀態，1÷3則是除法運算，目的直指商。

其次，“比”是比例的前概念，可以引申為一種正比例函數關系，例如，某旗桿和影長的比，就構成一種函數關系。事實上，在同一時刻，旗桿高度與影長的比率是恒定的，即不同高度的旗桿與其影長的倍數關系恒定。比的概念還要深化為比例，為未來學習正比例函數埋好伏筆。當然，有的“比”的關系存在偶發性，不一定構成比例關系。

再次，“比”是同類量的比較關系，也可以擴張到不同類量中。不過，同類量之比是“源頭”，不同類量之比只是“支流”。日常生活中非同類量的比隨處可見。例如，移動積分兌換業務，規定1000積分可以兌換100M流量。積分與流量就不是同類量，它們的兌換比為10分∶1M。

最后，不同類量的比，不應作為“比”概念的引入。“神舟五號”平均90分鐘繞地球飛行一圈，軌跡長42252 km。“路程和時間的比是42252比90”這樣描述似有不妥。路程除以時間等于速度，這樣的比體現不出路程與速度的比較與對峙狀態。用不同類量作為“比”概念的引入，本末倒置。因此，對于“比”的舉例，應該從簡單的數據比說起，如咖啡粉和水的體積之比為1比3等。

前面講到，“比”的概念有著獨特的內涵，但是，由于其與除法和分數有著千絲萬縷的聯系，所以經常被混為一談。要想通過對比辨析展露抽象的概念本身的特性是十分困難的，最好的辦法就是賦予其現實情境，而不同的概念適用的現實情境會有所差別。在除法和分數無法演繹的情境中，推出“比”這一概念就顯得很有必要了。如前面出示的沖泡咖啡和奶茶、測量樓房高度等案例，都是只適合用“比”來表示兩個變量的關系，而不適合用除法和分數來表示，突出了“比”的特殊性：表示兩個變量的函數關系，并以此作為比例的前概念出現。

三、“比”與除法的區別

計算比值雖離不開除法，但是“比”與除法是有區別的。如前所述，“比”可以只作為一種對峙關系，一種臨界狀態，而除法擁有自己的領地，可以脫離“比”的管轄。例如，小明公務員筆試和面試的成績分別是92和90，那么兩科的平均分為91分。這里求平均分時的除以2就與“比”風馬牛不相及。

教學中可以將同類量之比和不同類量之比做一番比較。

【例1】NBA某場比賽中火箭隊對湖人隊的比分為55比50，差距5分。（用加減法比較差距）

【例2】某收藏家收藏了6顆紅寶石，3顆藍寶石，紅寶石比藍寶石多。6是3的2倍，稱為6比3，記作6∶3;藍寶石少，只是紅寶石的[12]，可寫作3比6，記作3∶6。（這里的“比”是用除法來計算倍率差距，和例1有分別）

【例3】調配雞尾酒時合理的配比是4杯檸檬汁加2杯湯力水。我們說檸檬汁和湯力水的用量比是4比2，記作4∶2。

【例4】某廠家生產的國旗尺寸有6種規格，長與寬分別為（單位：毫米）： 1號，2880，1920;2號，2400，1600;3號，1920，1280;4號，1440，960;5號，960，640;6號，660，440。長度是寬度的幾倍？這些國旗規格不一，但長都是寬的1.5倍，因此形狀都是一致的，符合法定標準。由此可順勢定義“兩個同類量a、b，若以a是b的倍數k來描述其大小關系，稱為a比b，記為a∶b。a÷b=k，數k就是比值。這個比較的結果就是a除以b的商”。（這里先比較“同類量”，突出“比較”的對峙狀態，最后為了算出比值才用到除法，為后續推廣“比例”埋下伏筆。）

“比”和除法的關系一直是困擾學生的問題，將二者放在不同的情境中固然能夠直觀比較出差異，但是這種差異之間又有某種聯系，因為“比”有時是需要求出比值的，如6顆紅寶石∶3顆藍寶石=6÷3=2（倍）;除法運算有時又可以看作是靜態的“比”，如6顆紅寶石÷3顆藍寶石=6∶3。因此，“比”和除法還是很容易混淆的。不妨先將“比”的類型一分為二，分成同類量之比和不同類量之比，再將這兩類分別與除法對比，就可以發現“比”和除法的聯系和區別：同類量之比放到除法里就是求倍率或者分率;而不同類量之比算不上真正的“比”，只能表示通過除法運算衍生出一個新的量。這樣比較之下，就可以將“比”和除法的關系徹底厘清。由此可見，除法有多重意義，“比”也有多重意義，它們只是在某些層面上有交集。

小學教育是基礎教育，小學數學教材所呈現的內容應當有助于揭示最基本的數量關系。“比”的概念，作為小學階段的一個重要數學概念，內涵深刻，教材編排時應該抓住其本質——比較，再不斷演變擴展，而不能操之過急，舍本逐末。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 王進敬，余慶純.巧探古今生活，浸潤數學文化：以“銳角的三角比的意義”教學為例[J].中小學課堂教學研究，2021（02）：5-10.

[2] 王琳.借“數形結合”思想直擊本質：“比的意義”教學嘗試與思考[J].小學數學教師，2021（03）：28-31.

[3] 姚啟規.厘清《比的意義》教學的“源”與“流”[J].安徽教育科研，2021（07）：33-34.

[4] 李曉燕.不同版本教材“比的意義”的對比與分析[J].小學教學參考，2020（35）：16-17.

（責編 羅 艷）