基于線性規劃數學模型的連鑄切割優化

魯明浩 陶琪 王寧寧

摘要：當數據較大或種類繁多時，人們利用LINGO線性規劃軟件進行優化設計，不但操作簡單，而且結果準確。文章以2021年全國大學生數學建模競賽專科組D題為例，介紹了基于LINGO線性規劃軟件的連鑄切割設計方法。

關鍵詞：線性規劃;連鑄切割;LINGO軟件

自1947年丹齊克提出求解線性規劃的單純形方法以來，線性規劃在實際生活中的應用日益廣泛，特別是在計算機軟件能處理多個約束條件和決策變量的線性規劃問題之后。2020年2月，高蘭芳將線性規劃方法引入工程投資分配，尋求解決多方案投資決策中資金分配優化路徑，建立線性規劃模型求得最優解，使得投資收益最大化。2020年9月，鄭彩云等人對企業運輸問題進行研究，建立線性規劃模型，并運用MATLAB軟件編程計算方法求解，在供給和需求保持平衡的同時，制訂出相關的流量和流向，從而降低了運輸成本;2020年12月，鄭文魁等人以某大型土方場平工程為例，介紹了基于LINGO線性規劃軟件的土方調配設計的原理和方法。

近年來，建筑業、制造業等行業的發展，對鋼鐵產品的需求日漸增加，鋼鐵領域迎來了更多的發展機遇。連鑄是將鋼水變成鋼坯的過程，鋼水經過結晶器時，長期使用會發生結晶異常，以此切割出的鋼坯則為報廢段。因此，如何減少損失，成為鋼鐵生產者關注的主要問題，也是企業生產線制定策略的主要參考依據。基于此，筆者以2021年全國大學生數學建模競賽專科組D題第一問的數據為基礎，分析了鋼鐵生產連鑄切割過程中容易出現的損失情況，并構建了基于線性規劃的數學優化模型，借助LINGO軟件求解，得到最優切割方案，從而為建筑業、制造行業等企業制定連鑄切割方案提供了重要依據。

一、問題描述

假設用戶的目標值為9.5米，用戶要求范圍為9至10米，給定尾坯長度109米、93.4米、80.9米、72米、62.7米、52.5米、44.9米、42.7米、31.6米、22.7米、14.5米和13.7米。假設鋼坯在切割過程中沒有產生磨損、切割后的長度不受熱脹冷縮的影響，從尾坯長度、切割方案、切割損失三個方面考慮給出具體的鋼坯最優切割方案。符號說明如表1所示。

二、基于線性規劃的數學優化模型

（一）模型探究

在考慮盡量減少切割損失的前提條件下，根據基本要求，切割長度必須處于4.8至12.6米，過短或者過長都無法轉運。此外，在相同的切割損失下，鋼坯切割出的尺寸大小盡量滿足用戶的要求，即切割長度9.5米的個數最多，因此建立模型一。

模型一：

目標函數：

約束條件：

依據模型一，借助LINGO軟件進行求解，結果如表2所示。

根據附錄中的正常要求，并結合實際情況分析，切割鋼坯時應盡量滿足用戶要求的長度9.5米，所以在切割過程中，以目標值9.5米為首要切割長度。切割總長為22.7米和13.7米時，其切割損失長度無法滿足基本要求中的4.8米至12.6米，無法移動，對生產過程產生影響，所以需要獨立討論。在鋼坯長度為22.7米和13.7米時，滿足鋼坯將進行二次離線切割的基本要求，所以22.7米可以切割出目標值9.5米一段，10米一段;13.7米時，可以切割出目標值1段。

（二）模型優化

對于模型一，雖然結果可觀，但是對客戶的需求考慮不夠。在現實生活中，人們對鋼材原材料的需求在不能滿足最佳要求時，更傾向于接近材料的目標值，所以首先要考慮目標值9.5米，其次為9.6米、9.4米，從而對模型進一步優化，建立模型二。

模型二：

目標函數：

約束條件：

依據模型二，借助LINGO軟件進行求解，得出模型的最優方案，最終結果如表3所示。

觀察表3中的數據可知，目標長度9.5米的個數最多，9.5米左右的次之。當鋼坯總長度為80.9米時，其目標長度個數達到最大值。只有鋼坯總長度為52.5米時，其目標長度個數為0個。

筆者從所給定鋼坯數據、參數要求、用戶需求出發，構建了線性規劃數學優化模型模型，并應用LINGO數學軟件求解模型，得出鋼坯最優切割方案，使得損失最小化，用戶需求目標值最大化，為建筑業、制造行業等企業制定連鑄切割方案提供了重要依據。

參考文獻：

[1]高蘭芳.基于線性規劃的工程投資分配模型及優化[J].四川輕化工大學學報（自然科學版），2020（1）.

[2]李彩玉，陳見標，鄧漫紅，等.基于線性規劃的運輸策略優化研究[J].中國儲運，2020（9）.

[3]鄭文魁，巫昌斌，劉德輝.基于LINGO線性規劃的土方調配設計[J].人民黃河，2020（S2）.

[4]鄧朗妮，羅日生，郭亮，等.基于線性規劃數學模型算法的土方調配[J].土木工程與管理學報，2018（2）.

[5]程琳.圍繞數學核心素養的數學教學活動——以“簡單線性規劃”為例[J].理科愛好者（教育教學），2020（5）.

[6]王禹.注重數學理解 提升思維能力——以“線性規劃”教學為例[J].上海中學數學，2019（Z2）.

[7]李艷，徐章韜.核心素養背景下數學教學中滲透思想教育的探索——以線性規劃一課為例[J].數學通訊，2019（12）.

[8]朱晴.淺談與專業相結合的高效數學課堂——基于《線性規劃》教學的個案研究[J].讀與寫（教育教學刊），2018（1）.

[9]袁利江.基于線性規劃的角度探討含雙參數的數學問題[J].數學教學通訊，2012（12）.

基金項目：2021年全國職業教育科研規劃課題“基于課程思政的高職數學教學研究”階段性成果，項目編號：2021QZJ065。

（作者單位：陜西工業職業技術學院）