將數學知識“打包”

夏永立

[摘 要]只有把握好數學知識的整體框架，對教材內容進行“重組”，才能溝通知識之間的內在聯系。教師應站在數學學科結構的高度，用結構的觀點理解數學教材，用結構化的方法處理數學教材，將數學知識“打包”給學生，幫助學生理解數學知識的內涵，建構結構化的思維方式，不斷提升思維品質，從而真正促進學生數學素養的發展。

[關鍵詞]數學知識;加減乘除;結構化思維

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2022）20-0004-04

【課前慎思】

二年級的學生已經初步學習了加法、減法、乘法和除法的知識，知道了四則運算的意義，但并不清楚它們之間的內在聯系。

在四則運算中，加法、減法、乘法和除法并不是孤立的，而是有著緊密的聯系，是從前往后縱向聯結的，也是由此及彼橫向聯結的，更是由部分和部分、部分和整體內部聯結的。加法和減法互為逆運算;乘法和除法互為逆運算;乘法是幾個相同加數的和的簡便運算，它是從加法中“孕育”出來的;除法可以看作連續減去相同數的減法，它是從“減法”中生長出來的。為了讓學生知道四則運算的本源，找到數學知識之間的連接點，將腦子中散狀的概念串起來，組成知識鏈，形成完善的知識結構，筆者努力尋找數學之“根”，讓數學知識生長出更多的“突觸”，從而枝繁葉茂。

基于以上的思考，筆者設計了一節復習拓展課，通過整合知識板塊凸顯知識的系統化，幫助學生更好地掌握知識之間的內在聯系。教學中，通過“我是誰？家在哪？還去哪？”三個“大問題”，幫助學生厘清數學知識的內在聯系，讓學生對運算概念的“前世”和“今生”了然于心，真正享受數學思考的樂趣。通過用一個圓形磁扣（下文簡稱“磁扣”）在數線上不斷進行移動，使得學生在多種數學活動中理解四則運算的意義以及它們之間的內在聯系，從而促進學生數學思維的發展。

【課堂實錄】

一、操作觀察，建立關系

師：一年級的時候我們學習了加法和減法，二年級上學期學習了乘法和除法。這節課我們一起來研究它們之間的關系。

出示數線圖（如圖1）：

師：你知道在數線上，0的“家”在哪嗎？這個磁扣應該放在這條數線的哪里？（學生將磁扣放在數線圖上的0處）

師（板書算式：0+1）：我是誰？（張貼卡片：我是誰？）

生1：0+1。

師：0+1的新“家”在哪里？（張貼卡片：家在哪？）請將磁扣移一移。（學生操作，將磁扣放在1的位置）

師：磁扣是怎樣移動的？

生2：向右移動1格。

師：誰能表示這道算式的計算結果？

生3：0+1=1。

師：它（磁扣）現在怎樣回到原來的“家”？誰來移一移？（學生把磁扣從1向左移動1格）

師：可以寫出一道怎樣的算式？

生4：1-1=0。

師：比較兩次移動的過程，有什么相同和不同的地方？

生5：都是移動了1格，但磁扣移動的方向是相反的。

師：請說一道加法算式，并說說原來的“家”在哪里，現在怎樣移。如果想回到它原來的“家”，怎樣移？

師：請一位同學在數線上移動磁扣，別的同學用算式表示。（學生把磁扣從2直接拿到5）

師：誰能給他好的建議？

生6：磁扣應該從2移到3，再移到4，最后移到5。

師：磁扣在5的位置，又怎樣回到原來的“家”呢？

生7：從5開始，向左移動3格。

師：剛才移動磁扣的過程，能用算式表示為2+3=5，5-3=2。

二、自主探究，溝通聯系

1.溝通加法和減法之間的聯系

師：在剛才移動磁扣的過程中，加法是怎樣移的？減法呢？加法和減法之間有什么聯系？

生1：加法是向右移動，減法是向左移動。

生2：加幾就向右移動幾格，減幾就是向左移動幾格。

2.溝通加法和乘法之間的聯系

師：剛才移動磁扣的時候，都是一格一格移的，還可以怎么移？

生3：可以2格2格地移，3格3格地移……

師（板書：2+2+2+2=）：我是誰？我原來的“家”在哪里？究竟該怎樣移磁扣呢？先在腦子里想，再在練習本的數線圖上將移磁扣的過程畫出來。

出示一位學生在數線圖上標出移磁扣的過程（如圖2）：

師：原來的“家”在哪里？現在的“家”在哪里？磁扣是怎么移的？

生4：原來的“家”在0，現在的“家”在8，向右每次移2格，移了4次。

師：那么，可以列一道什么樣的算式？

生5：加法算式。2+2+2+2=8。

師：還可以列一道什么樣的算式？

生6：乘法算式。2×4=8。

師：在移動磁扣的過程中，加法和乘法有什么不一樣？

生7：加法是往右1格1格地移，而乘法是向右幾格幾格地移的。

師：乘法算式是怎么得來的？

生8：乘法算式是由加法算式“長”出來的，當相同的加數很多時，寫起來不太方便，可以用乘法算式來表示。

3.溝通除法和減法之間的聯系

師：觀察2+2+2+2=8，現在的“家”在哪里？原來的“家”又在哪里？可以怎么移？

生9：現在的“家”在8，原來的“家”在0，也可以2格2格地移。

出示一位學生在數線圖上標出移磁扣的過程（如圖3）：

師：磁扣從8開始，向左2格2格地移，回到原來的“家”。你能想到什么算式？

生10：8-[2-2-2-24個2]=0。

師：還可以用什么算式表示？

生11：8÷2=4。

師：前面已經表示了加法和減法、乘法之間的關系，現在你能用箭頭表示除法和減法的關系嗎？

（學生嘗試）

師：剛才移磁扣的過程，可以用減法和除法算式表示，它們之間有什么聯系？

生12：除法可以看成是從一個數里面連續減去幾個相同的數。

4.溝通乘法和除法之間的聯系

師：結合剛才移磁扣的過程，觀察比較2×4=8和8÷2=4這兩道算式。乘法和除法有什么聯系？

生13：乘法是向右幾格幾格地移的，除法是向左幾格幾格地移的。

生14：乘法是向右跳動磁扣，除法是向左跳動磁扣。

三、合作交流，深化認識

師（給學生每人一張畫有數線圖的練習紙，學生在數線圖上移磁扣，并把移的過程用箭頭表示出來，再寫出相應的算式）：你還想幾格幾格地移？你能先寫一道連加的算式，再根據這道連加算式寫出乘法、減法和除法算式嗎？

師：你想怎么移磁扣？

生1：從0開始移磁扣，向右3格3格地移，移了3次。

師：你打算怎樣寫算式？

生1：3+3+3=9，3×3=9。

師：它現在又想回到原來的“家”了，可以怎樣移？

生1：從9開始3格3格地左移，移到0的位置。

師：你會寫算式嗎？

生1：9-[3-3-33個3]=0，9÷3=3。

師：這些是什么算式？

生2：加法算式、減法算式、乘法算式和除法算式。

生3：我是一格一格地移的，加法算式是1+1+1+1+1+1=6，減法算式是6-1-1-1-1-1-1=0，乘法算式是1×6=6，除法算式是6÷1=6。

生4：我是4格4格地移的，移了2次。加法算式是4+4=8，減法算式是8-4-4=0，乘法算式是2×4=8，除法算式是8÷4=2。

師：它們之間有關系嗎？

生4：加法和減法之間有關系，加法和乘法之間有關系，除法和減法之間有關系，除法和乘法之間有關系。

師：請嘗試畫箭頭表示四則運算之間的關系。

（學生展示畫法：從加法畫一個箭頭到乘法，表示由加法可以得到乘法;從減法畫一個箭頭到除法，表示由減法可以得到除法;加法和減法之間畫雙箭頭，表示由加法可以得到減法，由減法也可以得到加法;乘法和除法之間畫雙箭頭，表示由乘法可以得到除法，由除法也可以得到乘法。）

師：它們之間有什么樣的關系？

生5：它們之間可以互相轉化。

師：加減是互逆的，相反的;乘除是互逆的，相反的。但是，乘法又是由加法“生”出來，除法是由減法“生”出來的。它們就像一家人一樣，關系非常密切。如果把加法比喻成爸爸，乘法就是兒子;如果把減法比喻成媽媽，除法就是女兒。

四、拓展延伸，遷移學法

師：剛才我們把磁扣從0向右移，還可以怎樣移？

生1：向左移。

師：從0開始，向左移1格，請同學們大膽猜測，可以用哪一道算式表示？

生2：0-1。

師：0-1等于多少？

（許多學生說“-1”）

師：你們都知道負數了，那在哪里見到過-1？

生3：在電梯里，-1是地下一層。

師：0-2的新“家”在哪里？誰能移磁扣來表示？

生4：將磁扣從0向左移2格。

師：這個數是誰呢？我們把0-2的結果暫時用□來表示（如圖4）。

師：0-3的“家”又在哪里？

生5：將磁扣從0開始移動，向左移3格。

師：這次我們用△來表示0-3的結果（如圖4）。

師：你覺得是0-2的結果大，還是0-3的結果大？

生6：數線圖上的點越往左邊，數越來越小;數線圖上的點越往右邊，數越來越大。

師：其實數線圖上還隱藏著很多的奧秘，等待你們以后去發現。

五、回顧反思，形成結構

師：這節課有新的收獲嗎？（學生回答略）

師：很多數學知識其實都不是彼此孤立的，是有聯系的，將它們串起來，就會形成新的知識網絡。

【課后反思】

這是一節單元復習拓展課，是筆者基于對教材的理解，創編的一個課例，以表達對“大單元”教學的一些思考。

一、素材少

四則運算的數學本質是什么？加法就是計數單位的累加，減法就是計數單位的遞減，乘法是由加法“生長”出來的，除法是由減法“生長”出來的。

在這節課中，筆者利用一條數線和一個圓形磁扣，引導學生在數線上移動磁扣，從而感受加、減、乘、除之間的內在聯系。簡約和直觀的素材，為學生后續的探究學習搭建了“腳手架”。

這樣的教學設計能幫助學生明確知識之間的內在聯系，將零散的數學知識串聯起來，建立完整的知識網絡結構。學生在結構化的學習中理解知識，就可以形成良好的數學素養。

二、空間大

這節課，采用“我是誰？家在哪？還去哪？”三個數學核心問題，引領學生進行數學探究，讓學生的思維不斷延伸。“我是誰”是讓學生觀察一道算式，進行思考。“家在哪？”是引導學生思考原來的“家”在哪里，新的“家”又在哪里，怎樣在數線上移動磁扣才能夠找到新的“家”：可以1格1格地移，也可以幾格幾格地移;可以從左往右移，也可以從右往左移。最后，“還去哪？”實現學習方法的遷移。也就是要不斷開闊學生數學學習的視野，為中學學習有理數的加減法做好有效鋪墊。

放手讓學生獨立操作和合作交流，給予學生自主學習的時間和空間。筆者先讓學生自己寫一道連加算式，再引導學生發散思維“由這道連加算式，我們可以想到哪些算式？”，然后讓學生自由地在自己的練習紙上畫線表示磁扣移動的過程。這種開放式的練習，就給了學生很大的思考空間，而不是讓學生局限于某一道算式。學生通過交流辨析，對四則運算關系的理解會更加深刻。

在以往的教學中，筆者都是自己畫箭頭，這種教學雖然很順暢，但是沒有給學生一個具有挑戰性的學習任務。在這節課中，筆者嘗試讓學生畫箭頭，學生在畫箭頭的過程中有對話、有交流，認識會更加深刻。

學生在動手操作、畫圖表征和交流分享的過程中，將碎片化的知識連成線、結成網、筑成塊，建立了整體的結構化思維，形成了完整的認知結構。

三、思考深

從一道簡單的加法算式“0+1”開始，通過“原來的‘家在哪里？”“怎樣移動磁扣就可以找到新的‘家？”“新的‘家在哪里？”等問題，引導學生比較加法與減法的內在聯系，進而發現乘法與除法之間的關系，勾連出加、減、乘、除四則運算之間的關系。

這節課不僅是讓學生理解加、減、乘、除之間的關系，還通過在數線上的磁扣可以向0的左邊移動引出負數。低年級學生對負數有一定的生活經驗，所以這樣的學法遷移，不是超綱，而是一種系統化的學習，真正實現了為遷移而教。

本節課呈現了加、減、乘、除之間的聯系，培養了學生的推理能力和概括能力。在本節課中，學生掌握了探究知識內在聯系的方法，積累了豐富的學習經驗，就能利用這些經驗進行大膽的“創新”，構建新的數學知識結構。

（責編 金 鈴）