關(guān)于射線是“無限長的”的教學思考

張義蘭

[摘 要]線段、射線、直線是簡單的幾何概念，教師一般用直觀的光線來導入，進而引出概念。線段、射線、直線三者是相互獨立的，尤其是射線和直線的無限延伸性，很難用直觀事物來演示，也很難借助直觀演示在三者之間建立系統(tǒng)化的聯(lián)系。教師只有弄清概念的本質(zhì)，才能幫助學生有效掌握。

[關(guān)鍵詞]射線;直線;線段;教學思考

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2022）20-0017-03

射線和直線是蘇教版教材第七冊的內(nèi)容，常規(guī)的教學如下所示：

（1） 教師利用動畫演示“激光燈的強烈光線射向墻壁，起點和終點一目了然，周遭一片漆黑”，帶領(lǐng)學生回顧學過的線段，強調(diào)線段有長度。

（2） 教師利用動畫演示“撤去墻壁，激光燈的光線射向無盡的夜空”，學生描述此時的光線，教師揭示射線概念“激光燈的燈泡可以視為一個端點，從這里發(fā)射的光線向一個方向無限延伸，具備這樣特性的線條可以看作數(shù)學上的射線”。

（3） 教師教授射線的畫法，指出其無限延長的特性，讓學生舉例。學生舉出“槍膛里發(fā)射出去的子彈”一例，教師感到驚訝，并解釋道：“子彈最終會下落，子彈的運動軌跡是一條弧線。”

（4） 教師繼續(xù)利用動畫演示“把兩個激光燈尾部對接，同時開燈，兩條光線重合，形成一條完整的光線（如圖1）。當教師準備以此生成直線，并提到直線無端點時，一位學生當場反駁道：“明顯有一個端點呀。”

（5）教師分析線段、射線、直線之間的相互關(guān)系，指出：“可以從直線里截取線段和射線，線段和射線都是直線的一部分。”

（6）練習環(huán)節(jié)。對于“判斷題：王師傅在工程圖紙上畫出一條10厘米長的射線”，學生判斷其為錯。對于“過一點和兩點分別可以畫出幾條直線？”，學生表示“可以畫出很多條直線”。最后，教師出示權(quán)威答案。

一、探尋緣由

課后，筆者訪談了提出“槍膛里發(fā)射出去的子彈”的學生。該生對教師在課堂上的解釋不以為然，繼續(xù)申辯：“槍膛里射出的子彈會落地，燈光也會暗淡消失。”筆者接著訪談提出“過兩點可以畫出很多條直線”的學生，他給出的解釋是：“如果圓點很大，線條很細，就存在多條直線的情況。”最后，筆者又現(xiàn)場出題測試學生：“射線與直線，你認為誰的長度更長？”僅有2個學生回答正確，其余學生均認為直線長，理論依據(jù)是“射線是從直線中截取得到的” 。

筆者詢問授課教師“射線是否是直線的一部分”，授課教師思量許久，支支吾吾地說：“許多資料好像都是這么說的，雖然沒有明證，您現(xiàn)在這么一問，我似乎又覺得哪里不對勁。”筆者窮追不舍，授課教師開始醒悟：既然直線和射線都是無限延長的，那就沒有長度，既然沒有長度地就無法比較……

二、理論根源

點、直線是原始概念，類似于公理，無法用語言定義。在小學階段，學生對線段、射線、直線都是憑直觀感覺來認知的。如某版本教材中，將線段描述為“連接兩點的所有幾何線條中，只有線段最短”，然后指出圖中什么是線段。射線既可以通過延長線段得到，也可以將直線從任意一點處切斷得到。雖然線段、射線、直線三者可以互相轉(zhuǎn)化，但是都是抽象的直觀感知，彼此之間并沒有概念上的包含關(guān)系和從屬關(guān)系。國外的文獻資料中，是先定義直線，再用直線定義線段;國內(nèi)的教材通常是先教學線段，再引申出射線和直線兩個概念，那是為了從直觀上便于理解，學生也容易對照類比生活實例。

上述教學中，對于學生提出的“槍膛里發(fā)射出去的子彈”，教師解釋“子彈最終會下落，子彈的運動軌跡是一條弧線”，這種理由很牽強，很難令人信服。因為數(shù)學中的直線和射線在現(xiàn)實中找不到原型，只能從理論上假想推測，勉強將激光燈的光線看作射線。嚴格來說，這些射線也有終點，起碼在宏觀宇宙中是這樣的。數(shù)學源于生活但又高于生活，數(shù)學中的射線和生活中的“X射線”是兩個概念，數(shù)學中的直線也并不是日常用語中的“平直的線條”。因此教師用“槍膛里射出的子彈最終會下落”來否定學生的舉例，極不嚴謹。

在練習中，學生誤認為過兩點可以畫多條直線，原因是未能分辨數(shù)學與生活的區(qū)別。數(shù)學中，點是一個位置坐標，沒有粗細大小，而生活中的點卻有。許多教師沒有這個意識，為了醒目，將點畫得很大，線畫得很粗，因此給學生造成錯覺。由此得到的啟示是，教學時所選擇的生活原型要慎重且恰當。另外，即便出現(xiàn)了射燈那么粗的光線，教師也應該將其抽象成數(shù)學線條。

對此，教師可以通過以下方法去澄清學生的誤解：在三角形 ABC 中（如圖2），線段 BC 比線段 DE 長，如果點有大小，那么線段 BC 上的點就要多于線段 DE 上的點，然而，將A 點與BC 邊上的任意一點連接，都會與DE形成一個交點，交點與連接點嚴格一一對應，例如G點的對應點是F點，I點的對應點是H點。

這樣就可以成功地證明點沒有大小之分，線沒有粗細之分。如果說在小學階段無須較真“點沒有大小之分”和“線沒有粗細之分”，那么對“線的無限長”這個抽象概念，則避無可避。從錯誤觀點“直線比射線長”中可以看出，學生對“無限長”的概念理解很模糊。當然，這也可能是教師的誤導造成的，教師在溝通線段、直線、射線之間的關(guān)系時，采用的就是截點法，給出“射線是直線的一部分”的表述。這一表述，很容易使學生產(chǎn)生誤解——射線比直線短。另外，直線是向兩端無限延長，而射線則是只能朝著一個方向延伸，這也間接加劇了這種誤解。

其實，對于無限量的比較，要徹底克服“部分小于整體”這種思維定式的負遷移，從另一種理論來分析無限量：從集合論出發(fā)，直線和射線都是點集，射線點集都包含于直線點集中，因此可以說，射線點集是直線點集的真子集。因此，“射線是直線的一部分”的說法是符合邏輯的。類似的“奇數(shù)是自然數(shù)的一部分”的說法成立，但是“自然數(shù)個數(shù)比奇數(shù)個數(shù)多”的說法就站不住腳，因為它們的數(shù)量都是無限增長的。另外，前面提到的三角形 ABC ，盡管看上去線段 BC 比線段 DE要長一些，但兩條線段上的點是一一對應的。

三、改進教學

如何說清射線和直線的無限性呢？最好的做法是想象——“這條直直的線，無限延伸，穿過了黑板，穿過了教室，穿過了城市，穿過了中國，穿過了亞洲，穿過了地球，穿過了太陽系……宇宙無限，它就無限……”，學生在這樣的情境中就能慢慢感受“無限”。

小學生對“無限”很難建立理性的認知，只能通過想象完成。其實，這種想象是可以直觀化的。首先，教師可以利用線段來介紹點集的存在：出示兩個孤立的定點。接著，教師動畫演示續(xù)接成線，為了表示出起始位置，一般著重加粗標明端點，借此刷新線段原有的概念。這就是告訴學生，正是因為線段有首尾端點，所以才有長度。然后，教師利用動畫演示一個端點不斷延伸，這樣，端點位置的標記意義就會凸顯出來。有了前面的鋪墊，教師就可以對線段加工，演示射線和直線的生成：從一點出發(fā)，向一個方向延伸，到某處終結(jié)，形成線段;按照這種操作，如果一直移動，永無止境，就形成射線。最后，教師讓學生嘗試畫出這種運動軌跡，這樣學生就會設法表示這種沒有終點、無休止的運動，可能會出現(xiàn)以下表達方式（如圖3）：

當然，學生也可能受到端點確定邊界的啟示，用不標記端點來表示無限延長。為了強化無限的概念，教師不妨畫出“長短”各異的多條射線，讓學生在分辨中意識到，射線的無限長不受實際畫圖時的“人定長短”限制。

由光線引入直線學習，能讓數(shù)學更貼近生活，而由點的運動軌跡和點集引入，則體現(xiàn)了數(shù)學的理論性和嚴謹性，可以有效規(guī)避光線粗細、被阻斷等不利因素的干擾。實際教學時，兩種方法可以互為補充。線段、射線、直線之間沒有概念的從屬關(guān)系，各自獨立，采用點的運動軌跡演示，三者之間能順理成章地建立起聯(lián)系。如果把射線看成是點運動后沒有盡頭的軌跡，那么“槍膛里發(fā)射的子彈”所形成的軌跡就要比光線更符合射線的特質(zhì)。可見，“槍膛里發(fā)射的子彈”是一個很好的例子。一旦射線的無限性闡釋清楚，直線的無限性就會水到渠成：第一種辦法，讓線段的兩個端點永不停息地背向而行;第二種辦法，讓射線的一個端點運動起來，向反方向永不停息地運動。為了讓學生對線段、射線、直線形成系統(tǒng)、完整、嚴謹?shù)恼J知，教學中教師可以將這兩種辦法應用到導入環(huán)節(jié)或鞏固環(huán)節(jié)。

四、優(yōu)化訓練

眾所周知，任何一項學習都需要有訓練的環(huán)節(jié)，這樣的學習才完整。在射線和直線的教學中，教師要圍繞教學主旨，結(jié)合該部分知識的“前世今生”，設計一些有趣味性且富有挑戰(zhàn)性的學習訓練，促進學生對射線、直線知識的理解。

1.關(guān)注基礎夯實，設計對應訓練

培育學生的學習技能，構(gòu)筑對應的知識體系，不是靠40分鐘就能一步到位的，也不是依托題海戰(zhàn)術(shù)就能奏效的，夯實學習基礎才是重中之重。因此，在訓練的第一部分，教師就要引導學生進行必要的基礎性練習，通過練習理解“射線是無限長”的本質(zhì)。

比如，引導學生畫一些射線，并組織他們進行討論交流。“你認為自己畫得對嗎？”教師的追問能讓學生更好地回憶起課堂中學到的概念，他們就會解釋：“我先畫出一個端點，再沿著直尺的邊向一邊無限畫下去，這就是射線。因為它只有一個端點，而且是直線的一部分，所以它是沒有終點的。”也有學生提出：“可以先畫出一條線段，再把它向一方無限地延伸下去，這樣也能得到一條射線。”

2.重視理解跟進，設計變式練習

經(jīng)驗和思維的強化都需要一個曲折且漫長的歷程。這時，教師就要利用恰當?shù)淖兪接柧殎韮?yōu)化教學，促進學生理解概念。因此，教師要設計相應的變式訓練來促進學生對射線無限長認識的升華。

比如，設計判斷題：（1）小明畫出了一條50米長的射線;（2）小東認為，射線只有一個端點，直線沒有端點，所以直線要比射線長一些。通過這樣的習題訓練，學生意識到同伴學習的狀態(tài)，進而興趣滿滿地參與到問題的辨析之中。其間，有學生提出：“前面已經(jīng)知道射線是需要沿著直尺的邊無限地延長下去的，所以50米這個長度的射線是錯誤的。”有學生認為：“射線是由線段向一端無限延長，既然是無限的，這不就和直線的特性一致嗎？它們都是無限的，又怎能說誰長誰短呢？”

又如，引導學生用兒歌的方式記憶和領(lǐng)悟射線、直線和線段的特點，使得學生用好玩、有趣的方法記憶這些知識要點，建構(gòu)相應的認知體系。像猜謎語的方式就可以讓學生在思考中感悟射線、直線、線段：有始有終——（? ? ），有始無終——（? ? ），無始無終——（? ? ? ? ）。

綜上，對于文章開頭的教學中，在從激光燈引出直線時，學生認為激光燈的燈泡本身就是一個“端點”，這是受前面線段和射線端點的影響，學生無法辨別端點究竟是不是點。而點動成線的直線形成方式就能將端點歸納為動點的起始位置。因此，對“線段和射線是直線的一部分”的這種誤解，教師不妨用“射線與直線，哪個長度長”這一問題來代替“王師傅在工程圖紙上畫出一條10厘米長的射線”這樣的判斷題，這樣就能第一時間將“無限”的概念準確地傳達下去。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 張平.基于“童心數(shù)學”思想的小學數(shù)學教學設計：以《射線、直線和角》的認識為例[J].數(shù)學之友，2020（6）：62-63，67.

[2] 方文東.從表象到本質(zhì)，為學生鋪設幾何概念學習的基石：以小學數(shù)學“認識射線、直線和角”為例[J].生活教育，2020（4）：96-98.

[3] 巢亞美.小學數(shù)學“幾何概念”教學不同版本教材比較分析：以“射線、直線和角”一課為例[J].江蘇教育研究，2015（Z2）：68-70.

（責編 金 鈴）