促進數學思想感悟的課堂分層作業設計

摘要 小學數學教學中引導學生感悟數學思想，有助于學生思維的發展、學科核心素養的培育。課堂作業因反饋與評價的實時性，對促進學生感悟數學思想起著關鍵性作用。設計幫助學生突破數學思想本原問題的基礎性課堂作業、體驗數學思想多樣方法的開放性課堂作業、評價數學思想感悟水平的創造性課堂作業、促進數學思想深度感悟的反思性課堂作業，能引導學生經歷數學思想的潛意識、明朗化、深刻化、內生化階段，逐步深化對數學思想的感悟。

關 ?鍵 ?詞 數學思想 ?課堂分層作業 ?基礎性作業 ?開放性作業 ?創造性作業 ?反思性作業

引用格式 趙斌.促進數學思想感悟的課堂分層作業設計[J].教學與管理，2022（23）：62-65.

數學邏輯結構的一個特殊的、重要的要素就是數學思想。整個數學科學就是建立在數學思想的基礎上，并按照這些思想發展起來的[1]。小學數學教學中引導學生感悟數學思想，有助于學生以更高的視角理解知識、掌握技能，提升學生在解決問題過程中運用知識和技能的自覺性、合理性、靈活性和創造性，促進學生思維發展，培育學科核心素養。

課堂作業是教師在課堂教學中布置給學生完成的作業。由于這類作業可以穿插在新知識學習的過程中，其反饋的實時性可讓教師在第一時間診斷學情、評價引導、調整教學，有助于教師基于學生當下體驗，促進學生思維的進階、經驗的累積與提煉，引導學生經歷數學思想的潛意識、明朗化、深刻化、內生化階段，形成對數學思想感悟的螺旋上升。因此，課堂作業設計與實施的科學性、實效性和層次性不僅直接影響著學生理解基礎知識、掌握基本技能、積累基本活動經驗的效率，更在感悟數學基本思想這一目標的達成中發揮著關鍵性作用。

本文以蘇教版《數學》五年級下冊“解決問題的策略”第一課時中的轉化思想為例，通過課堂作業的設計與實施，幫助學生逐步掌握轉化技能、提煉轉化策略、感悟轉化思想，為教師提供促進學生感悟數學思想的課堂作業設計策略。

課始首先呈現教材例題，組織學生基于已有經驗獨立比較兩個不規則圖形的面積，再分層展示思維可視的學生作業（如圖1），組織開展交流、對比、評價等活動，引導學生理解圖形在分割、平移、旋轉過程中面積不變，并達成“兩個不規則圖形的面積相等”的共識。在此基礎上提煉出思考過程中所蘊涵的轉化策略，初步感受轉化的價值。接著設計了四種不同層次的課堂作業，逐步深化對轉化思想的感悟。

圖1 學生作業

一、基礎性作業：突破數學思想的本原問題

對數學思想本原性問題的突破與理解，應是促進學生數學思想感悟的前提與保障。基礎性課堂作業的設計，要聚焦于本原性問題，引導學生思維快速收斂，表征出真實的思維路徑，凸顯甚至放大學生真實學習中可能存在的問題，引發認知沖突，通過社會化共享、評價、交流等活動，讓學生在自省中突破、理解本原性問題。

轉化思想所蘊涵的教學本原性問題是不變量及相應的等量代換[2]。也就是說轉化不僅要尋求顯性的“變”，更要保持隱性的“不變”。轉化思想下具體方法的選擇必須保持所求量不變，這是對轉化思想的感悟在潛意識階段進階為明朗化階段首先應建立的理解。上一階段例題學習中，學生已經初步感受了轉化策略的價值，積累了等積轉化的經驗，但對轉化中各種方法運用的背景、保持所求量不變的前提的理解并不深刻，甚至存在誤區。例題教學后，教師設計了聚焦轉化思想本原性問題的基礎性課堂作業（如圖2），組織學生獨立完成。

圖2 基礎性課堂作業

學生完成作業后，展示兩種典型作品：一是將圖形②右下角的小長方形分割后平移至左上角，轉化成邊長為4的正方形，得出“圖形①周長大一些”的結論;二是將圖形②的部分邊進行平移，轉化成長6、寬4的長方形，得出“兩個圖形周長相等”的結論。兩位學生介紹時均打算運用轉化策略，將不規則圖形②轉化成規則圖形，便于周長比較，這體現出學生轉化意識的形成以及對轉化價值的感悟，但也體現出對轉化思想本原性問題認識的差異。之后組織學生對兩種作品開展自主辨析、評價活動。活動中，學生逐步達成“通過邊的平移使轉化前后圖形周長不變，才能比較原來兩個圖形的周長”的共識。最后，引導學生比較例題與基礎性課堂作業這兩類問題在思考過程中有什么相同、不同的地方，組織開展對比、反思、交流、概括等活動，學生逐步感悟到：運用轉化策略可將不規則的、復雜的圖形變成規則的、簡單的圖形，便于問題解決;在運用轉化策略時，所求量在轉化前后要保持不變。

圖2中的不規則圖形②既可等積轉化，也可等長轉化，這一設計既可以激活學生的轉化意識，凸顯出轉化的價值，同時又直指轉化思想的本原性問題，引發學生在轉化方法運用方面的差異化表征，并在展示、評價、交流等活動中實現了對轉化思想本原性問題的理解。

二、開放性作業：體驗數學思想的多樣方法

數學思想是對數學知識和方法在更高層次上的抽象與概括。數學思想常常通過數學方法去體現，數學方法又常常反映了某種數學思想[3]。開放性課堂作業的設計主要體現解決問題方法的不唯一，教師要引導學生基于自身經驗選用不同方法，表征多樣路徑，再通過社會化共享、交流、反思等活動，實現對多樣方法的再抽象，由數學方法的變化性上升到數學思想的穩定性，從而感悟數學思想的一般性。

轉化思想在圖形問題的解決中的運用是多方面的，不僅包括前一環節中所用的平移、旋轉，還包括翻折等方法，有時也可以將“形”轉化為“數”來解決。缺乏對多樣方法的抽象，對轉化思想的感悟只能是空中樓閣;而要讓這種感悟更接地氣，更多的需要學生完成作業過程中的自主生成。接著上階段作業，教師設計了蘊涵多種轉化思想方法的開放性課堂作業（如圖3），組織學生獨立完成。

圖3 開放性課堂作業

學生完成作業后組織集體交流。三種花圃形狀都是不規則圖形，學生已經可以自覺運用轉化策略進行面積比較，先將三幅圖中的陰影部分分別運用平移、旋轉、翻折轉化成正方形、三角形和長方形，但仍不能直接比較出陰影部分面積的大小。這時一部分學生再將圖形②的三角形分割、旋轉，將圖形③的長方形分割、平移，分別轉化成與圖形①平移后得到的正方形相同的圖形，最后得出三種設計方案面積相等;還有一部分學生認為轉化后的正方形、三角形、長方形雖然形狀不同，但都是占整個長方形的，長方形面積相等，三種設計方案的面積也都相等。之后再次組織學生對兩種思路進行剖析、對比、交流，發現兩種方法都運用了兩次轉化：第一部分學生兩次都是“形—形”的轉化，第二部分同學先是“形—形”轉化，然后是“形—數”轉化，最終都得出花圃面積相等的結論。

圖3中的三幅圖中包含了平移、旋轉、翻折三種常見的圖形轉化方法，能引發學生的多次轉化，同時還內隱了“形—形”“形—數”兩種不同維度的轉化。這一設計既激發了學生靈活運用策略解決問題的意識，又引導學生自主生成多樣的可視化材料。利用這些材料開展對比反思、抽象概括等再學習活動，可以實現從方法到思想的遷躍，幫助學生體驗轉化思想之下數學方法的多樣性、靈活性，感悟數學方法之上轉化思想的穩定性、一般性，對數學思想的感悟上升至明朗化階段。

三、創造性作業：評價數學思想的感悟水平

高階思維包括分析能力、創造能力和系統思維能力[4]。數學思想指導下的創造性活動，是數學思想感悟水平達到高階的表現。創造性課堂作業的設計，主要體現在創造結果符合要求且結論不唯一。通過作業引發學生的創造性活動，既能以此評價學生個體的數學思想感悟水平，又能以此為材料開展社會化共享、交流等活動，促進學生群體對數學思想的深度感悟，培養學生的創造性思維。

轉化思想不僅能運用在比較、計算等問題的解決中，若能有意識地以此為工具進行創造性活動，不僅能展現學生對轉化思想的感悟水平，更能體現轉化思想內在邏輯的力量與價值。前一作業中，學生了解到轉化方法可以是多樣的、多次的，有時還可將形轉化成數來解決問題，緊接著上一作業中積累的經驗，教師設計了評價學生轉化思想感悟水平的創造性課堂作業（如圖4），組織學生獨立開展創造性活動。

作品展示中，少部分學生設計了路寬2米的無需轉化的“L”形道路，更多學生設計了路寬2米的需一次轉化的“T”形，需多次轉化的“+”形道路，還有路寬1米的需多次轉化的“#”形道路，體現出多層次的創造性。之后教師請學生介紹自己作品，要求用盡量簡潔的方式，讓大家清楚看出草坪面積是15×10。學生有的介紹，有的邊介紹邊畫圖，自覺運用轉化策略說明自己作品中草坪的面積都可以轉化成長15米、寬10米的長方形。最后，引導學生對比反思：這些同學創造的作品中運用了什么策略。學生認識到多樣作品中轉化策略的運用，感受到轉化思想在創造中的價值。

圖4 創造性課堂作業

如圖4這樣的創造性作業以圖形表征算式，且答案不唯一。這一設計再一次打通數、形之間的壁壘，培育學生數、形轉化的自覺性，同時給予學生開放的空間，引發學生不同水平層次的圖形表征活動，以此評價學生對數學思想的感悟水平。而介紹作品時提出的跟進要求，對展示學生而言是運用轉化思想進行思維表征，對其他同學而言則是對轉化思想的更廣泛、更深入的認識。這一作業讓學生個體在創造和表達中提升轉化技能，深化對轉化思想的感悟，通過社會化共享、交流，促進學生群體轉化思想感悟水平的升階，將學生對數學思想的感悟從明朗化推向深刻化階段。

四、反思性作業：促進數學思想的內在自生

如果說數學知識的初步學習是一個認知結構的組織過程的話，那么更為重要的是認知結構的再組織[5]，而反思是實現認知結構再組織必不可少的環節。設計反思性課堂作業，引導學生對一定階段的學習過程進行回顧與反思，將其中的知識、方法建立起系統關聯，能讓學生對顯性知識或方法的理解更深、更廣、更全，并對其中隱性數學思想的感悟更清、更深、更實。

轉化思想的價值不僅體現在具體問題的解決中，在整個數學知識結構的擴展中也發揮著重要作用。很多新知識是在已有舊知識上生長出來的，而轉化在新、舊知識中起著關鍵的橋接作用。在一系列具體問題解決后，適時抽身，引導學生以轉化思想的視角回看知識發展過程，體驗轉化思想在知識結構擴展過程中的生長力，在完善認知結構的同時，促成對轉化思想的感悟螺旋上升至內生化階段。課堂的最后環節，教師設計了轉化思想視角下的反思性課堂作業（如圖5），組織學生小組回顧、交流、梳理。

圖5 反思性課堂作業

小組合作完成作業后組織集體交流。有的發現在近期學習的異分母分數加、減法計算時將其轉化成同分母分數加、減法，圓面積計算公式推導時將其轉化成長方形面積計算等;有的發現在以前學習平行四邊形面積計算公式推導時將其轉化為長方形面積計算，小數乘法計算時將其轉化為整數乘法等。這些小組通常采用文字表征的方式，回顧某幾個知識點中轉化思想的運用。還有的學生發現，在圖形問題中平行四邊形、三角形、梯形、圓的面積計算公式推導過程均體現了轉化思想，并用文字、圖形加符號的結構圖表征出圖形面積之間的轉化關系。在學生充分交流的基礎上，教師將其進一步結構化，梳理出圖形與數計算中的轉化，在課件中以知識樹的方式動態呈現（如圖6），并引導學生再次反思：通過回顧，你對轉化策略又有怎樣的認識？有學生回答，“我認為轉化策略在數學學習中很重要，它讓我們不斷學到新的知識”，有學生回答，“今后我們遇到新的問題、難的問題時，可以先把它轉化成已學過的問題再解決”……這時教師可以將話題進一步延伸：“除此之外，數和形有時也可以相互轉化，讓問題變得便于解決，下節課我們將繼續研究。”進一步拓展轉化的對象與方法，為下節課的學習作好鋪墊。

圖6 轉化思想樹狀圖

反思性課堂作業引導學生以轉化思想的視角，“俯視”以往的學習歷程。學生在回顧中或是發現點狀轉化思想的特殊運用，或是梳理出網狀轉化思想的普遍運用，走出本課內容發現轉化方法的多樣性、轉化思想的普遍性。在此基礎上梳理出的樹狀圖，帶領學生穿行于知識結構之中，深入體驗轉化思想的價值。這一作業涵蓋了以往數與形的內容，通過小組合作、集體交流、教師助推等方式，幫助學生實現認知結構再組織的同時，直觀地、全面地感受轉化思想運用的一般性和內在的生長力，使學生對數學思想的感悟進一步深刻化、整體化。學生對轉化策略再認識的回答更是體現出轉化思想在學生心中的理性內生。

數學思想的感悟是一個長期滲透、反復感悟、螺旋上升的過程，不是通過一節課的教學、幾項作業的完成就可以實現的，尤其是課堂作業的完成時間、交流時間有限，學生難以在課堂上進行長時間思考，實踐性上也有所局限，悟的深度和廣度勢必會受到一定影響，這些問題需要課后作業予以補足。但精心設計課堂作業，精致組織以學為中心的、以課堂作業為載體的教學活動，無疑是引導學生減負增效，感悟數學思想的必要方式。

參考文獻

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[3] 顧沛.數學基礎教育中的“雙基”如何發展為“四基”[J].數學教育學報，2012，21（01）：14-16.

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[5] 侯正海.促進理解：數學教學的追求[J].小學數學教育，2016（Z2）：126-129.

[責任編輯：陳國慶]