不等式恒成立問題的解法探究——2022年新高考全國Ⅱ卷數學第22題

摘 要：本文以2022年新高考全國Ⅱ卷第22題為例，對題目進行多角度分析，總結高考中常見的不等式恒成立問題的解題策略，同時給出備考建議.

關鍵詞：新高考;函數與導數;數列

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2022）22-0036-03

2022年的高考數學卷著眼于對數學思想方法和數學核心素養的考查，其中新高考Ⅱ卷第22題則是將導數、不等式、數列有機結合對學生進行考查.下面將對新高考Ⅱ卷第22題進行解答與分析.1 試題呈現與評析

試題評析 本題第（1）小問討論函數單調性，主要考查函數與導數、單調性與導數的關系等知識;考查學生函數與方程、數形結合的數學思想以及運用基礎知識解決數學問題的能力.第（2）小問主要考查函數與導數、不等式恒成立求參數取值范圍的問題，考查學生對問題的分類討論能力、邏輯推理能力以及數學建模能力.第（3）小問主要考查通過函數導數解決不等式的基本方法，實現問題的解決.本題充分體現了起點低，落點高，涉及知識點較多，有很強的綜合性和靈活性，具有一定的區分度，自主探索性強，是一道考查學生數學素養和能力的優質題.

2 試題解法研究第（1）問求導后容易判斷單調性，這里解答從略.下面對第（2）問進行研究，相關解法如下.

2.1 第（2）問解析

思路1 對參數討論，轉化為恒成立.

解法1 若a≥1，由（1）知，當a=1時，f（x）的最小值為f（0）=-1，即xex-ex≥-1，所以當x>0時，f（x）≥-1，與題意矛盾;

評注 解法1是對參數進行分類討論，進而將所證明不等式轉化為恒成立問題，利用同構結合函數單調性進行證明解決，其中對參數分類討論時節點的選取較為不易想到.

原不等式恒成立等價于y=ax的圖象位于y=g（x）的圖象下方，臨界情況為兩函數圖象相切，切點易知為x=0.由于g（x）在x=0處無定義，下面則對其導函數分析，

評注 解法2是將所給不等式合理變形轉化為f（x）>g（x）的形式，能夠較容易地判斷出不等號兩邊函數的圖象關系.難點在于對g（x）及其導數在x=0的討論，涉及到高等數學中的極限思想，較為復雜.

評注 兩種解法均為直接變形后移項構造函數，但后續對于導數結合不等式的放縮的討論情況比較復雜，而對導函數求解零點的討論相對簡單.相比于解法1，2，這兩種解法較為常規，同時也是構造含參函數解決不等式恒成立問題的一般思路.

2.2 第（3）問解析

評注 此題的難點在于如何將不等式進行轉化，第（3）問可以在第（2）問的基礎上對問題進行解決，通過構造函數相對應的不等式，進而對x取值，得到數列型不等式，也可以直接觀察所需證明的不等式與函數方程結合解決問題.本題將函數、導數、數列以及不等式等知識有機結合，考查學生靈活應用函數、不等式思想解決復雜問題的能力，對直觀想象和邏輯推理能力也有較高的要求.

對導數的學習要淡化技巧， 重視基礎， 回歸問題的本質，掌握基本數學思想，注重通解通法.作為一名教師，教學中要鞏固學生的知識基礎，構建完整的知識體系，幫助學生將知識整合并對其系統化.此外，教師在解題教學過程中應當把握教學目標， 鞏固學生對自身知識的認知， 堅持問題驅動原則，引導學生思考問題.充分利用數學思想進行解題指導，多角度嘗試解決問題，從而培養學生的數學思維，提高數學素養.

參考文獻：

[1]李浩賓，高軍.不等式恒成立問題的解法探究——以2020年高考全國Ⅰ卷理科數學壓軸題為例[J].中學數學研究（華南師范大學版），2020（21）：9-11.

[2] 胡貴平.導數中的數列型不等式[J].數理化解題研究，2019（25）：2-5.

[責任編輯：李 璟]

收稿日期：2022-05-05

作者簡介：廖梓豪，男，本科在讀，從事中學數學教學研究.