問題背景探索，示例突破思考

章珣

[摘? 要] 拋物線與幾何綜合題是中考重難點題型，問題兼具“數”與“形”雙重特性. 對于其中與幾何面積結合緊密的問題，要立足面積公式，通過數形結合來轉化條件，構建模型. 文章分析了該類問題的知識背景，結合實例具體探究，并開展解后反思，提出相應的教學建議.

[關鍵詞] 拋物線;三角形;面積;平移轉化;模型

背景探索

拋物線與幾何圖形結合是常見的命題形式，是“數”與“形”融合的典型代表，問題的知識點覆蓋廣，涉及函數與圖像、幾何圖形的性質特征.

拋物線與幾何綜合題的構建形式多樣，主要以拋物線與直線相交為基礎，依托交點構建幾何圖形，設問形式有求交點坐標，分析圖形周長，探究圖形面積等. 其中以三角形的屬性問題尤為常見，也是拋物線與幾何結合的考查核心. 問題突破需要采用數形結合法，以點坐標為關聯紐帶，通過構建模型將周長和面積問題轉化為與線段長或關于點坐標參數的問題.

探究示例

2021年江蘇省揚州市的函數壓軸題為拋物線與幾何的綜合，依托交點構建了三角形，問題條件與三角形的面積密切相關，下面筆者進行深入探究.

考題：（2021年江蘇省揚州市中考卷第26題）如圖1所示，在平面直角坐標系中，二次函數y=x2+bx+c的圖像與x軸交于點A（-1，0）和點B（3，0），與y軸交于點C.

（1）b=________，c=________;

（2）若點D在該二次函數的圖像上，且S△ABD=2S△ABC，試求點D的坐標;

（3）若P是該二次函數圖像上位于x軸上的一點，且S△APC=S△APB，直接寫出點P的坐標.

突破第（1）問——待定系數法

該問求二次函數的特征參數，采用待定系數法即可. 已知拋物線上A和B的坐標，將點坐標代入解析式中，可得1-b+c=0，

9+3b+c=0，解得b=-2，

c=-3.

另解，拋物線與x軸的交點為A和B，根據方程根與x軸交點坐標的關系，可直接將二次函數解析式表示為y=（x+1）（x-3），整理后可得y=x2-2x-3，顯然b=-2，c=-3.

突破第（2）問——構建面積模型

該問設定點D在二次函數的圖像上，條件“S△ABD=2S△ABC”涉及兩個三角形的面積關系，其中△ABC為定三角形，其面積可求，故可通過設點D的坐標，構建關于△ABD面積的方程，將問題轉化為關于點坐標參數的方程，解方程即可.

連接BC，如圖2所示，由二次函數解析式可求點C（0，-3），則△ABC的面積為S△ABC=×4×3=6，可推得S△ABD=12. 點D位于拋物線上，可設其坐標為（m，m2-2m-3）. 將△ABD視為是以AB為底，D為頂點的三角形，則可將其面積表示為S△ABD=×AB×h，其中h表示點D到AB邊的距離，AB=4，所以可將其面積進一步表示為S△ABD=×4×m2-2m-3，則×4×m2-2m-3=12，從而可解得m=1+或m=1-. 當m=1+時，D1（1+，6）;當m=1-時，D2（1-，6）.

突破第（3）問——平行轉化建模

該問設定點P在二次函數的圖像上，條件“S△APC=S△APB”同樣涉及兩個三角形的面積關系，屬于等面積問題. 不過這兩個三角形均含有不確定點P，故無法直接求出其面積. 分析時可將兩個三角形視為同底三角形，即△APC和△APB有共同的底AP，結合三角形的面積公式可知，只需確保點B和點C到AP所在直線的距離相等即可. 下面具體推導問題的轉化思路，并分析點坐標的位置.

問題轉化：“S△APC=S△APB”→點B和C到AP的距離相等→BC∥AP.

位置分析：BC∥AP→點P位于拋物線x軸的上方.

根據上述分析，可知點P位于x軸的上方，可設點P（n，n2-2n-3），故n2-2n-3>0，可解得n<-1或n>3. 當n<-1，此時點P位于點A的左側，顯然無法構建AP，使得BC∥AP，不成立. 當n>3，此時點P位于點B的右側，如圖3所示. 可設直線BC的解析式為y=kx+p，結合點B和C的坐標可得k=1，p= -3，即直線BC的解析式為y=x-3. 設直線AP的解析式為y=k1x+q，因為BC∥AP，則k1=k=1，將點A（-1，0）代入其中，可得y=x+1，將點P（n，n2-2n-3）代入其中，可得n2-2n-3=n+1，可解得n=4或n=-1（舍去），所以可得點P的坐標為（4，5）.

問題思考

上述對考題的思路構建過程進行了深入探究，后兩問為核心之問，均與三角形的面積相關. 但從問題的構建思路來看，其轉化過程、模型構建等環節有著較大的差異. 下面筆者針對兩個核心問題進行深度思考.

問題1? 后兩問涉及三角形面積關系，思路構建有較大差異的原因是什么？

第（2）問條件“S△ABD=2S△ABC”中，涉及△ABD和△ABC，其中點D的位置不確定，造成△ABC為定三角形，而△ABD為“動三角形”，從而可直接求出三角形的面積. 而第（3）問條件“S△APC=S△APB”中，不確定點P位于兩個三角形中，這就造成兩三角形的面積不可求，只可結合面積公式來推測頂點的位置關系.

問題2? 第（2）問和第（3）問均求頂點坐標，造成解個數不同的原因是什么？

結合“平行線之間的距離相等”可知，在確定三角形的底邊和頂點的情形下，理論上滿足條件的點有兩個，且兩點的連線與底邊所在直線相平行. 而在第（2）問中，底邊BC與x軸重合，故滿足條件的頂點D1和D2的連線與x軸平行，即兩點的縱坐標相等，由于兩點位于拋物線上，則兩點關于拋物線的對稱軸對稱. 在第（3）問中，同樣通過平行來確定點坐標，但AP是作為三角形底邊來構建的，且點A為定點，位于拋物線上，故通過作平行線只可求得一點.

問題3? 對于第（3）問的等面積關系，可從哪些角度來變式？

變式1：若將其中點A的坐標變更為（-2，0），則滿足條件的點P有幾個？

分析：基于上述問題2的探究，可知滿足條件的點P有兩個. 從幾何視角來看，相當于將原題目中的直線AP向左平移1個單位長度.

變式2：若P是該二次函數圖像上位于x軸上的一點，且S△APC=S△APB，是否可求出四邊形ACBP的面積？

分析：四邊形ACBP為一般的四邊形，確定其坐標后，可采用面積割補的方法求其面積，可將其表示為S四邊形ACBP =S△ABP +S△ABC=×AB×yP -yC，代入線段長和點坐標即可求解.

教學建議

1. 關注問題考點，探究知識本質

拋物線與幾何綜合屬于重難點題型，問題涵蓋了眾多的知識考點，問題的構建形式較為復雜，實際突破過程需要學生充分把握知識考點，深入探究問題本質. 以上述第（2）問為例，給出面積關系求點坐標，主要考查面積轉化、模型構建，以及函數背景下幾何推理. 從問題本質來看，實則為面積方程問題，即根據幾何面積構建關于坐標參數的方程. 在實際教學中，建議教師引導學生分步審題：第一步，梳理題干信息，歸納知識考點;第二步，解析問題條件，深度轉化思考;第三步，回歸教材知識，探究問題本質.

2. 把握核心解法，生成解題策略

從問題屬性來看，可將上述問題歸為函數圖像中的面積關系問題，問題具有“數”“形”融合的特性，故數形結合是該類問題突破的核心解法，該方法體現在讀圖審題、條件轉化、模型構建、推理計算等多個過程中. 以上述考題的第（3）為例，在探究等面積關系條件下頂點坐標時，充分結合數形結合的方法，基于頂點屬性構建面積模型，通過平行特性來確定頂點坐標，利用點代法來推理計算. 實際教學中，教師要引導學生深刻理解數形結合的方法內涵，掌握數形結合解析問題的核心步驟，即首先結合圖像理解題意，根據圖像的特征挖掘隱含條件，然后通過解方程、求函數解、分析函數性質等方法完成推理計算.

3. 深度思考問題，合理變式探究

“解后反思”是解題教學的重要環節，在該環節中教師可以全面審視問題，反思解法，形成類型問題的解析策略. 以上述考題反思為例，筆者對后兩問的構建思路、問題的解、變式方向進行了探究，從頂點屬性、模型構建、平移轉化等視角進行了深入思考，所總結的解題經驗對于后續類型題的探究十分有利. 實際上拋物線背景下的幾何面積問題十分常見，并形成了面積比值轉化、面積存在性、面積最值等多類型問題，但問題突破的方法策略是一致的，故開展解后反思極為重要. 實際教學中，建議教師引導學生立足問題反思解法，利用解析方法探索問題特征，給學生留足思考空間，讓學生在思維碰撞中獲得能力提升.