無圖無真相，有圖有真相

周薇

[摘? 要] 以一節初三數學復習課為例，提出無圖題求解的教學路徑，即小試牛刀，感知不變;對比發現，理解不變;拓展升華，強化不變. 這有利于學生在獲得構圖一般方法的過程中，領悟以不變應萬變的辯證思想.

[關鍵詞] 初三數學;復習課;不變;無圖

無圖題是中考中重要的一類題型，綜合考查了學生運用所學知識解決問題的能力. 因此，探討其解決的通法具有一定的現實意義. 在無圖題的構圖過程中，有利于培養學生直觀想象能力、數學概括能力等，在獲得構圖一般方法的過程中，領悟以不變應萬變的辯證思想.

小試牛刀，感知不變

問題1 在菱形ABCD中，AB=6，∠ABC=60°，以AD為邊作等腰直角三角形ADF，∠DAF=90°，連接BF，BD，則△BDF的面積為________.

學生獨立思考，筆者抽部分學生到黑板上演示，學生畫出了相應的圖形. （如圖1、圖2所示）.

師：問題1沒有圖形，你是如何確定點F的位置的呢？在等腰直角三角形ADF中，什么是確定的？什么是不確定的呢？

生：在這個試題中，菱形ABCD的大小與形狀是確定的，等腰直角三角形ADF的形狀確定，但是位置不確定. 因為等腰直角三角形ADF是以菱形的邊為直角邊作的，但是點F可以在AD的上方，也可以在AD的下方. 如圖1所示，當AF在AD上方時，延長FA交BC于點E. 因為AB=6，∠ABC=60°，根據銳角三角函數，得BE=3，AE=3，所以S=BC×AE=6×3=18，而菱形的對角線把菱形分成面積相等的兩部分，所以S=×18=9，根據三角形的面積公式，得S=AF×BE=×6×3=9，S=×6×6=18，所以S=S+S+S=9+27.如圖2所示，當AF在AD下方時，根據三角形的面積公式，得S=AF×BE=×6×3=9，S=×6×6=18，根據前面的計算，得S=×18=9，所以S=S+S-S=27-9. 所以△BDF的面積為27+9或27-9.

師：如果試題中沒有給出圖形，我們可以根據題意畫出所有符合題意的圖形，然后分析題意，找到解題思路.

設計意圖 給學生設置無圖題，引導學生根據題意畫出相應的圖形. 同時，通過問題的提出，引導學生從理性的角度分析為什么要這樣畫圖，進而促進學生通過深入分析，形成畫圖的意識.

對比發現，理解不變.

問題2 在△ABC中，AC=2，D為直線AB上一點，且AB=3BD，直線CD與直線BC所夾銳角的正切值為，并且CD⊥AC，則BC的長為________.

有了上述的學習經驗，大多數學生能畫出第一種圖形，如圖3所示. 在求異思維下，部分學生能畫出第二種情況的圖形，如圖4所示.

師：你是如何想到符合題意的圖形有兩種？

生：因為已知△ABC，AC=2，只有一條邊確定的三角形的形狀與大小是不確定的，所以可能存在銳角三角形與鈍角三角形兩種情況. 如圖3、圖4所示.

師：比較圖3與圖4，你能發現哪些不變的圖形與數量關系呢？

生：△ACD的形狀與大小不變，△ACD是直角三角形，∠ACD=90°，直角邊AC=2不變，線段AB與BD的數量關系不變，始終為AB=3BD，還有直線CD與直線BC所夾銳角的度數不變，正切值始終為.

師：比較圖3與圖4，你能發現變化的是什么？

生：發生變化的是點B的位置，由于點B的位置不同，引起了線段BC長度的變化，如圖3所示，當點B在線段AD上時，過點B作BM⊥CD，垂足為M，因為CD⊥AC，所以BM∥AC，根據相似三角形的判定定理，得△DBM∽△DAC，根據相似三角形對應邊成比例，得=，因為AB=3BD，AC=2，所以==，所以BM=，在Rt△BMC中，由tan∠BCM=可得，BC=BM=;如圖4所示，當點B在線段AD的延長線上時，過點B作BN⊥AC，交AC的延長線于點N，因為CD⊥AC，所以BN∥CD，根據相似三角形的判定定理，得△ADC∽△ABN，根據相似三角形對應邊成比例，得=，因為AB=3BD，AC=2，所以==，解得CN=，在Rt△BNC中，由tan∠CBN=tan∠BCD=可得，BC=CN=×=5，所以線段BC的長為或5.

師：如何解決無圖類的幾何試題呢？

生：從上面的解答過程可以看出，找出所作圖形中不變的圖形，然后再根據所給數量關系畫圖，是解決此類問題的關鍵.

設計意圖 問題1的解決，使學生建立了畫圖的意識，嘗試把無圖變為有圖. 對比圖3與圖4兩個圖形，是為了找到它們的相同點與不同點，讓學生變換視角看待問題，在反思歸納的過程中得到解決無圖類問題的關鍵是構圖，而構圖的關鍵是找到不變的圖形與不變的數量關系.

拓展升華，強化不變

通過上述的探究，學生得到了構建圖形的一般方法，此時筆者給出了有一定綜合背景的問題，以促進學生進一步鞏固理解所學知識.

問題3 ☉O的半徑為5，△ABC內接于☉O，AB=AC，BC=6，則△ABC的面積是________.

師：在這個問題中，不變的是什么？不能確定的是什么？

生：在這個問題中，☉O的大小是確定的，半徑是5，所以可以先畫一個☉O，△ABC與☉O的位置關系也是確定的，即△ABC是☉O的內接三角形. 對于△ABC，已知AB=AC，BC=6，它的形狀與大小是不確定的，可能有兩種情況，即當△ABC是銳角三角形時，如圖5所示，連接AO并延長交BC于點H，連接OC. 因為AB=AC，根據圓心角定理，得=，根據垂徑定理，得AH⊥BC，所以∠CHO=90°，CH=BC=3，因為OC=5，在直角三角形OHC中，由勾股定理，得OH==4，所以AH=OA+OH=9，所以△ABC的面積=AH×BC=×6×9=27;當△ABC是鈍角三角形時，如圖6所示，連接AO交BC于點H，連接OC. 因為AB=AC，根據圓心角定理，得=，根據垂徑定理，得AH⊥BC，所以∠CHO=90°，CH=BC=3. 因為OC=5，在直角三角形OHC中，由勾股定理，得OH==4，所以AH=OA-OH=1，根據三角形的面積公式，得△ABC的面積=AH×BC=×1×6=3.綜上所述，△ABC的面積是3或27.

設計意圖 通過問題3的訓練，引導學生善于尋找問題中不變的量與變化的量，進而得到不變的圖形與變化的圖形. 此題是一道與圓有關的試題，考查了圓的有關性質，學生只有分類畫出兩種符合題意圖形，才能得到正確的結果，雖然圖形有別，但是解決這兩種情況的思路幾乎相同.

一點感悟

課堂教學的主體是學生，問題的引導要符合學生的認知規律，貼近學生的最近發展區，以實現課堂教學目標的達成. 本課中的問題設計貼近學生的最近發展區，立足學生解題經驗的基礎上，要求學生改變視角重新探求構圖方法，促進了學生思維的不斷發展. 數學學習是學生主動建構知識的過程，教師從兩個常見的問題入手，通過啟發歸納的方法，引導學生探究解決無圖試題的一般方法，整個課堂有生生互動與師生互動，在觀察比較、歸納總結中，得到構圖的一般方法，體現了以不變應萬變的辯證思想.