從“直觀判斷”到“邏輯論證”

吳紅英

[摘? 要] 數學復習課是鞏固階段性學習成果、提升數學能力的重要課型，在復習課中，教師要通過引導學生進行合理猜想、邏輯推理、理性論證，讓學生由感性認識上升到理性認識，提升學生的學科綜合素養.

[關鍵詞] 直觀判斷;邏輯論證;數學能力

數學復習課一直是教師較難把握的一類課型，如何提升復習效果，避免“炒冷飯”，讓復習課上出新意，上出特點，是他們一直研究的課題.復習課沒有固定的教材和習題，也沒有新鮮的素材，教師要通過自己的知識體系和理解認識進行教學，幫助學生進行階段性的復習鞏固，提高解題能力，構建知識體系. 在實際教學中，有些教師的復習課只是把知識點進行羅列，然后通過講題完成復習，學生往往只是得到了零散的知識和會做幾道題，那么這一階段需要掌握哪些數學方法，體會什么數學思想，學生無法感受到. 為此，筆者在復習全等三角形一課時，從數學猜想開始，引導學生一步步探索數學知識的發生過程.

課堂實錄

1. 課堂導入

播放視頻《有趣的方塊》，視頻內容介紹：

（1）一個長方形由24塊木塊組成.

（2）第一步，將左上方的一個木塊拿掉，并將右斜方梯形形狀的木塊移出來.

（3）第二步，移動左邊的豎側方塊放到右斜方向空出的位置.

（4）第三步，將第一步拿掉的梯形形狀木塊放回左側.

（5）經過移動變化之后的圖形仍然是一個長方形.

（6）拿掉一個木塊，為什么還是一個長方形呢？

視頻連續滾動播放，教室里很安靜，學生默默觀看. 當第三遍播放結束時，學生開始討論. 有學生說：好神奇，為什么拿掉一塊木塊，圖形還是沒有改變呢？這時有個學生說，如果繼續再按照這個步驟做一次，圖形還是不變嗎？如果這樣，那木塊永遠不會少嗎？學生哈哈大笑. 過了一會兒，有一位男生又站了起來，這個圖形還是有變化的，它的面積好像變小了. 學生們紛紛動手嘗試，確認了這名學生的想法.

師：現在我們用幾何畫板來演示一下，看一看到底是什么情況.

幾何畫板展示（如圖1所示）完，學生看得更清楚了，這個長方形的長變了.

師：這個神奇的視頻告訴我們，有時候“眼見不一定為實”，數學需要用證據來說話，所以有時還需要借助工具以及數學知識來幫助我們去證明.

2. 圖形探究

師：老師會一種神奇的證明方法，可以證明任意一個三角形都是等腰三角形或是一個等邊三角形.

生：不可能.

師：那我們拭目以待吧.

案例1 如圖2所示，畫一個三角形ABC，作∠BAC的角平分線AO，作BC邊上的中垂線DO，兩條線相交于點O，嘗試證明AB和AC相等.

生1：由AO是∠BAC的角平分線，所以∠BAO和∠CAO相等，由于OD是BC邊上的中垂線，所以OB和OC相等. 由△BAO和△CAO相似，可以證明AB和AC相等.

師：同學們，這位同學分析得對嗎？

生2：我認為是錯的，因為這個三角形全等的判定依據是錯的.

師：那么你有什么辦法可以證明AB和AC相等嗎？

學生們開始自己思考，自己作圖并討論.

生3：我是通過作輔助線證明的，如圖3所示，過點O作OE垂直于AB，OF垂直于AC，垂足分別為E和F，這樣可以證明AE和AF相等.

師：怎么證明呢？

生4：由于AO是∠BAC的角平分線，所以∠EAO和∠FAO相等，因為OE垂直于AB，OF垂直于AC，所以∠AEO和∠AFO相等，都為直角. 在△AEO和△AFO中，∠EAO和∠FAO相等，∠AEO和∠AFO相等，因為兩個三角形全等，所以AE和AF相等.

師：很好，那么接下來怎么才能證明AB和AC相等呢？

學生異口同聲地說，證明EB和FC相等.

師：那么誰來展示一下呢？

生5：因為OD是BC邊上的中垂線，所以OB和OC相等，因為OE垂直于AB，OF垂直于AC，所以∠OEB和∠OFC相等，并且都為直角. 在直角三角形BEO和直角三角形CFO中，OE和OF相等，OB和OC相等. 因為直角三角形BEO和直角三角形CFO全等，所以BE和CF相等. 由AE加BE的和等于AB，AF加FC的和等于AC，所以AB和AC相等.

經過學生們的思考和討論，教師與他們一起復習了判定全等三角形的方法，學生們紛紛表示懷疑，難道真的任意一個三角形都是等腰三角形嗎？可是這不可能啊！

師：大家一定會覺得很奇怪吧！那同學們再討論思考一下，看看是什么問題導致的呢？

生6：老師，我仔細觀察了剛才的證明是正確的，只有一種可能就是圖有問題.

學生紛紛恍然大悟，肯定問題在這里.學生還紛紛提出了自己的意見，有的說是角平分線的問題，也有的說是中垂線的問題，還有的認為是中垂線和角平分線的交點問題.

師：既然同學們覺得老師的圖畫得有問題，那么同學們嘗試一下，能畫出一個標準的圖形嗎？

3. 操作實踐

學生紛紛拿出作圖工具開始嘗試，教師進行巡課和指導.

步驟：先任意作一個三角形，再作BC邊上的中垂線和∠BAC的角平分線.

學生經過自己的實踐操作，發現∠BAC的角平分線和BC邊上的中垂線的交點不是像課件上顯示的在△ABC的內部，而是在三角形的外部.

學生通過自己的實踐操作，發現原來問題就在作圖上面.看到這個結果，學生終于長舒了一口氣.

師：經過剛才的實驗，我們是否可以總結這樣一個定理，三角形任意邊的中垂線與這條邊所對的角平分線的交點一定在三角形的外面.

（學生陷入了思考）

生7：老師，我覺得不一定，我們只畫了一種三角形，三角形分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形，我們必須把每一種都試一下，才能確定剛才的判斷能不能成立.

師：好的，那么下面大家分小組進行討論和交流一下.

生8：我們經過討論，覺得這個判斷是對的，課前的證明是不可能的.

4. 推理論證

學生覺得今天的學習已經告一段落了，教師繼續追問.

師：剛才我們只是通過作圖發現了結論，但是數學問題我們還需要進行理論證明，如何證明我們的這個結論是正確的呢？

教室里的氛圍又安靜下來，學生紛紛覺得無從下手.

師：看來這個問題把大家難倒了，如果無法直接證明，我們是否可以換一個角度來解決呢？

生9：我們可以假設交點在三角形的內部，如圖4所示，如果是等邊三角形，那么角平分線和對邊中垂線的交點就在三角形的內部，反之則交點在外部.

（學生紛紛表示贊同）

師：大家覺得他的證明沒有問題嗎？

學生又開始疑惑了，難道還有問題嗎？

生10：我覺得這個圖有問題，如果是等邊三角形的話，那么這個角的角平分線和對邊中垂線的交點應該是重合的，沒有交點. 同樣等腰三角形也有三線合一的性質，因此，當一個三角形是等腰三角形時，頂角的角平分線和底邊中垂線也是沒有交點的，當三角形不是等腰三角形時，則滿足交點在三角形的外部.

（學生不由自主地發出了感嘆聲）

師：這節課同學們沖破了錯誤的理論的重重迷霧，撥云見日，最終獲得了正確的答案，在這個過程中，我們不僅學會了作圖，復習了全等三角形的相關知識，而且也認識到許多直觀的現象不一定是正確的，要用科學的理論進行驗證，多思多辨.

反思總結

1. 從直觀觀察到邏輯論證，培養科學的態度

科學的理性精神可以幫助學生更加客觀理性地看待世界，在數學課堂中，學生可以通過觀察、實踐、思考、內化逐漸形成思考問題的方法和態度. 本課中教師從一個有趣的問題引導學生進入復習，讓學生初步認識直觀觀察的弊端和引入理論證明的必要性. 從最初的感性認識上升到理性認識，學生完成了思維的飛躍，培養了科學的態度.

2. 巧妙設計增加課堂趣味，提升復習效果

復習課不像新授課那樣有新鮮感，如何調動學生的興趣是教學中的難點，因此教師需要在教學設計上下功夫. 教學中教師要改變講得多、總結歸納少，讓學生做得多、思考少的現象. 數學復習課要從學生發展的角度，提升學生的綜合素養. 教師要通過巧妙的設計，使不同層次的學生都能有所發展，從感性的認識升華到認識的感悟，提升復習課的有效性.

總之，有效的復習課能幫助學生建構知識體系，滲透數學思想，提煉數學方法. 教師要為學生創設思維空間，鼓勵學生盡情探究，充分發展. 復習課的教學要始終以學生為主體，從“學”的角度進行教學設計，只有關注學習目標的實現，才能達成復習的效果，提升學生的綜合素質.