追求意義的深度理解

賀艷

摘要：二年級(jí)上冊(cè)《認(rèn)識(shí)線段》一課中，變幻莫測(cè)的“端點(diǎn)”給學(xué)生的學(xué)習(xí)帶來了困惑。這是因?yàn)榻虒W(xué)并沒有突出端點(diǎn)的本質(zhì)含義，學(xué)生并沒有體會(huì)到端點(diǎn)內(nèi)在的意義和價(jià)值。對(duì)此，重構(gòu)了《認(rèn)識(shí)線段》一課教學(xué)，重點(diǎn)突出端點(diǎn)“再創(chuàng)造”的過程，實(shí)現(xiàn)端點(diǎn)意義的深度理解。具體教學(xué)過程包括：經(jīng)歷體驗(yàn)，操作感悟;多元表征，加深理解;抽象概括，領(lǐng)悟本質(zhì);運(yùn)用理解，提升認(rèn)知。

關(guān)鍵詞：線段;端點(diǎn);意義理解

一、變幻莫測(cè)的“端點(diǎn)”

蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)二年級(jí)上冊(cè)《認(rèn)識(shí)線段》一課，我們常會(huì)看到這樣的教學(xué)場(chǎng)景：

教師示范、引導(dǎo)學(xué)生將一根線拉直后，介紹拉直的一段線可以看成線段，強(qiáng)調(diào)為了看清并突出手捏的兩端，數(shù)學(xué)上用小豎線表示兩端，叫作“端點(diǎn)”，進(jìn)而抽象出線段的圖形。接著，讓學(xué)生舉例，在生活中找線段，如黑板的邊、課本的邊、直尺的邊等，并分別指出它們的端點(diǎn)。

教師讓學(xué)生判斷幾個(gè)圖形是否為線段，并說明理由。接著，讓學(xué)生數(shù)一數(shù)平面圖形（正方形、三角形、長方形等）分別由幾條線段圍成，說出它們的端點(diǎn)分別在哪里。

教師讓學(xué)生思考：畫出三個(gè)點(diǎn)，每兩點(diǎn)之間畫一條線段，能數(shù)出有幾條線段？如果三個(gè)點(diǎn)在一條直線上（如圖1所示），能數(shù)出幾條線段？

細(xì)加分析這樣的課堂，可以發(fā)現(xiàn)：首先，從一條直的線上抽象出線段，介紹線段有兩個(gè)“端點(diǎn)”;接著，回到生活中找線段，發(fā)現(xiàn)物體的邊沒有“端點(diǎn)”;而后，判斷圖形是否為線段，強(qiáng)調(diào)有“端點(diǎn)”;再到數(shù)線段圍成的圖形，這時(shí)“端點(diǎn)”又消失了……在這一學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生不斷切換生活與數(shù)學(xué)的場(chǎng)景，“端點(diǎn)”也在不斷地出現(xiàn)、消失、變化。變幻莫測(cè)的“端點(diǎn)”給學(xué)生的學(xué)習(xí)帶來了困惑：

困惑1：生活中舉出的線段實(shí)例都沒有端點(diǎn)，畫一條直的線更接近生活中線段的樣子，為什么數(shù)學(xué)上的線段要畫端點(diǎn)？僅僅為了看清楚兩端嗎？不畫端點(diǎn)也看得很清楚，端點(diǎn)在這里有怎樣的作用？

困惑2：判斷圖形是否為線段時(shí)，強(qiáng)調(diào)有兩個(gè)端點(diǎn)，但在數(shù)正方形、三角形等平面圖形中的線段時(shí)，為什么線段的端點(diǎn)卻消失了？是不是應(yīng)該標(biāo)出圍成平面圖形的每條線段的端點(diǎn)？

困惑3：線段只有兩個(gè)端點(diǎn)，圖1的線段上有三個(gè)點(diǎn)，為什么還是線段？

二、“端點(diǎn)”的教學(xué)意義何在

線段的端點(diǎn)僅僅是為了突出兩端，做一個(gè)簡單的豎線標(biāo)記嗎？“端點(diǎn)”的教學(xué)該突出怎樣的數(shù)學(xué)意義？又該以怎樣的方式進(jìn)行才能達(dá)到應(yīng)有的價(jià)值追求呢？

筆者比較了蘇教版、人教版和北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)教材對(duì)“線段”這一內(nèi)容的編排，發(fā)現(xiàn)：蘇教版和人教版更接近，第一階段都安排在二年級(jí)上冊(cè)，以描述性定義介紹線段后抽象出圖形，第二階段都安排在四年級(jí)上冊(cè)，用已學(xué)的線段引出射線、直線的學(xué)習(xí)，介紹它們的端點(diǎn)、長度并比較它們之間的區(qū)別;北師大版在二年級(jí)上冊(cè)僅結(jié)合測(cè)量直觀認(rèn)識(shí)直的線（無端點(diǎn)），沒有單獨(dú)認(rèn)識(shí)線段，而在四年級(jí)上冊(cè)集中學(xué)習(xí)線段、射線、直線，在認(rèn)識(shí)端點(diǎn)數(shù)量的過程中明確各自的長度。

可以預(yù)想，三個(gè)版本的教材，不論是分兩段教學(xué)還是集中教學(xué)，學(xué)生都應(yīng)在四年級(jí)學(xué)習(xí)時(shí)，結(jié)合三種線的長度比較，明確端點(diǎn)表示線的起點(diǎn)和終點(diǎn)，進(jìn)而領(lǐng)會(huì)線長度的有限性和無限性。此時(shí)，學(xué)生才能達(dá)成對(duì)“端點(diǎn)”意義的深刻認(rèn)識(shí)和理解。這也許是北師大版集中教學(xué)線段、射線和直線的原因。

那二年級(jí)教學(xué)時(shí)，教師直接告知學(xué)生“手捏的兩端”是線段的端點(diǎn)就行了嗎？顯然不行。這樣的教學(xué)并沒有突出端點(diǎn)的本質(zhì)含義，學(xué)生并沒有體會(huì)到端點(diǎn)內(nèi)在的意義和價(jià)值，只停留于“兩個(gè)短豎線”的符號(hào)標(biāo)記印象，產(chǎn)生困惑也是情理之中。那么，本節(jié)課該如何突破“端點(diǎn)”的理解難點(diǎn)，突出對(duì)“端點(diǎn)”數(shù)學(xué)本質(zhì)的領(lǐng)悟，同時(shí)為第二階段再學(xué)習(xí)做好順利對(duì)接和經(jīng)驗(yàn)積累的準(zhǔn)備呢？

三、在創(chuàng)造中感悟“端點(diǎn)”

史寧中教授指出：數(shù)學(xué)教育不應(yīng)當(dāng)讓教師和學(xué)生都沉迷于符號(hào)的世界，教師要理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，讓學(xué)生在情境中理解數(shù)學(xué)概念和運(yùn)算法則，感悟數(shù)學(xué)命題的建構(gòu)過程，感悟問題的本源和數(shù)學(xué)表達(dá)的意義。史寧中.教育與數(shù)學(xué)教育：基于以上反思，筆者重構(gòu)了《認(rèn)識(shí)線段》一課的教學(xué)，重點(diǎn)突出端點(diǎn)“再創(chuàng)造”的過程，實(shí)現(xiàn)端點(diǎn)意義的深度理解。

（一）經(jīng)歷體驗(yàn)，操作感悟

師生共同將一根線拉直，教師介紹：像這樣兩手之間直直的一段線可以看成線段。隨后，教師將拉著線的兩手不斷變換位置，引導(dǎo)學(xué)生觀察：雖然位置不同，但都是直的，都可以看成線段。這個(gè)環(huán)節(jié)突出線段是直的這一特征。

接著，教師追問：剛才手中的這條線段從哪里開始到哪里結(jié)束？并出示活動(dòng)任務(wù)：仍用同一根線，想辦法創(chuàng)造出和剛才不同的線段，并說說創(chuàng)造出的線段從哪里到哪里。學(xué)生動(dòng)手動(dòng)腦創(chuàng)造性地表示出不同的“線段”。

教師選擇典型作品，引導(dǎo)學(xué)生討論：兩手捏的位置不同，為什么都能看成線段？再次明確線段直的特征。接著追問：創(chuàng)造出的這些線段有什么不同？與什么有關(guān)？通過交流討論，明確：線段有的長，有的短;線段的長短和兩手捏的位置（端點(diǎn)）有關(guān)系。

（二）多元表征，加深理解

教師引導(dǎo)學(xué)生在創(chuàng)造和交流的基礎(chǔ)上，挑戰(zhàn)第二個(gè)活動(dòng)任務(wù)：畫出心目中的線段。學(xué)生的作品表達(dá)生動(dòng)、豐富多樣（如圖2所示）：有的畫出兩手拉線的圖，有的用符號(hào)表示（五角星、圓圈、圓點(diǎn)、豎線等）手捏的兩端。學(xué)生用自己理解和喜歡的方式表達(dá)出心目中線段的樣子。此時(shí)的“端點(diǎn)”形態(tài)各異，學(xué)生在多元表征中經(jīng)歷了“再創(chuàng)造”的過程，加深了對(duì)端點(diǎn)的意義理解。

（三）抽象概括，領(lǐng)悟本質(zhì)

教師引導(dǎo)學(xué)生觀察比較：這些作品，兩端的標(biāo)記不同，表示的意思相同嗎？學(xué)生交流：標(biāo)記雖然不同，但都表示從哪里開始到哪里結(jié)束;有了標(biāo)記，就能表示出線段有多長，讓別人看得更清楚;如果沒有標(biāo)記，這條線段就會(huì)一直延長下去，甚至無限長……在交流碰撞中，可以看出，學(xué)生對(duì)他們創(chuàng)造出的標(biāo)記有了深刻的理解。此時(shí)，教師順勢(shì)出示并介紹規(guī)范的線段圖形（如圖3所示），使學(xué)生達(dá)成共識(shí)，水到渠成地完成數(shù)學(xué)表達(dá)和數(shù)學(xué)抽象。

（四）運(yùn)用理解，提升認(rèn)知

有了以上對(duì)于“端點(diǎn)”的意義理解以后，教師讓學(xué)生回到生活中舉例，重點(diǎn)要求學(xué)生結(jié)合實(shí)例，指出找到的線段是從哪里到哪里，突出以端點(diǎn)的意義來解釋，而不是直接問端點(diǎn)在哪里。

對(duì)于三個(gè)點(diǎn)在一條直線上時(shí)能數(shù)出幾條線段，讓學(xué)生明白只要是兩個(gè)端點(diǎn)之間直的一段就是線段，即使線上有多出的點(diǎn)，也不會(huì)影響對(duì)線段的判斷，突出對(duì)線段本質(zhì)的理解和認(rèn)識(shí)。

在數(shù)圖形（如三角形）中的線段時(shí)，教師通過動(dòng)態(tài)演示三條線段圍成三角形的過程，突出端點(diǎn)交匯時(shí)的處理，并適時(shí)講解：當(dāng)三條線段拼接在一起時(shí)，原來的線段端點(diǎn)就藏在相交的這個(gè)點(diǎn)里。這樣能夠幫助學(xué)生解除心中的疑惑，讓數(shù)學(xué)知識(shí)形成的每一步都有理有據(jù)、清晰明了，同時(shí)也為今后深入學(xué)習(xí)三角形的相關(guān)知識(shí)做孕伏。

四、追求“端點(diǎn)”意義的深度理解

（一）突出學(xué)生主體，引發(fā)深度參與

眾所周知，教學(xué)要以學(xué)生為主體，突出學(xué)為中心。但在實(shí)際教學(xué)中，想要真正踐行到位，還需要教師不斷地自省、自覺、自悟。上述“線段端點(diǎn)”的教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生在操作思考中“創(chuàng)造”新的線段，在交流分享中表達(dá)對(duì)線段的理解。學(xué)生“創(chuàng)造”出的“端點(diǎn)”形式多樣、形態(tài)各異，此時(shí)的“端點(diǎn)”不僅僅是一個(gè)符號(hào)標(biāo)記，更凸顯出它的數(shù)學(xué)意義和本質(zhì)，能夠讓學(xué)生的理解更清晰、更透徹、更深入。我們要提供更多的時(shí)間和空間給學(xué)生，解放學(xué)生的手，讓他們?cè)谔骄恐蟹e累發(fā)現(xiàn);解放學(xué)生的口，讓他們?cè)诮涣髦蟹窒砼鲎?解放學(xué)生的腦，讓他們?cè)谒伎贾刑嵘M(jìn)階。

（二）凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì)，促進(jìn)深度感悟

學(xué)習(xí)如果停留于知識(shí)的表面，無疑是膚淺無力的。數(shù)學(xué)是一門追求理性思維和理性精神的學(xué)科，其教學(xué)要凸顯對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的理解與領(lǐng)悟，多追問“是什么”和“為什么”，追尋知識(shí)背后的“理”，才能起到鍛煉思維、提升素養(yǎng)的目的。上述“線段端點(diǎn)”的教學(xué)，依據(jù)“三線”（直線、射線、線段）的整體編排，始終立足端點(diǎn)的意義——線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)，讓學(xué)生在豐富的活動(dòng)中感受到端點(diǎn)表示從哪里開始到哪里結(jié)束，這樣就賦予了端點(diǎn)真實(shí)的數(shù)學(xué)內(nèi)涵。將數(shù)學(xué)知識(shí)放在整體的知識(shí)體系中去思考定位，更能體現(xiàn)本質(zhì)，也更能促進(jìn)學(xué)生的深度感悟。

（三）經(jīng)歷學(xué)習(xí)歷程，實(shí)現(xiàn)深度建構(gòu)

教學(xué)要讓學(xué)生充分經(jīng)歷知識(shí)發(fā)生、發(fā)展和運(yùn)用的過程，在此過程中實(shí)現(xiàn)思維的進(jìn)階和素養(yǎng)的提升。上述“線段端點(diǎn)”的教學(xué)，讓學(xué)生對(duì)線段概念的學(xué)習(xí)經(jīng)歷了操作感知、形成表象、抽象概括、理解運(yùn)用的過程。通過在經(jīng)歷體驗(yàn)中操作感悟、在多元表征中加深理解、在抽象概括中領(lǐng)悟本質(zhì)、在運(yùn)用理解中提升認(rèn)知幾個(gè)環(huán)節(jié)，學(xué)生經(jīng)歷了豐富的學(xué)習(xí)活動(dòng)，對(duì)概念的認(rèn)識(shí)更豐厚、更深刻，實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)教學(xué)從知識(shí)本位到思維發(fā)展，從形式模仿到意義理解，從被動(dòng)接受到主動(dòng)建構(gòu)的轉(zhuǎn)變。特別是在數(shù)平面圖形中的線段時(shí)，對(duì)其端點(diǎn)變化的細(xì)微處理，借助動(dòng)態(tài)演示的定格描述“端點(diǎn)”變化的過程，讓學(xué)生看在眼里，明在心中，讓知識(shí)形成的每一步都清晰明了。