安哥拉獨門沙畫藝術：一筆畫

張羿

在今天安哥拉東北部一個叫隆達（Lunda）的地方，生活著一個神秘的族群。大約在1600年前，這個族群遷徙到安哥拉，以流入贊比西河的隆圭本古（Lungwe-Bungo）支流的名字給自己取了名字——紹奎人（Chokwe）。根據紹奎人的傳統，婦女從事農業生產，男人外出狩獵。工匠們忙于煉鐵、繪畫、雕塑、制作家具、編織墊子籃子。他們的藝術水平高度完美。此外，他們還擁有一門獨特的沙畫藝術——索納（Sona）。

當紹奎人在村莊里或狩獵營地聚會時，他們圍坐在篝火旁邊或枝繁葉茂的樹蔭下，一邊講故事，一邊在沙地上畫畫。這些沙畫即是“索納”。它是一種古老的傳統，它描繪的是諺語、寓言、游戲、謎語、動物等。在知識和智慧代代相傳的過程中，索納發揮著重要作用。

男孩在學校接受教育期間，就會學習簡單的索納畫法和意義。更難的索納只有那些說書人知道，他們是真正的索納畫家。這些畫家會把關于索納的畫法技術傳給他們的男性后代。在紹奎人的社會中，他們很受尊敬，屬于紹奎社會的精英階層。

為了便于記憶標準化的沙畫，索納畫家首先用手指在沙地上等距地戳洞，形成點陣，如圖1。

接著，畫家會繞著這些點畫線，最終形成圖案。通常情況下，圖形是由一條或多條線組成的，這些線會把每個點都包圍起來。圖2展示了畫線的過程。

點陣的行列數以及畫線的規則都取決于要表現的主題。畫家們只需記住點陣的行列數和畫線的規則就能快速完成一幅索納作品。旁觀者會認為磕磕絆絆是才疏學淺的表現，所以畫家們會一氣呵成完成畫作。如果圖案比較復雜，畫家會聚精會神，一言不發。但是，如果它相對簡單，畫家就一邊畫畫一邊講故事。作品在沙子上畫好之后，一般都會被擦掉。

到了19世紀，隨著西方殖民者的入侵，索納技藝逐漸衰落。許多人都只知道比較簡單的圖案，更復雜的圖案的秘密只有一些年長的索納畫家了解。幸好，一些傳教士和民族學家歷盡千辛萬苦收集索納，這項珍貴的文化遺產才得以不至失傳。

接下來，我們一邊聆聽“獅子和男孩”與“公雞和豺狼”兩個故事，一邊欣賞紹奎人的索納沙畫藝術。

故事1：獅子和男孩

一個男孩和一頭獅子是好朋友，他們從小一起長大，一直以打獵為生。有一天，輪到男孩去打獵了，但他不幸受傷暈倒。獅子立刻生起火，用一劑藥救活男孩。他們帶著獵物回家，舉辦了一場盛大的宴會，此后，他們的友誼更加牢固了。

過了一段時間，輪到獅子去打獵，在獵殺水牛的時候，獅子假裝暈倒在地。男孩以為獅子已經死了，他突然想到，如果把獅子的眼睛、鼻子和耳朵制作成護身符，他就可以成為這個地區最著名的獵人。當男孩試圖肢解獅子時，獅子突然一躍而起，殺死了背叛自己的朋友。

從那以后，再沒人看到獅子和男孩這兩大獵手在一起。

在索納沙畫中，獅子和男孩由兩個較大的圓點代表。

故事2：公雞和豺狼

公雞和豺狼想娶同一個女孩，于是他們都向女孩的父親提親。那父親要求提前支付彩禮，公雞和豺狼都表示同意，并立刻送上彩禮。突然，有傳言說那女孩死了。公雞痛哭不已，而豺狼只是懊悔自己的彩禮打了水漂。原來，這是女孩的父親故意散布謠言，看誰配得上他女兒，最后他把女兒嫁給了誠意十足的公雞。

在索納沙畫中，上面兩個大點分別代表公雞和豺狼。下方的大點代表女孩。

觀察以上兩幅索納作品，我們大致可以發現以下3個特點：

1. 點陣中的每一個點都被線條分隔包圍。這顯而易見。

2. 整體圖案是對稱的。這同樣顯而易見。據統計，超過80%的索納是對稱的，有一條或多條對稱軸的索納出現的頻率很高，這表明軸對稱在紹奎人的民族文化中的重要性。

3. 整體圖案是單線性，即一筆畫出來的。這并不顯而易見。據統計，大約75%的索納是單線性的，這條線可以與自己相交，但永遠不能重復自己走過的路徑。你可能會問，如何一筆畫出上面的索納圖案？這個問題恐怕并不簡單。事實上，關于這類一筆畫問題，大數學家歐拉曾經給出過答案。

哥尼斯堡是中世紀德國的一座城市，城市建筑分布在普雷格爾河兩岸，河流中間有兩座島，兩岸和兩島之間有七座橋連接，如圖5。當時哥尼斯堡的市長閑來無事研究一個問題，如何一次性通過這七座橋，既不能重復也不能落下。當時，人們的解法簡單粗暴——只要把所有走法都畫出來不就知道了嘛。市長覺得這種解法并不能讓人滿意，于是向著名數學家歐拉求助。

歐拉敏銳地發現這里蘊藏著深刻的數學內涵，并把它稱為一筆畫問題。歐拉表示：“把所有走法都列舉出來的解法沒有任何新意，用這種方法也許可以做出答案，但是到頭來依然搞不懂問題的本質。”

歐拉的解法是，把兩岸和兩島簡化成四個“頂點”，把七座橋簡化成七條邊。于是，如圖6，這四個頂點連接的邊的數量分別是3、3、3、5。此時，問題隨之轉化成：能否一筆把圖6這個圖形畫出來。經過思考，歐拉確認這是不可能的。同時，他還得出了任意一個圖形是否可以一筆畫的條件。首先，圖形中的頂點分為兩種，如果經過該點的線段數目是偶數，就稱之為偶點；如果經過該點的線段數目是奇數，就稱之為奇點。歐拉指出，如果一個圖形可以一筆畫，那么它的奇點個數只能是0個或2個。如果奇點個數是0個，那么從圖形中任意一點出發，都可以一筆畫；如果奇點個數是2個，那么只能從一個奇點出發，畫到另一個奇點結束。

你可以用歐拉的方法嘗試一下能不能一筆寫成“口”“日”“目”三個字。“口”字的四個頂點全是邊數為2的偶點，不存在奇點，所以你從任意一點起筆就能一筆寫成。“日”字中間一橫的兩端有兩個邊數為3的奇點，所以你可以從其中一個奇點起筆，寫到另一個奇點結束。“目”字的中間有兩橫，形成了4個邊數為3的奇點，你無論怎么寫都不能一筆寫成。

現在再來看圖6，所有4個頂點全是奇點。所以不管怎么畫，都無法一筆畫成。因為在繪畫過程中一定會遇到一種情況，當你經過一座橋到達某個位置后，然后發現這個位置連接的另外兩座橋都已經走過了，不重復就走不出去，所以這個問題是無解的。

后來，“二戰”爆發，哥尼斯堡七橋中的兩座橋毀于戰火，只剩下了五座，如圖7。所以，哥尼斯堡七橋今天已經不存在了。不僅七橋不存在，連哥尼斯堡也不存在了。1945年哥尼斯堡戰役后，蘇聯紅軍占領了這座城市。戰后它成為蘇聯領土，更名為加里寧格勒。如今，這里是俄羅斯的一部分，是俄軍波羅的海艦隊基地。

不過，如果你現在去那座城市，倒是可以一次不重復地走過五座橋了。如圖7，四個頂點連接的邊的數量分別是2、2、3、3。圖8是五橋的等效圖，你只需要從其中一個邊數為3的頂點出發，就一定能不重復地走過五座橋，最終走到另一個邊數為3的頂點結束。

歐拉這種用頂點和邊解決問題的方式到后來發展成為一個數學概念“圖論”。其中“圖”就是畫面整體，“頂點”代表對象，也就是岸和島，“邊”代表對象之間的關系，也就是橋。七橋問題的圖里只有4個頂點，7條邊。但在今天借助計算機，我們可以畫出上萬億個“頂點和邊”的圖，把它作為數據來計算，這就是“圖計算技術”。通過不斷發展完善，圖計算技術已經是世界前沿的數據技術，應用非常廣泛。例如電網，全國一共有上億臺供電設備，一旦其中一臺設備出問題，可能就會影響其他設備，出現大面積停電事故。所以可以把每個供電設備作為一個“頂點”，繪制出它們之間的關系圖，建立起一個數據庫，然后用這些數據進行預演，模擬關掉其中一個會對其他設備產生什么影響，這樣在每次維護供電設備之前都可以提前預判，不影響正常供電。

時至今日，中國已經成為世界上“大規模圖計算技術”技術性能最高、應用最廣泛的國家。而這一切其實都起源于哥尼斯堡那道簡單的數學題。

言歸正傳，現在再看前文中安哥拉大叔“獅子和男孩”“公雞和豺狼”兩幅索納沙畫作品，相信你很容易就能確定它們都可以一筆畫出來。獅子和男孩中所有頂點都是偶點，所以從任意一個頂點開始就能一筆畫出這個圖案；公雞和豺狼中有兩個頂點是奇點（即圖4中的兩個紅點），其余都是偶點，那么一定可以從其中一個紅點出發，到另一個紅點結束。

圖9的幾幅索納沙畫作品錘子、小鳥、蝎子、山羊都是一筆畫成的，讀者可以自行嘗試。