巧借幾何直觀，助力數學理解

王麗娟

在當前的義務教育數學課程標準中提出了幾何直觀這一理念，主要指的是建立在幾何教學的基礎上，利用圖形描述和分析問題。利用幾何直觀能將較為復雜的數學問題簡明化，將其抽象的問題形象化，有助于學生探索解決問題的思路，預測結果，提高學生解題的速度。因此在數的運算教學過程中，教師可以合理利用幾何直觀進行教學融合，助力學生對算理、算法的理解，提高學生運算能力，提升其數學綜合素養。

一、幾何直觀的基礎概念分析

幾何直觀是建立在數學幾何問題的基礎上，經過提煉和總結形成的理論，而根據當前的課程標準，我們可以從以下幾個層面來分析幾何直觀的具體內涵。

（一）圖形直觀層面

幾何直觀主要指的是人在描述和理解圖形時的視覺感知性。尤其是針對小學生的幾何學習來講，模型以及大量的實物道具是教學中能被利用的材料，因此可以將其作為實物直觀以及模型直觀。這種直觀最大的優勢是化抽象為具體;幾何直觀是對圖形的直觀，而圖形主要指的是幾何圖形的視覺可感知性，通過一個抽象的幾何圖形能夠傳遞給學習者什么樣的信息。因此，圖形直觀是幾何直觀理論的最基礎概念。而從數學教學的角度來講，幾何直觀的形成和圖形與幾何教學內容有直接的關聯，這其中涉及了幾何圖形本身的空間關系、點線面體關系、結構特征。

（二）描述及分析問題

從數學知識的角度來講，幾何直觀往往體現的是學習者在分析幾何圖形的過程中，由自身主觀思想產生的、對幾何圖形性質表征進行描述的事實，并且在已知信息的基礎上進行問題分析的邏輯。通過描述以及問題分析，能借助幾何圖形本身的性質以及數學本質進行信息提取，顯示具體的數學對象以及數學問題，并且定位這些要素之間存在的關聯性。比如，在表達兩個分數相乘這一概念時，其基本的算理本質是求一個數的幾分之幾是多少，那么利用畫長方形示意圖來表示兩個分數相乘的最終結果是較為恰當的。這種數形結合的方式，能幫助學生盡快獲取問題中呈現出來的已知信息，然后通過分析問題的基本算理來進行解答。

（三）進行問題表征

問題表征是幾何直觀的最核心價值，幾何直觀本身是一種表征手段，主要的表征對象為幾何圖形，而在表現幾何圖形特點以及相關信息的過程中，需要伴隨分期以及解決問題的整體流程。例如，學生可以直接利用幾何直觀在表征問題時把握問題的已知信息;在分析解答思路時，打造更為直接的信息聯絡框架;在探尋問題最終結果的過程中，可以借助幾何圖形的特征以及相關空間關系進行推測。利用這種方式能有效提升學生解答問題的流暢性，構建清晰明確的探索思路，能快速進行結果預測，更有助于學生審美能力以及數學認知能力的提升。

二、以數學運算為基礎的幾何直觀應用分析

史寧中教授曾經指出，數學教學需要在幾何圖形的基礎上建立直觀認知，利用代數語言來分析規律。這從學術角度證明了，幾何直觀和代數語言之間本身有著較為緊密的聯系，尤其是小學數學教學，其不僅能夯實學生的數學基礎，更能引導學生形成數學認知能力以及邏輯思維能力。因此借助幾何圖形來實現數的運算教學，幫助學生培養幾何直觀，是提升學生數學綜合素養的根本表現。

（一）依托幾何直觀進行運算意義理解

數的運算在整體的數學教學過程中都至關重要，將直接影響學生本身的數學學習質量以及積極性，因此了解數的運算的具體概念，分析其中的相關含義，有助于提升學生的運算質量。而利用幾何直觀可以將抽象的運算意義具象化，便于學生快速理解，同時也可以提升學生的思維能力。

例如，在“乘法分配律”的教學中，為使學生從本質上理解乘法分配律，教師可以這樣引導：剛才大家列的這些算式，真的都相等嗎？任意選擇一個算式，用自己喜歡的方法來說明算式的左右兩邊相等。可以寫，可以算，還可以畫。

全班反饋交流：

學生1：3×5+7×5=（3+7）×5，先算3個5等于幾，再算7個5等于幾，然后相加;也可以先求一共有10個5，再用10乘5等于50，左右兩邊都是在計算一共有幾個5。（見圖1）

學生2：3×5+7×5=（3+7）×5，用一小段表示5，3個5加7個5一共10個5，他們都是在算一共有幾個5，所以它們相等。（見圖2）

圖1? ? ? ? ? ? ? ?圖2

運算意義就是乘法分配律教學的本質依據。教學中，教師可以借助圖形直觀，引導學生從乘法的意義這個層面理解等式兩邊相等的道理，化抽象為具體，從本質上理解乘法分配律。

（二）依托幾何直觀進行運算算理分析

算理主要指的是數學計算背后的具體道理，需要讓學生了解為何要這樣計算、有什么意義以及具體邏輯是哪些。從學術角度來講，算理包含數位值、運算規律、法則。在教學的過程中，引導學生明確運算算理，可以形成最基礎的計算邏輯，全面提升學生的運算可行性。而在具體教學過程中，由于大部分的運算算理都以抽象的形式體現出來，學生可以利用實物操作以及學具操作的方式打造模型直觀以及實物直觀。而幾何直觀是建立在幾何學的基礎上利用圖形直觀來解釋知識，整體流程更為簡便快捷，同時可以有效提升學生的幾何素養。

比如，在“分數乘整數”的教學過程中，教師可以打造多元化情境，幫助學生更好地理解分數乘法的算理。

出示例題“做一朵綢花要用[310]米的綢帶，小芳做了3朵這樣的綢花，一共用綢帶幾分之幾米？”并出示示意圖（一條長方形的直條，表示1米長的綢帶）教師可以結合示意圖進行提問：“做一朵綢花要用[310]米的綢帶，你能在圖中涂色表示出[310]米嗎？”學生動手涂一涂。教師再結合示意圖提問：“你能在圖中表示出做3朵綢花所用綢帶的米數嗎？” 學生再次動手涂一涂。有了這些豐富的表象后，教師再提問：“你會列式嗎？” “你能算出[310]×3的得數嗎？”由于學生在上面的“涂一涂”活動中已經在分數乘法與加法之間建立了聯系，所以闡述算理時，學生自然而然就能回答：“3個[310]相加的和是9個[110]，是[910]。” “它和[310]+[310]+[310]的計算結果一樣” ……自然地將加法轉為乘法，概括出計算方法。明晰算理，知其然，更知其所以然。

（三）依托幾何直觀實現運算方法探究

運算方法是數的計算中的核心操作流程。而在小學教學過程中，要求學生能快速掌握數的運算方法，并且依托不同的情境，及時進行運算方法的調整，由此來全面增強學生的創新能力以及邏輯思維能力。而縱觀當前，大部分的運算方法都涉及了簡化以及省略等操作，那么進一步明確其中的運算邏輯，能引導學生更快地進行解題。比如，在分數和分數相乘的過程中，教師可以通過依次畫圖的方式來展現具體的運算邏輯。如圖3所示，教師可以依次示范畫圖幫助學生初步理解“[12]”“[12]的[14]”“[12]的[34]”的含義;然后看圖說一說[12]的[14]、[12]的[34]分別是這張長方形紙的幾分之幾，得出[12×14=18]，[12×34=38]。“同學們，猜一猜兩道算式中的乘數，它們與積的分子、分母間有什么聯系？”引導學生比較、初步感知這其中的聯系。再結合[25×34]，讓學生動手畫斜線表示計算結果，對比中梳理計算過程，總結算法。

圖3

三、幾何直觀在數的計算中的應用注意事項

幾何直觀雖然能有效提升學生的數學計算能力和核心素養，但是在具體應用的過程中，還需要注意以下幾方面的問題。

（一）加強幾何圖形含義的解析

幾何直觀本身依托幾何圖形的具體概念和含義進行運算教學，因此必須注重引導學生理解幾何圖形，分析幾何圖形的具體關系以及相關概念，這樣才可以更好地使用幾何直觀來進行數學運算解析。

比如，教學計算[12+14+18+116]時，教師可以引導學生借助幾何直觀將這組分數連加計算轉化為相對簡單的分數減法計算，幫助學生理解以正方形為單位“1”，[12]、[14]、[18]、[116]分別怎么表示，幫助學生理解圖中的哪個部分可以表示這些分數的和？空白部分占大正方形的幾分之幾？把數和形巧妙結合起來，以形釋數，化隱為顯，親身經歷轉化的過程。因此在計算的過程中，教師所呈現出來的幾何直觀必須具備明確的概念，這樣才可以將其作為工具進行運算解答，也要讓學生結合不同的已知條件，來明晰幾何直觀中的各項信息具體代表怎樣的含義。

（二）合理定位幾何直觀的呈現時機

從當前的數學運算教學角度來講，幾何直觀是一種幫助學生更好地進行運算理解的工具，并不是教學必需品，因此教師必須合理定位教學的時機和不同幾何直觀的選擇，時機不當，極有可能干擾學生的認知。另外，在運算的過程中主要考驗學生的自主解題能力以及創新思維意識，幾何直觀可以為其提供某一個方向上的解題思路，但是并不能完全代替學生的自主認知。因此在實際教學的過程中，教師可以合理利用幾何直觀幫助學生來解答難題，切勿完全將其作為學生解題的依賴方式。

（三）利用幾何直觀滲透抽象及概括概念

在數的運算教學過程中，幾何直觀的應用，最基礎的是表達算理，能更形象地分析運算的相關關系以及具體操作步驟，但是其中的部分計算信息不需要全部呈現出來。在部分情況下，為了營造簡潔的計算教學體系，還需要培養學生的概括能力以及抽象思維意識，那么可以直接利用幾何直觀來培養學生的這兩種能力。

比如，在“乘法分配律”的教學中，教師可以借助幾何直觀展示其中的部分抽象信息。課前，教師可以先創設一個購物的生活情境，喚醒學生的生活經驗：“小明買了5件夾克衫和5條褲子，夾克衫每件65元，褲子每條45元。一共付了多少元。”結合直觀圖幫助學生理解65×5+45×5=（65+45）×5。“如果小明買了c套服裝，你還能寫出乘積相等的式子嗎？”適時呈現另一組直觀圖（見圖4），引導感受省略號表示部分相似信息的省略。“如果夾克衫每件a元，褲子每條b元，你還能用a、b、c代表這三個數表示出上面的規律嗎？”一步步地引導抽象，最后概括出（a+b）×c=a×c+b×c，“像這樣兩個數的和與一個數相乘，可以先把這兩個數分別與這個數相乘，再相加，這就是我們今天要學習的乘法分配律。”拓展了學生的抽象邏輯思維。

圖4

（四）靈活進行幾何直觀調整

幾何直觀本身的載體是幾何圖形，而幾何圖形具有較強的多樣性特點，尤其是小學階段為學生塑造科學的幾何圖形認知觀念至關重要。因此在常規的數學運算教學過程中，教師可以選取不同的幾何圖形作為幾何直觀的載體進行教學。比如，以長方形為依托進行的分數乘法教學，以圓形為依托進行的分數加減法教學，以線段圖為依托進行的行程問題的計算教學等，幫助學生利用不同幾何圖形的特征去表征問題。這種靈活性的思路有助于培養學生的邏輯思維能力以及信息整合能力，可以在運算教學的過程中傳遞科學的幾何觀念以及運算邏輯，從而強化學生的數學核心素養。

四、結語

綜上所述，在當前的小學數學教學過程中，為了全面提升學生的運算能力，加強運算思維意識，可以借助幾何直觀來輔助運算教學。這種模式不僅可以提高數學運算教學的效率，更可以傳遞具有抽象性和概括性的數學思維，引導學生利用知識解答知識，在增強其創新意識的同時，全面發展學生數學素養。

（吳淑媛）