“‘一次函數’小結與思考”教學實錄及反思

吳加健

本節課是蘇科版數學八（上）“一次函數”的小結與思考課，其主要內容是通過具體問題回顧本章所學知識，進一步感受變量之間的函數關系，知道函數、方程、不等式是刻畫現實世界數量關系和變化規律的重要模型，讓學生在數學建模中進一步體會數學的應用價值。

一、教學目標

通過自主梳理本章知識結構，能夠綜合應用本章知識解決相關數學問題;通過知識的系統整理，明晰研究函數的基本路徑;通過問題解決，感知一次函數的定義、圖像、性質、應用以及它與一次方程（組）、一次不等式的關系;通過單元整體建構，進一步體會方程與函數、化歸與轉化、數形結合、待定系數法等重要的數學思想方法，培育抽象能力、模型觀念、創新意識等核心素養。

二、教學實錄

活動一：整體梳理，展示預學。

師：我們知道函數是刻畫現實世界運動變化的數學模型。本節課，老師和大家一起進行“一次函數”的小結與思考。請同學們對本章的知識結構進行組內討論，并梳理和總結，然后和大家分享。

生1：在一個變化過程中，變量x的每一個值，y都有唯一的值與它對應，那么y就是x的函數，x就叫作自變量，y叫作因變量。

師：這個是函數的概念。

生1：函數有三種表示方法：列表法、圖像法、解析法。

師：很好！那如何畫函數圖像？

生2：先列表，再描點，最后連線。

生3：我梳理的還有一次函數的定義、圖像與性質、應用。

師：那什么樣的函數叫作一次函數？

生3：形如y=kx+b。

師：x和y是變量，其中k和b都是？

生3：k和b都是常量且k不等于0。

師：一次函數有什么特例啊？

生3：有正比例函數。

師：什么樣的函數叫作正比例函數？

生3：y=kx，也就是常數b為0的特殊情形。

師：那一次函數的圖像是？

生4：一條直線。

師：那么如何來畫這個圖像呢？

生4：只需確定兩個點。

師：函數中的k決定什么？

生5：k決定增減趨勢。

師：我們不妨把經過第一、三象限的圖像的走向看成上升，把經過第二、四象限的圖像的走向看成是下降。b呢？

生5：b的確定和y軸的交點位置相關。

生6：我們還學習了一次函數與方程、一次函數和不等式的關系。

師：一次函數、一次方程、一次不等式，當然后面還有二次、更高次的方程與不等式。函數、方程、不等式存在著千絲萬縷的聯系。

師：通過提出問題，抽象出函數，到一次函數，這里體現數學建模的思想。同時，我們在研究一次函數的圖像與性質的過程中，體會到數量和圖形之間的聯系，這里面涉及了一個重要的數學思想方法：數形結合。

活動二：整體理解，問題剖析。

師：圖1是一次函數y=kx+b的圖像，你能獲得哪些信息？

生7：因為它經過第二、四象限，所以k<0。又因為它交于y軸的正半軸，所以b>0。

師：交于y軸的點的坐標你可以描述出來嗎？

生7：（0，b）。

師：非常好，還有什么信息？

生8：函數值y隨著x的增大而減小。

師：若y=kx+b的圖像過點（1，2）和（-1，6），你能提出哪些問題？如何思考解決的？（小組討論）

生8：求這個函數表達式。

師：你準備用什么方法求？

生8：待定系數法。將（1，2）和（-1，6）分別代入y=kx+b，得到一個關于k和b的方程組，求出的函數表達式為y=-2x+4。

師：哪個小組還能提出其他問題嗎？

生9：我們小組認為還可以求出直線與x軸和y軸圍成的圖形的面積。

師：很好，如何解決？

生9：求出直線與x軸和y軸的交點坐標就可以了。

師：還有嗎？

……

師：這里涉及直線與坐標軸的交點、直線之間的交點、線段的長度、圖形的面積、大小比較、增減性等知識，還有其他的平移變換的問題，希望大家課后再作深度的探討。

活動三：整體把握，應用遷移。

（1）[x-y=1，2x-y=3;]（2）[x-y=1，2x-2y=2;]（3）[x-y=1，2x-2y=4。]

師：如何通過兩條直線位置關系，探索上述二元一次方程組解的情況？

生10：（1）相交，這個方程組有唯一解。

生11：（2）重合，這個方程組有無數組解。

生12：（3）平行，這個方程組無解。

師：由此可見，除了用代入消元法或加減消元法直接解方程組之外，還可以直接用圖像判斷方程組解的個數。

師：請問y=[2x]、 y=x2+2x+1是不是函數？

生（齊）：是。

師：其實，一次函數只是函數“家族”中的一員，像y=[2x]、 y=x2+2x+1等函數是我們今后要學習的內容，我們可以用研究一次函數的方法來研究這些函數的圖像及性質。老師希望同學們學會用數學的眼光觀察現實世界，學會用數學的思維思考現實世界，學會用數學的語言表達現實世界，我們的未來一定像k[>]0的一次函數的圖像一樣，一路上升，前程似錦！

三、教學反思

為了解決教學碎片化問題，感受整體教學觀，教師應引導學生自主構建知識體系，提煉數學思想方法。基于已有的學習經驗，探究知識的生成，素養的自然生長，進行知識體系的后建構，有利于學生知識的儲存、提取與應用。問題串的設計有助于學生更好地理解所學知識，并且逐步建立起整體知識框架，激發學生學習的內驅力。從數學學科的特點看，無論是新知的引入（把握探究新知的一般路徑），還是解題的有序思考（指導學生學會思考），都力求自然，從學科本身出發，從學生的基礎出發，從學生的認知經歷出發，幫助學生積累數學活動經驗，發展數學學科核心素養，使數學學習進一步深入。

（作者單位：江蘇省鹽城市鹿鳴路初級中學）

本文系江蘇省教育科學“十四五”規劃課題“‘雙減背景下初中數學作業設計校本化實踐研究”（項目編號：E-c/2021/40）階段性成果之一。