利用幾何畫板培養學生直覺思維能力的探究

王瑤

［摘 ?要］ 新課標明確提出：“要充分運用現代信息技術的功能，讓它成為課程設計與解決問題的重要工具，使得學生更加樂意投入數學學習中去.”文章認為，致力于現代化的教學手段，整合幾何畫板與教學活動的開展，培養直覺思維的措施可以從以下幾點做起：概念教學，以直觀誘導直覺思維；習題教學，以猜想啟發直覺思維；自主探究，以拓展促進直覺思維.

［關鍵詞］ 幾何畫板；直覺思維；數學

隨著時代的發展，信息技術的工具性特征已然得到有效驗證，整合信息技術與課堂教學是新課改大力推進的項目之一. 如今的數學教育異常重視對學生各項思維水平與能力的培養，文章嘗試將幾何畫板的使用與學生直覺思維能力的培養相結合，談談如何發揮幾何畫板的教學作用，以及對學生直覺思維能力會產生怎樣的影響.

幾何畫板的簡介

幾何畫板是簡單、直觀、易操作的教學軟件，它能為學生提供一個自由操控圖形的活動環境，學習者通過任意變化、拖動圖形，可以觀察、猜想、論證一些結論. 可見，幾何畫板對激發學生的主觀能動性具有一定的影響，學生在自主創設的“實驗”中主動探索，啟發數學思維，獲得數學思想.

于師生而言，幾何畫板的使用，為教學活動的開展創設了更加直觀的條件. 熟練掌握與應用幾何畫板，就像我們拿三角板畫圖一樣便捷. 尤其是遇到一些復雜的幾何圖形問題，利用幾何畫板的分解、拼接與轉化，能讓學生在直觀形象的圖形變化中獲得解題思路，提升解題能力. 因此，幾何畫板對學生直覺思維的培養具有直接影響.

幾何畫板培養直覺思維的實施措施

1. 概念教學，以直觀誘導直覺思維

概念反映的是某事物的本質屬性. 概念教學常常依賴的是實物或物質形態，尤其是關系到圖像類的概念，沒有具體形態的直觀表達，很難揭示其內涵與本質屬性. 因此，豐富的圖形是揭示概念性質不可或缺的形態語言. 幾何畫板具有表達圖形的重要功能，抽象的概念在幾何畫板直觀的圖像語言表達中顯得更加直觀、形象，學生的直覺思維在幾何畫板的利用中得以誘導.

案例1 “二次函數”教學.

二次函數是初中階段的一個教學重點與難點內容，從常量計算到函數變量的轉化是學生認知發展的重大突破. 解析式、頂點坐標、對稱軸、開口方向、常量關系、形狀變化等眾多因素之間有著豐富的聯系，這么多知識點若依靠機械式的背誦，無法達到融會貫通的目的. 幾何畫板可將二次函數圖像完美地表達出來，利用其拖動功能，能直觀形象地看清楚數值變化對圖像形狀、開口、頂點等的影響.

例如，利用幾何畫板觀察二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像，授課時用鼠標進行以下操作：①變化常數a，b，c的值，觀察這幾個常數對拋物線的位置、形狀等產生怎樣的影響；②在幾何畫板上拖動拋物線，讓學生仔細觀察拋物線圖像與x軸的交點數、b2-4ac、0之間的關系；③繼續拖動拋物線進行上下、左右的平移，觀察二次函數y=a（x-h）2+k中k值與h值的變化.

通過幾何畫板的運用，直觀形象地凸顯出形變與量變之間存在的聯系，學生在自主操作中通過觀察、揣摩、分析后提煉結論，這種方式能有效地促進學生對概念的認知，讓學生從根本上了解二次函數的性質，誘導學生直覺思維能力的形成與發展.

2. 習題教學，以猜想啟發直覺思維

猜想是根據問題條件推測的一種結果，是直覺思維的典型代表. 它是推動學科發展的直接動力，尤其是數學猜想對解題能力和直覺思維的培養具有舉足輕重的作用. 歷史告訴我們，很多行之有效的數學思想和方法均源于猜想. 猜想作為一種研究科學的基本模式，對學生創造能力的培養影響深遠.

幾何畫板可在習題教學中，為學生猜想提供良好的環境，讓學生通過大膽猜想獲得解決問題的思路，實現創新. 經實踐證明，利用幾何畫板的功能進行習題教學，能讓學生在猜想中啟發直覺思維的形成與發展.

案例2 “幾何圖形中找函數關系式”的習題教學.

原題：如圖1所示，△ABC是☉O的內接三角形，其中∠BCA=90°，CA=2CB，過點C作線段AB的垂線l與☉O相交于點D，E為垂足. 假設點P為圓弧AC的一個動點（A，C除外），射線AP與l相交于點F，分別連接PD，PC，且PD與AB相交于點G.

（1）證明：△ACP∽△DFP；

（2）如果AB=5，圓弧AP=圓弧BP，則DP的長度是多少？

（3）若點P在運動時，假設=x，tan∠DFA=y，寫出y與x的函數關系式，x的取值范圍不要求寫.

這是一道綜合性較強的習題，前兩問大部分學生求解都沒有什么問題，但是第（3）問讓不少學生犯了難，此問以點的運動求兩個變量的函數關系式. 幾何畫板可以直觀地表達出y與x函數關系式的圖像，學生根據圖像猜想它們的函數關系式則簡單多了. 這種方式結合了直覺思維、正向與逆向思維等過程，為學生提供了更大的思考空間.

用幾何畫板中的追蹤功能獲得y與x函數關系式的圖像，然后根據圖像猜想函數關系式，操作如下：①畫出與條件相符的圖像；②運用長度功能，分別度量出線段GA，GB，EA，EF的長度，點擊“計算”，分別獲得，的值；③將，的標簽分別更改為x=，y=；④繪制點（x，y），追蹤繪制的點；⑤拖動點P，得到y關于x的函數圖像.

觀察幾何畫板上呈現的動態圖像，可猜想出第（3）問的結論為y=x. 當拖動點P時，函數圖像發生了相應的變化，根據幾對數值可驗證猜想的結論是正確的. 幾何畫板讓學生通過直觀圖像大膽進行猜想，在觀察中驗證猜想，從而有效地解決問題. 學生的直覺思維能力在幾何畫板的應用下與猜想的實施得以啟發.

3. 自主探究，以拓展促進直覺思維

傳統教學模式最大的弊端在于無法凸顯學生的主體地位，學生因沒有親歷實際操作過程而缺乏相應的經驗，這也是導致學生認為數學學科抽象且枯燥的主要原因. 缺乏自主探究過程的教學，明顯抑制了學生的潛能發揮. 筆者發現，利用幾何畫板能鼓勵學生自主探究數學，能有效地激發學生的潛能，充盈學生的認知，對培養學生的直覺思維能力具有無可替代的作用.

案例3 “動點”問題的自主探究.

原題：已知點A為△ABC的頂點，且在定圓N上運動，點B，C是固定的兩點，△ABC的外心O的軌跡是怎樣的？

面對此題，學生產生了各種猜測，分別有線段、圓、拋物線等，在教師的鼓勵下，學生運用幾何畫板進行了自主探究，具體操作步驟如下：①拖動點C至圓內，得到直線；②進一步探究，當點B，C在圓的外部時，其軌跡為一根線段；③當點B，C分別在圓的內部與外部時，其軌跡為一條直線；④當點B，C都落在圓的內部時，其軌跡為一條射線.

對于這些結論，教師追問道：“這就完全對了嗎？”此時，有學生提出點B，C都在圓的外部，但是線段BC與圓卻是相交的關系，其軌跡就是兩根射線.

……

“動點”問題是初中數學教學的難點之一，不少學生看到此類題目就產生了畏難心理. 其實，不論多么復雜的問題，只要厘清其發生和發展的脈絡，解題思路就會暴露出來.

本題中，學生在自主探索的過程中不斷產生了新的結論，每個層次水平的學生都被幾何畫板的神奇所吸引，大家都全身心地投入到了此次探究活動中，不僅獲得了良好的自主探究能力，還為猜想提供了較好的技術平臺. 學生在自主探究中建構新知、猜想結論、不斷創新，為直覺思維能力的形成夯實了基礎.

總之，利用幾何畫板培養學生的直覺思維在數學教學中意義重大. 創造性思維的形成與發展主要依賴直覺思維與邏輯思維的支撐，而直覺思維的培養需要教師滲透在教學的各個環節中，學生在幾何畫板的幫助下，就能潤物細無聲地獲得更多的數學能力.