培養數學建模思想 提升數學應用能力

唐衛金

［摘 ?要］ 數學建模思想是將數學知識運用到實際生活中的橋梁，具備從具體問題中抽離出數學模型的能力，可以有效提升解決問題的能力，認識數學問題的本質，增強數學學習的信心.

［關鍵詞］ 數學建模；應用能力；學習方法

培養學生的數學建模思想是數學學科核心素養的要求之一，若學生缺乏數學建模思想會使所學知識難以找到應用的路徑，無法實現知識的應用，從而挫傷學習的積極性. 數學建模思想的培養需要在教學中注意創設情境，提取知識并聯系實際進行探究，完成數學知識的輸出，從而構成知識學習和應用的循環，提升綜合素養. 然而教學中不難發現仍然有一些課堂忽視了學生數學建模思想的培養，知識點的講解零散，例題講解就題講題，學生應用知識困難，影響了數學應用能力的提升. 筆者在探究學生數學建模思想培養方面做了一些思考和教學實踐，擬寫成文，與各位同仁進行交流.

培養數學建模思想的教學實踐

1. 教學過程中培養數學建模意識

數學建模思想的培養具有一定的操作程序，首先從實際問題抽象出數學模型，進而運用數學知識和方法求解數學問題，反過來再通過數學問題解釋數學模型，再轉化為實際問題，檢驗數學方法的學習情況.

數學建模思想的培養是一個長期和潛移默化的過程，學生在這個長期的學習過程中，會經歷由易到難、由具體到抽象，思維會不斷深化，學習從具體問題中抽離出數學模型的建模方法，形成運用數學模型解決問題的思維習慣［1］. 數學模型的建立過程需要運用相關的數學知識，如函數、方程、幾何、統計等，結合相關概念解決實際問題. 數學建模思想的建立滲透在數學概念、公式、法則的學習當中，是一個循序漸進不斷深化的過程. 如數學中非常重要的函數知識既需要運用到數量關系，又要考慮運動變化和兩個變量之間的相依關系. 數學模型建立的根本就是要抓住數學的本質，在變化中尋找不變的規律，并且引導學生能夠將這種規律通過數學語言表達出來. 教學中教師可以通過變式訓練和開放性試題不斷訓練學生的數學建模思想.

2.數學活動過程中體驗數學建模思想

數學建模思想是在數學活動過程中不斷積累和豐富的，因此需要創設問題情境、引導建立模型，然后求解驗證. 在這樣的數學活動過程中，不僅要掌握相關的知識和技能，而且在探究中要學會如何發現問題、提出問題、分析問題和解決問題，提升思考能力，積累活動經驗. 傳統的教學中主要通過解題滲透數學知識的運用、數學方法的分析，但是現在教師要注重讓數學回歸現實，在現實的豐富題材中抽離出數學模型，從而解決具體問題.

3.豐富的教學方式中滲透數學建模思想

數學模型是前人經過研究從數學問題中總結出來的數學方法，而教學則要將這些數學方法在具體的情境中傳達給學生，使學生能夠靈活運用到具體的問題中去. 故筆者著重從以下三個環節滲透數學建模思想：

（1）在情境導入中滲透.

例1 勾股定理（第2課時）.

為了加大農村文化建設，某村委會決定在路邊AB處建一個圖書閱覽室（如圖1所示），C點和D點分別是兩所學校，CA，DB分別與AB垂直. 已知AB，CA，DB的長度分別為2.5千米、1.5千米和1千米，現在要使圖書閱覽室到兩所學校的距離相等，請問圖書閱覽室應建立在距A點多少千米處？

引導學生通過設未知數的方式求解，假設E點是圖書閱覽室，AE的長為x千米，那么BE的長用未知數可以表示為（2.5-x）千米，通過勾股定理用未知數分別表示CE和DE的長，然后利用方程的模型進行求解.

本例中通過引導學生將實際問題抽離出方程模型進行解決，在師生互動中，體會數學建模思想，感受數學的魅力.

（2）在知識發生過程中揭示.

教學中通過引導學生探究數學概念、定理的證明過程，體會數學知識的發生和形成. 數學模型的應用就滲透在知識的發生和發展中，因此教師需要深入研究教材知識結構，在學生已有知識和經驗的基礎上，揭示數學建模思想，鍛煉思維的深度，引發學生積極思考. 比如根據二次根式的概念知道中的被開方數為非負數，通過這個模型求解二次根號下未知數的取值范圍就非常便捷了. 因此數學模型不僅存在于函數圖形中，而且存在于數學概念、定理和公式中，學會建立數學建模的方法可以有效地提升學生對數學的認識.

（3）在例題講解中訓練.

例題講解是學習和鞏固數學知識的有效手段，在新課講授中，例題講解應用得較多，這是訓練數學建模的關鍵時機，通過例題講解可以強化學生的數學建模意識. 數學課堂中使用的例題非常多，因此要對例題進行有效分類，如可以分為常規性的例題和聯系實際解決具體問題的例題［2］. 針對不同的例題，訓練數學建模的方法和類型也要有所區別. 針對一般的例題，學生只能接觸到常規的解法，很難訓練到數學建模思想，教師可以合理地進行拓展，如通過一題多解、變式訓練等，讓學生體會數學建模思想的應用. 對于一些與實際生活聯系較密切的例題，則可以創設更加豐富的生活情境引導學生聯系和建構數學模型.

例2 勾股定理的應用.

一根旗桿長10米，經過一次臺風后，旗桿被折斷了，折斷處距離地面3米，求旗桿接觸地面的一端距離旗桿底部有多遠.

教師引導學生進行數學建模，建立方程模型a2+b2=c2. 即設旗桿折斷處距離旗桿的頂端為x米，根據條件列出一元二次方程32+x2=（10-x）2，從解題過程中讓學生體會到數學模型和轉化思想的應用. 在教師的問題導向和學生的合作探究中，逐漸滲透根據具體問題建立不同數學模型的思想.

4. 明確要求，明晰步驟，提高建模意識

數學建模是將數學知識進行轉化應用的思想，其對學習能力的要求較高，因此初中是逐步培養和打好基礎的學習階段. 為了更好地提高學生的建模意識，教師需要對建模步驟進行拆解，并且明確要求.

第一，數學語言的培養. 數學問題的解決以及數學建模意識的初步培養，都要依靠學生能夠運用數學語言表達實際問題，要將試題中的數學語言轉化出來，理解題意，抓住數學的本質，完成數學建模的第一階段.

第二，模仿階段. 與大多數學習內容一樣，數學建模的學習也要從模仿開始，即通過對一些典型的數學模型的模仿，逐步建立屬于自己的數學模型.

第三，嘗試階段. 通過數學表達、模仿兩個階段后嘗試自主建模，并不斷訓練，逐步提高數學建模能力.

培養數學建模思想的難點

1. 缺乏信心

與傳統學習中的記憶和單純的模仿不同，數學建模思想是一種具有創新意識的思維活動，因此需要更加完備的心理狀態. 如學習的內驅力、探求知識的好奇心、頑強的意志和獨立思考的能力. 但是很多學生長期以來缺乏這方面的訓練，導致習慣依賴教師，不愿意突破，解決問題缺乏信心.

2. 缺乏基本的生活經驗

數學建模指通過具體問題抽離出數學模型，但由于學生平時的接觸面較窄，對于其他領域的專有名詞不了解，缺乏必要的探究方法和經驗. 如在生活中經常遇到的利潤率、打折、折舊率、分段收費等，難以理解，讀不懂題意，更談不上建立數學模型了.

培養數學建模思想的策略

針對數學建模的復雜性和綜合性，在數學建模的培養過程中有很多困難，筆者經過實踐和思考，認為可以從以下幾個方面進行突破.

1. 增強學生解決問題的自信

自信心是學習的動力之一，具備了自信，才能引導學生主動去學習和探究. 因此在教學中，應該從學生已有的知識和經驗出發，注意問題設計的層次，關注每一位學生的發展，增強學生學習數學的信心.

2. 建構知識體系

數學的概念、定理、公式、符號等知識點數量多，變化豐富，因此學生常常覺得千頭萬緒，難以應對. 因此教師要從整體角度進行教學設計，關注變量之間的關系，抓住數學的本質，引導學生建構較為完整的知識體系.

3. 優化教學設計

培養數學建模思想需要教師關注學習方式的轉變，通過問題情境創設，引導學生從被動學習轉變為主動學習，從被動接受轉變為主動探究，鍛煉思維的深度，不斷提升數學建模能力.

數學建模是學生必備的能力和品質之一，教師要通過具體問題導學，在情境創設中不斷滲透數學建模思想，培養學生的學習能力，實現綜合素養的提升.

參考文獻：

［1］ 鞏子坤. 數學知識的特征與學習方式的有效選擇［J］. 中國教育學刊，2005（11）：55-58.

［2］ 宋子紅. 初中數學復習課教學策略研究［D］.華中師范大學，2015.