培養抽象能力必須經歷兩個過程

顧祥芳，杜育林

摘要：抽象能力是初中階段數學課程要培養的學生核心素養的主要表現之一，主要是指通過對現實世界中數量關系與空間形式的抽象，得到數學的研究對象，形成數學概念、性質、法則和方法的能力。抽象能力是在過程中形成和發展起來的，這個過程主要指數學知識的形成過程和應用過程。其中，數學知識的形成過程主要包括數學概念的建立過程和數學公式、運算法則、圖形性質等數學規律的探究過程。

關鍵詞：抽象能力;數學知識;形成過程;應用過程

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）指出，抽象能力是初中階段數學課程要培養的學生核心素養的主要表現之一，并對抽象能力做了進一步解釋：“抽象能力主要是指通過對現實世界中數量關系與空間形式的抽象，得到數學的研究對象，形成數學概念、性質、法則和方法的能力。”新課標中共提及“抽象”60余次，可見新課標對于抽象能力培養的重視程度。我們認為，抽象能力是在過程中形成和發展起來的，而這樣的過程主要包括數學知識的形成過程和應用過程。

一、數學知識的形成過程

這里的數學知識泛指數學概念、數學公式、運算法則、圖形性質等。其中，數學概念是重要的基礎知識，是學生探究學習數學公式、運算法則、圖形性質等知識（我們稱之為“數學規律”）的基礎。所以，數學知識的形成過程主要包括數學概念的建立過程和數學規律的探究過程。

（一）數學概念的建立過程

數學概念是人腦對現實對象數量關系和空間形式的本質特征的一種反映形式。決定數學教學效果的首要因素、基礎因素和貫穿始終的因素都是“概念要明確”。基于培養學生抽象能力的視角，可以把數學概念的建立過程分為“問題情境—歸納特點—概括本質”三個階段。

例如，“一元二次方程”概念的建立過程：

首先，創設如下問題情境：

（1）某產品原來每件售價為2元，經過兩次漲價后每件售價為3元。設該產品平均每次的漲價率為a，根據問題中的等量關系，可列出方程：____________________________。

（2）一個兩位數，個位上的數字比十位上的數字小3，這個兩位數比個位上的數字與十位上的數字之積的3倍小10。如果設個位上的數字為x，可列出方程：____________________________。

（3）《九章算術》中有一題：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三。乙東行，甲南行十步而斜東北，與乙會。問：甲乙行幾何？”意思是：“甲、乙兩人同時從同一地點出發，甲的速度是7，乙的速度是3。乙向東行走，甲向南走了10步后向東北行走，與乙相遇。問：相遇時，甲、乙分別走了多少？”設他們相遇時所用的時間為t，則相遇時甲共走了____________________________，乙共走了____________________________;為了求出相遇時，甲、乙分別走了多少，可列出方程：____________________________。

[設計意圖：為了讓學生“能根據現實情境理解方程的意義”，并且為“抽象—概括”能力的形成提供基礎素材，按照新課標提出的“現實性”要求，設計了這三個問題。問題（1）與學生的生活現實密切相關，問題（2）是基于“數學現實”而確定的，問題（3）是從數學史實出發選取的。對于問題（1）和（2），學生通過分析問題中的已知量、未知量，以及已知量和未知量之間的數量關系，不難列出方程。問題（3）是求甲、乙分別走了多少路程，設相遇的時間為t，這樣只要求出t，就不難得到甲、乙分別走的路程。問題（3）的解答過程體現了轉化和數形結合的思想，同時可以對學生進行數學文化的熏陶教育。]

接著，引導學生歸納特點：

觀察下面三個方程，說出它們的特點。①2a2+4a-1=0，②3x2-2x-40=0，③2t2-7t=0。

[設計意圖：“抽象是從許多事物中舍棄個別的、非本質的屬性，得到共同的、本質的屬性的思維過程，是形成概念的必要手段。”為了在“一元二次方程”概念建立的過程中，培養學生觀察分析、思考發現、抽象、歸納等能力，設計了這一問題。學生經過觀察、思考，會得到三個方程的諸多特點，如：（1）都含有未知數;（2）表示未知數的字母的含義不同——產品的漲價率，個位上的數字，甲、乙相遇所用的時間;（3）方程左邊的項數不一樣，依次為三項、三項、兩項;（4）最高項的次數都是2;等等。]

最后，引導學生概括本質：這三個方程的本質特征是什么。

[設計意圖：任何事物都有質和形兩個方面，“質”是一個事物成為它自身并區別于另一個事物的內在規定性，是事物存在的根據，是事物的根本性質;“形”則是外在的表現形式。概念教學，就是要引領學生透過現象抓本質。學生在“歸納特點”環節得到的這些特征，既有本質的特征，也有非本質的特征，需要剔除非本質的特征，保留本質的特征。這個“剔除—保留”的過程本質上就是一個“抽象—概括”的過程。在歸納的基礎上，鼓勵學生概括出一元二次方程的本質特征，逐步形成透過現象抓取事物本質特征的能力，發展抽象能力。]

這樣的教學設計下，學生不僅能掌握一元二次方程的概念，還能感受和領悟到隱含于概念形成過程中的數學思想和方法，體會數學的本質，更重要的是，發展了抽象能力。數與代數領域中很多數學概念的教學，教師都可以帶領學生在這樣的過程中建立數學概念、培養抽象能力。

事實上，圖形與幾何領域中的一些數學概念，如平行四邊形、正多邊形等，實際上也是經歷“問題情境—歸納特點—概括本質”三個階段而建立起來的。教學時，教師可以給出幾個圖形，引導學生在觀察圖形特征的基礎上通過數學思考形成感性認識，然后對圖形進行分析，并抽象概括出圖形的本質，最后給出規范的數學定義。

（二）數學規律的探究過程

在數學規律的教學中，教師應根據具體數學規律的特點，設計能讓學生經歷抽象過程的系列問題。學生在思考、探索這些問題的過程中，既能發現數學規律，又能培養抽象能力。

例如，“軸對稱性質”的探究過程：

1.把一張紙片對折（如圖1①所示），扎一個小孔（如圖1②所示）;然后展開鋪平，記得到的兩個小孔為點A與A′，折痕為MN（如圖1③所示）;連接AA′交MN于點O（如圖1④所示）。

2.如果將紙片沿MN重新折疊，線段OA與OA′有怎樣的大小關系？線段AA′與直線MN有怎樣的位置關系？說明理由。

3.把一張紙對折后扎出三個不在同一條直線上的小孔，把紙片展開鋪平，把得到的三組對應點分別記為A與A′、B與B′、C與C′，折痕記為MN。分別連接AB、BC、CA、A′B′、B′C′、C′A′，在△ABC的一條邊上任取一點D（如圖2所示），你能說出與點D關于直線MN成軸對稱的點D′的位置嗎？用扎孔的方法驗證你的結論。

4.連接DD′，交MN于點P，線段DD′與直線MN有怎樣的位置關系？說明理由。

[設計意圖：整個探究由四個活動組成，按由簡單到復雜、由一個點到圖形上的一般點的順序設計。對于探究活動1、2，首先讓學生通過實際操作，發現點A與A′關于直線MN對稱的關系，并猜測出OA=OA′，AA′⊥MN;然后引導學生通過獨立思考和合作交流，說明以上猜測是合理的。這一過程既要運用合情推理，也包含演繹推理。探究活動3旨在讓學生通過實際操作，理解用折疊、扎孔的方法展開后得到的△ABC與△A′B′C′關于折痕MN成軸對稱。D是△ABC邊上的任意一點，應讓學生利用合情推理，感悟點D關于MN的對稱點的位置。在圖2中，點D在線段BC上，其關于直線MN成軸對稱的點D′應該在線段B′C′上。探究活動4意在把結論推廣到成軸對稱的兩個圖形的一般情況，從而概括出軸對稱的基本性質。]

事實上，大部分數學規律都可以讓學生在經歷數學化的過程中自主發現。這樣的教學設計，不僅能讓學生探究得到數學規律，而且有利于學生抽象能力、概況能力、語言表達能力等多種素養的發展與提升。

二、數學知識的應用過程

新課標在“教材編寫建議”中提出，運用數學知識解決實際問題，（應）適當體現“問題情境—建立模型—求解驗證”的過程。這樣的過程，一方面能幫助學生更有效地理解知識與方法，另一方面，有助于學生積累活動經驗，增強應用意識，鍛煉解決問題的能力。這樣的過程，最典型的案例莫過于歐拉解決“哥尼斯堡七橋問題”。我們一線教師即使做不出如此經典的案例，也應積極探索。

例如，在學生學習了“二次函數的性質”后，可以讓學生通過解答類似如下的“圖形最大面積”問題，來體會數學知識的應用過程，進而培養學生的抽象（建模）能力。

用長度為20 m的金屬材料制成如圖3所示的金屬框，下部為矩形，上部為等腰直角三角形。當該金屬框圍成的圖形面積最大時，圖形中矩形的相鄰兩邊長各為多少？請求出金屬框圍成的圖形的最大面積。

解答本題用到的知識主要有等腰三角形和矩形的性質、二次函數的解析式及性質等。初中階段，求最大（小）值的問題常利用二次函數的性質解答。解決本題的關鍵是正確確定圖形的面積與矩形長或寬之間的函數關系式。比如，可設矩形與等腰直角三角形的公共邊長為2x m，則有圖形的面積S=2x（10-2x-2x）+x2=（1-4-22）x2+20x。

對此，學生解答本題時有兩個地方容易出錯：

一是確定自變量x的取值范圍。教學中，引導學生這樣推導：因為矩形相鄰邊長為10-（2+2）x，而邊長是正數，所以10-（2+2）x>0，解得x<10-52。

二是判斷x=-b2a=30-202是否在自變量的取值范圍內，即判斷30-202是否小于10-52。教學中，引導學生這樣分析：要證30-202<10-52，根據不等式的性質，即要證20<152，即要證400<450，這顯然成立。

從本題的解答過程看，從求“金屬框圍成圖形的面積”問題，抽象得到“二次函數”模型是最為關鍵的一步。教師引導學生得到這個模型的過程，就是學生應用數學知識解決實際問題的過程，也是學生抽象能力發展的過程。

數學教育的根本目的在于讓學生會抽象（能把握事物的本質），會推理（能理清事物的關系），會建模（能發現事物中的規律），從而提高學生的數學素養。在數學知識形成以及應用數學知識解決實際問題的過程中，教師都要設法帶領學生充分地經歷，透過現象，看到本質，從而培養學生的抽象能力。

參考文獻：

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