溫故知新，提升復習課的效率

范雷 馮姣

［摘 ?要］ 數學復習課既要激發學生的學習興趣，鞏固已學知識，又要注意前后聯系，溫故知新，構建知識體系. 在數學復習課中，教師要發揮創意，用新穎的題型引導學生進行探究，不斷提升學生的思維水平.

［關鍵詞］ 數學復習；三角函數；溫故知新

數學復習課既要做到回頭望，對已經學習的知識進行鞏固復習，又要在復習過程中產生新的認識，構建新的知識體系，產生新的理解. 在數學復習課中，要防止學生對學過的知識感到厭倦，在課堂上沒有積極性，因此教師要進行精巧的設計，用新穎的題型和情境吸引學生的注意力. 在復習過程中還要注意通過歸納和總結，幫助學生構建知識體系，理解解題的思路和方法，提升解題能力. 下面筆者以復習銳角三角函數為例，談一談復習課的教學策略，如何提高復習效率.

有效提問，有效指導

復習課教學都是知識再現，因此教師設問顯得尤為重要，“好的問題”能激發學生的學習興趣，能帶給學生深刻的感悟，能促使學生不斷成長. 故教師設問不能隨意，必須有的放矢，有重點、有目標，能最大限度地激發學生的好奇心和求知欲，使課堂教學的開展更加流暢自然.

案例1 如圖1所示，在Rt△ABC中，∠ACB是直角，AB⊥CD，已知BD=2，CD=2，求AC的長度.

師：要解決這個問題，可以通過解哪些直角三角形完成？

生1：在Rt△BCD中，因為CD⊥BD，BD=2，CD=2，故tanB===，所以∠B的度數為60°，所以∠A的度數為30°；在Rt△ACD中，AC==4.

師：這是由特殊的三角函數得到的.

生2：在Rt△BCD中，根據勾股定理可得BC=4. 在Rt△ABC中，AC=BC·tan60°=4.

師：很好，這是由勾股定理得到的.

生3：在Rt△ABC中，∠ACB為直角，CD垂直于AB，所以∠ADC和∠CDB相等，∠ACD和∠B相等，所以△ADC和△CDB相似，所以=，所以AC=4.

師：很好，生3是通過相似三角形的性質得到的.

生4：老師，我也是通過勾股定理得到的，但是具體步驟與生2不同. 在Rt△BCD中，根據勾股定理可得BC=4. 設AC=x，則AD=，由面積法可得（+2）×2=x×4，解得AC=x=4.

師：非常精彩. 由同學們給出的幾種方法，我們可以看到三角函數多個角度的運用.

在進行定義和概念的復習時，教師應該盡量避免問題的碎片化和零散化，如復習三角函數時直接提問：“說出銳角三角函數的定義；特殊角的三角函數的定義.”這樣的問題缺少思考性，難以調動學生的興趣，也不利于營造良好的課堂氛圍. 本例中，通過將三角函數知識蘊含于題目中，使學生從多個角度觀察問題，培養了思維的靈活性，真正理解三角函數的定義，在輕松的氛圍中提升了學習效果.

有效閱讀，透析本質

復習課教學中需要從學生已有的知識和生活經驗出發創設情境，讓學生在體驗情境的過程中理解數量關系和變化的規律，使學生能在體驗情境的過程中建立數學模型，將知識運用到實際問題的解決中去，加強方程、不等式以及三角函數等知識之間的聯系.

案例2 如圖2所示，在廣場上空有一個氣球A，地面上三點B，C，D在同一條直線上，BC長20 m，在點B，C處分別測得氣球A的仰角∠ABD為45°，∠ACD為56°，求氣球A距離地面的高度AD（精確到0.1 m，tan56°≈1.483）.

師：怎樣用好三角函數知識解決這個問題呢？同學們思考一下：氣球A距離地面的高度AD可以利用哪個直角三角形求解？

生5：可以利用Rt△ABD或Rt△ACD求解.

師：圖中的這兩個直角三角形除了已知∠ABD=45°，∠ACD=56°外，缺少什么條件？它們之間有什么內在的聯系？

生6：這兩個直角三角形都缺少已知邊的條件，但是它們有一條公共的直角邊AD，我們可以設CD為x m，用x的代數式表示BD，再通過公共邊AD得到變量之間的相等關系. 即（20+x）tan45°=xtan56°，所以AD=tan56°≈61.4（m）.

師：根據生6的思路，我們需要找到固定不變的量，也就是氣球的高度，再通過三角函數求高.

生7：可以設AD為x m，在Rt△ACD中，CD=；在Rt△ABD中，BD=. 所以-=20，解得AD≈61.4（m）.

師：這兩種方法分別從直接和間接兩個角度求解，我們的生活中也有這樣的問題嗎？接下來讓我們看看下面兩道題，能否進行類比和轉化呢？

題1：如圖3所示，一條小河的旁邊有一座山，從山頂的A點俯瞰小河的C點和D點，分別得到夾角的度數為30°和45°，這條小河的寬度CD為50米. 若現在從山頂的A點拉一條筆直的纜繩AC到小河對岸的C點，你能求出纜繩AC的長嗎？

生8：作CD的垂線AB，且AB與CD的延長線相交于點B. 根據俯角的定義，可知AE與CD平行，得到∠C和∠ADB的度數分別為30°和45°，從而得到類似于案例2的問題.

題2：某礦物探測隊探測到一幢廢墟建筑的下方點C處有礦物質，觀察圖4可知，在地面上探測隊挖掘了兩個探測點A和B，它們之間的距離為3米，A點處的探測線與地面形成的夾角為30°，B點處的探測線與地面形成的夾角為60°，試確定點C的深度.（參考數據：≈1.41，≈1.73）

生9：如圖4所示，本題同樣通過作輔助線進行解決，即過點C作CD垂直于AB，與AB的延長線相交于點D，然后通過所學的相關定理轉化為上一類問題.

在掌握所學知識的基礎上，再次尋找新的問題，經過反思和總結可以鞏固已學知識，并促進知識深化以及思維進一步發展. 經過習題的拓展和延伸，引導學生透過現象抓住問題的本質，發現知識之間的內在聯系，在解題和反思中鞏固知識，深化理解，學會解直角三角形的方法，提升學生的適應能力，掌握解題技巧.

有效探究，深入反思

復習課教學中，教師應基于學生的認知規律進行教學設計，有效激發學生學習的主動性，給學生充分的參與數學活動的機會，引導學生積極主動地探索和交流，掌握數學的基本技能，體會數學思想，學會數學方法，積累數學活動經驗.

案例3 根據市里對建筑的要求，建筑樓房需要保證采光時間，因此樓房之間的距離不能太小，至少要保證中午12時是有陽光照射的.

如圖5所示，現在需要在一幢舊樓的正南方建一幢新樓，兩樓的距離為40 m，舊樓的一樓窗臺高1 m，根據統計該地冬天中午12時太陽從正南方照射的光線與水平線的最小夾角為30°，為了提高收益，需要計算新樓最高可建多少米.

生10：在符合規定的情況下，我們可以利用三角函數求解，圖5中新樓與舊樓之間可以建構直角三角形，保證陽光照射到一樓窗臺.

解法1 如圖6所示，過點F作輔助線EF垂直于AB，與AB相交于點E，在Rt△AEF中，AE=EF·tan30°=40×=（m），則AB=EB+AE=1+≈1+23=24（m）.

解法2 如圖7所示，AF的延長線與BC的延長線相交于點G，在Rt△ABG中，BG=，則CG=BG-BC=-40. 由于AB與CF平行，故△FCG和△ABG相似，因此=，即=，可以解得AB=≈24（m）.

教學要挖掘知識的本質和內涵，案例3在傳授知識的同時，通過試題訓練，并且采用一題多解的方法，鍛煉學生思維的靈活性，讓其掌握多種解題方法，深入體會數學思想和本質.

變式練習，彌補缺陷

銳角三角函數的知識需要在直角三角形的基礎上應用，但是在解決問題的過程中，經常發現很多問題的難點就在于沒有現成的直角三角形可以利用，必須進行構造. 因此在銳角三角函數的教學中，構造直角三角形與銳角三角函數進行聯系是一個重要的教學內容，需要通過變式練習加強引導和思考，提升學生的思維深度.

案例4 如圖8所示，△ABC的頂點是正方形網格的格點，則sinA的值是多少？

師：同樣需要用到三角函數，我們怎樣才能找到這個“三角函數”，如何使用它？想要解決這個問題，先要將∠A放到直角三角形中，但觀察圖形△ABC并不是直角三角形，因此必須通過添加輔助線來構造直角三角形，那么如何構造這個直角三角形呢？

生11：觀察圖9，線段AB在網格的對角線上，而C是格點，過點C作AB的垂線CD，垂足為O，△ABC的AB邊上的高線就是線段CO，則S=×2×3=×3CO，解得CO=，AC=，所以sinA===.

變式1：六個小正方形組成一個網格（如圖10所示），小正方形的邊長相同，小正方形有頂點A，B，C，D，AB和CD相交于點P，則tan∠APD的值是多少？

生12：如圖11所示，通過對頂角相等、正方形的對角線性質可得∠APD=∠BPF，△PBF為直角三角形. 在Rt△PBF中，可得tan∠BPF==2.

生13：我還有其他方法，如圖12所示，首先連接AE和BE，可得Rt△AEB；由平行線的性質、正方形的對角線性質和同位角定理可得：在Rt△AEB中，tan∠APD=tan∠ABE==2.

通過變式訓練，應用一題多變、一題多解等多種習題講評的有效方式，使得學生可以從多個角度調動知識，實現知識的系統化、網格化，有利于建構知識體系，提高學習效率，實現學生主動學習.

綜上所述，數學學習是一個思維不斷完善的過程，本課通過勾股定理、特殊角的三角函數和相似三角形等知識解決問題，引導學生認識到生活中三角函數應用的廣泛性. 在例題設計的過程中，通過有效的提問，抓住數學的本質和變式訓練等對學生所學知識加以鞏固，全方位地調動學生學習的積極性，提高學生思維的能動性，讓學生在輕松愉快的氛圍中提升學習效率.