高中數學運算素養的提升策略

摘要：數學運算是數學核心素養的一個重要方面，也是貫穿整個數學教學與學習的一個非常重要環節.要想學好數學就要學會數學運算，而且要算（數學運算）得好、算得巧、算得快.正確認識數學運算，樹立正確的運算觀，掌握常見的運算策略，引領并指導數學教學與學習.

關鍵詞：數學運算；核心素養；策略；反思；模型

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）28-0098-03

收稿日期：2022-07-05

作者簡介：紀政（1981.5-），男，安徽省利辛人，本科，中學一級教師，從事中學數學教學研究.

《普通高中數學課程標準（2017年版）》對數學運算素養的定義，其是解決數學問題的基本手段，是指在明晰運算對象的基礎上依據運算法則解決數學問題的素養.數學運算的表現形式主要包括數字的計算、估值和近似計算，式子的組合變形與分解變形，以及幾何圖形各幾何量的計算求解等.

本文結合實例加以剖析，闡述數學運算的養成與技巧策略，拋磚引玉.

1 樹立正確的運算觀，學會勤于運算

很多同學錯誤地把“運算”看成“死算”，以為不需要動腦筋，是純粹的“體力活”.平時數學解題時“眼高手低”，做題時只注重研究解題思路，而不動手去操作運算，忽視了數學的運算技巧，而只寫數學解題過程不計算；片面專注于只做“技術人員”，專門進行“計算器”的功能.還有部分同學有時做課外作業或練習時存在一些抄襲現象，這些不正確的運算觀，都直接影響著數學學習的效果，從而導致考試時“一算就錯”，經?！皶粚Α薄皩Χ蝗?其實，要讓學生從內心認識到數學運算的重要性，學會樹立正確的運算觀，勤于運算，不但是為了數學考試，更重要的是自身能力的提升.

2 加強自我監控評價，學會反思運算

在數學運算過程中，要學會從運算對象是否理解，運算法則是否掌握，運算思路是否恰當，運算程序是否合理，運算過程是否簡潔，運算結果是否正確，書寫表達是否規范，運算速度是否快捷等不同層面加以分析、梳理、反思與探究，對存在的問題進行合理地歸納整理.在具體數學解題過程中，學會反思運算，從中挖掘出錯誤的點，進而從細節入手，自我深化，合理進行模仿中鞏固，訓練中摸索，比較中辨析，變式中優化，綜合中創新等.

例1己知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在y軸上，F1，F2為C的兩個焦點，C的短軸長為4，且C上存在一點P，使得|PF1|=6|PF2|，試寫出橢圓C的一個標準方程.

解析設橢圓C的標準方程為

y2a2+x24=1（a>2），c=a2-4.

根據橢圓的定義，可得|PF1|+|PF2|=2a.

由|PF1|=6|PF2|，得|PF1|=127a，|PF2|=27a.

由幾何不等式，有|PF1|-|PF2|≤|F1F2|=2c.

可得127a-27a≤2c.

整理有ca≥57.

所以c2a2≥2549.

即a2-4a2≥2549，解得a2≥496.

故答案：y29+x24=1（答案不唯一，只要滿足a2≥496即可）.

點評通過以上問題的分析與解答，結合數學運算實質，要學會多層面、多層次的反思：問題的來源其實就是確定橢圓離心率的取值范圍；問題的解決還可以通過橢圓基本性質、焦半徑公式以及橢圓第二定義等；問題還可以進一步加以系數的一般化處理，轉化為多項選擇題形式出現.

3 掌握常見運算策略，學會善于運算

3.1 模型化策略

解題時，分析所研究問題的本質屬性，經過去粗取精、去偽存真、由此及彼、由表及里的工作，將問題的基本特征構建為數學模型，通過模型化方法探求數學運算思路.常見的模型有：平面向量中的極化恒等式，導數中的極值點偏移，立體幾何中的鱉臑陽馬，平面解析幾何中的阿波羅尼斯圓以及阿基米德三角形等.

例2已知AB是過拋物線y2=4x焦點F的弦，P為該拋物線準線上的動點，則PA·PB的最小值為.

解析設點C是弦AB的中點，過點C作拋物線準線的垂線，垂足為點D，根據拋物線的定義可知以AB為直徑的圓與準線相切于點D.

利用極化恒等式，可得

PA·PB=14[（PA+PB）2-（PA-PB）2]

=14（4PC2-BA2）

=PC2-BC2

=PC2-DC2≥0，

當且僅當點P與點D重合時等號成立.

所以PA·PB的最小值為0.

點評合理巧妙地利用向量的極化恒等式可以快速對平面向量的數量積進行化歸與轉化，體現了平面向量的幾何屬性，特別適合于以三角形為載體，含有線段中點等相關特征的平面向量問題.

3.2 熟悉化策略

數學解題就是一個問題轉化與變形的過程.具體操作時，把問題轉化為一個等價的問題，或把原問題化歸為一個已經解決的問題，從而化難為易，化生為熟，化繁為簡，化未知為已知，實現問題的熟悉化.

例3如圖1所示，在平面直角坐標系xOy中，一個質點從A（a1，a2）出發沿圖中路線依次經過B（a3，a4），C（a5，a6），D（a7，a8），…，按此規律一直運動下去，則a2021+a2022+a2023+a2024等于.

解析由平面直角坐標系可知，A（1，1），B（-1，2），C（2，3），D（-2，4），E（3，5），F（-3，6）.

即a1=1，a2=1，a3=-1，a4=2，a5=2，a6=3，a7=-2，a8=4，….

由此可知，數列中偶數項是從1開始逐漸遞增的，且都等于其項數除以2；每四個數中有一個負數，且為每組的第三個數，每組的第一個數為其組數，每組的第一個數和第三個數互為相反數.

因為2024÷4=506，所以a2021=506，a2022=1011，a2023=-506，a2024=1012.

則有a2017+a2018+a2019+a2020=2023.

點評將平面直角坐標系中按一定規律運動的動點所對應的坐標進行熟悉化處理，構建與之對應的數列，將問題轉化為數列問題，利用數列的性質特征化生為熟，化繁為簡，從而得以巧妙轉化，合理應用，實現問題的轉化與求解.

3.3 直觀化策略

數形結合思維可以很好體現數學的直觀化，一圖勝百算.特別在解決實數問題時，以數軸加以直觀；在解決向量或復數問題時，以坐標加以直觀；在解決函數問題時，以圖象加以直觀；在解決方程問題時，以曲線加以直觀等.同時掌握一些常見的模型加以合理直觀化處理，能很好地解決相應的數學問題.

例4在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若A=π3，a=2，則BC邊上的中線AM長的取值范圍是.

解析設△ABC的外接圓O的半徑為R，由A=π3，a=2，利用正弦定理可得2R=asinA=433，則有R=233.

根據圖形的幾何性質，如圖2所示，此時點A的軌跡是以點O為圓心的圓的優弧BC（不包括端點B，C）.

由于A=π3，可得∠BOC=2π3.

結合R=233，可得OM=33.

數形結合可知AM≤OM+R=3，當且僅當AM⊥BC，即點A與圓的優弧BC的中點D重合時等號成立.

又AM>|MC-AC|>MC=1，此時點A無限接近于端點C（或另一邊的端點B）時，但不能重合，否則構不成三角形.

綜上分析，可得AM∈（1，3].

點評涉及解三角形問題中的線段長度的最值問題，經常借助平面幾何圖形的直觀化策略來處理，結合動點的軌跡變化情況，數形結合，直觀分析，合理化“動”為“靜”，“動”中取“靜”，“動”“靜”結合，確定極端最值問題.

3.4 特殊化策略

合理的特殊化思維，就是數學運算中的一個重要策略，經常取特殊數值，找特殊位置，選特殊函數（或數列），用特殊圖形，找極端位置等，以特殊化情境下所滿足的情況來分析，進行合理的一般化處理.

例5著名數學家歐拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，此直線被稱為三角形的歐拉線，該定理被稱為歐拉線定理.已知△ABC的外心為O，重心為G，垂心為H，M為BC中點，且AB=4，AC=2，則下列各式正確的有（ ）.

A.AG·BC=4B.AO·BC=-6

C.OH=OA+OB+OCD.AB+AC=4OM+2HM

解析取特殊△ABC，此時A=π2，如圖3所示，分別以AB，AC所在直線為x軸、y軸建立平面直角坐標系xAy.

則點A與點H重合，點M與點O重合.

可得A（0，0），B（4，0），C（0，2），M（2，1），G（43，23）.

所以AG·BC=（43，23）·（-4，2）=-4，選項A錯誤；

AO·BC=（2，1）·（-4，2）=-6，選項B正確；

OA+OB+OC=OA=OH，選項C正確；

由于AB+AC=（4，2），4OM+2HM=4（0，0）+2（2，1）=（4，2），則選項D正確.

故選BCD.

點評根據題目條件，特殊化處理，利用特殊的直角三角形構建平面直角坐標系，利用坐標運算與數量積公式等來分析與判斷.

數學運算是數學基礎知識的一個展示平臺與綜合應用，更是數學思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力以及創新意識、應用意識等的基石.數學運算素養的培養與提升一定要堅持不懈，并樹立正確的運算觀，養成良好的運算習慣.

參考文獻：

［1］賈東承.高中數學解題能力培養路徑探析[J].新課程導學，2019（35）：19.