從制作無蓋的長方體紙盒說起

趙娟

問題1：如圖1，如何用一張正方形的紙片制作一個(gè)無蓋的長方體紙盒？

對(duì)于這個(gè)問題，我們不妨反過來考慮，把無蓋長方體紙盒攤開，我們能得到什么樣的平面圖形？這時(shí)問題就迎刃而解了。我們只需要把正方形紙片的四個(gè)角剪掉，而且減掉的部分必須是4個(gè)大小相同的小正方形。那么，為什么是4個(gè)大小相同的小正方形呢？同學(xué)們可以動(dòng)手操作一下，可以發(fā)現(xiàn)，剪掉的小正方形的邊長是折疊后長方體的高（如圖2）。

問題2：若正方形紙片的邊長為20cm，剪去的小正方形的邊長為xcm，折成的無蓋的長方體紙盒的容積如何表示？

要想表示長方體紙盒的容積，我們可以思考，長方體的容積和哪些量有關(guān)系。不難發(fā)現(xiàn)，容積和剪掉的四個(gè)角（小正方形）的大小有關(guān)系。如果大正方形的邊長為20cm，剪去的小正方形的邊長為xcm（如圖3），那么折成的無蓋長方體紙盒的長和寬均為（20-2x）cm，高為xcm，折成的無蓋長方體紙盒的容積V=x（20-2x）2。

問題3：當(dāng)小正方形邊長x變化時(shí)，所得到的無蓋長方體盒子的容積如何變化？猜一猜，當(dāng)小正方體的邊長取什么值時(shí)，所得無蓋長方體盒子的容積最大？

當(dāng)小正方形邊長變化時(shí)，所得到的無蓋長方體盒子的容積如何變化呢？我們?cè)囍ㄟ^代入具體數(shù)值計(jì)算盒子的容積。當(dāng)剪去的小正方形的邊長x取1、2、3、4、5、6、7、8、9（單位：cm）時(shí)，分別求出制成的無蓋長方體紙盒的容積，然后以表格的形式記錄下來（如表1），可以更為直觀地感受變化的過程。

通過表1，我們發(fā)現(xiàn)：隨著小正方形的邊長x的值變大，紙盒的容積V先變大再變小，當(dāng)x在2～4cm之間時(shí)，V的值比較大。我們不妨先在3～4cm之間，按0.1cm的間隔取值，然后代入計(jì)算（如表2），同理，在2～3cm之間，也按相同間隔取值、計(jì)算（表略）。

通過計(jì)算，我們發(fā)現(xiàn)：在2～4cm之間，當(dāng)剪去的小正方形的邊長等于3.3cm時(shí)，所得到的無蓋長方體盒子的容積最大，此時(shí)盒子的容積是592.548cm3。我們可以繼續(xù)在3.2～3.4cm之間，按0.01cm的間隔取值，然后代入計(jì)算。以此類推，可得到小正方形的邊長為3.333333333…時(shí)，無蓋長方體形盒子的容積最大。于是猜測(cè)，當(dāng)x=[206]=[103]時(shí)，V最大。

問題4：如圖4，如果正方形的邊長為acm，那么做成的無蓋長方體盒子的容積V如何表示？猜測(cè)當(dāng)小正方形的邊長x與a有什么關(guān)系時(shí)，所得到的無蓋長方體紙盒容積最大？

有了問題2的思路，我們不難得出，V=x（a-2x）2，改變a的取值，重復(fù)問題3的探索過程，經(jīng)過比較、歸納，猜測(cè)當(dāng)x=[16]a時(shí)，盒子的容積最大。如果要確定當(dāng)x=[16]a時(shí)，V最大的話，還需要嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明，證明方法我們后續(xù)會(huì)學(xué)到的。

制作無蓋的長方體紙盒系列問題，需要綜合應(yīng)用字母表示數(shù)、列代數(shù)式、求代數(shù)式的值以及利用代數(shù)式的值探索代數(shù)式所反映的規(guī)律等知識(shí)。同學(xué)們可以通過研究這一現(xiàn)實(shí)的、有趣的、富有挑戰(zhàn)性的課題，體驗(yàn)數(shù)學(xué)來源于生活，又服務(wù)于生活。

（作者單位：江蘇省南京市旭東中學(xué)）