“代數式”中的典型問題及解決思路

許紫珩

一、“日歷”問題

例1 如圖1，用一個“T”形框在2022年11月的日歷上可以框出5個數。例如，圖中兩個“T”形框中的5個數的和分別是31和92。如果“T”形框在圖1中框出的5個數的和是91，那么這5個數中最大的數是___________。

【解析】由圖1可知，“T”形框分兩種情況。設“T”形框中最小的數為x，用含x的代數式分別表示其余的數，根據圖中框出的5個數的和是91，列出方程，求解即可。

【點評】本題的主要思路是借助整式的加減，探究和表示實際問題中的數量關系。在整式的學習之后，同學們對整式有了基本認識，但對于抽象字母的理解可能還停留在概念和加減運算上。希望同學們在后續學習中注重加強理論與生活的聯系，借助“月歷求和”等情景以及學過的知識，慢慢體會從特殊到一般的探究過程。

二、“代數推理”問題

例2 已知：[abc]是一個三位數，其中a+b+c能夠被9整除，試說明，這個三位數能夠被9整除。

【解析】此題考查了列代數式和整式的加減。將“[abc]是一個三位數”“a+b+c被9整除”通過代數式表示出來是第一個難點；運用整體思想，將代數式變形成能被9整除的形式，是本題的第二個難點。

解：由題可知，這個三位數可表示為100a+10b+c。

∵a、b、c的和能被9整除，

∴可設a+b+c=9k，其中k為正整數。

∴100a+10b+c=99a+9b+（a+b+c）

=99a+9b+9k

=9（11a+b+k）。

∵a、b、k均為正整數，

∴11a+b+k為正整數。

∴100a+10b+c能被9整除。

∴這個三位數能夠被9整除。

【點評】用字母a表示百位上的數字，字母b表示十位上的數字，字母c表示個位上的數字，合理運用“用字母表示數”，式子100a+10b+c便具有三位數的一般特點。將多項式進行某種變形，通過整體變換進行求解是該種類型常見的解題思路，即從條件出發，整體考慮，逆向思考，將待求解的式子通過法則湊成已知條件的形式，尋找已知條件和待求解式子之間的關聯，然后進行整體變換。

三、“比大小”問題

例3 已知a＜b，試比較a與[a+b2]的大小。

【解析】代數式的大小比較，通?？梢杂米鞑罘ㄟM行代數推理。而本題中，代數式所表示的數比較特殊，我們也可以通過數形結合的思想，將其直觀地在數軸上表示出來，即可解決問題。

解法一：[a+b2-]a=[b-a2]。

∵a＜b，

∴b-a＞0。

∴[b-a2]＞0。

∴[a+b2]＞a。

解法二：記a、b在數軸上表示的點分別為A、B。

∵a＜b，

∴A、B兩點在數軸上的表示如圖2所示。

設點C表示的數為[a+b2]，則點C是線段AB中點，在數軸上的表示如圖3所示。

∴點C在點A右邊，即[a+b2]＞a。

【點評】我們在利用“作差法”解決這類問題的時候，還可以對代數式具有的幾何意義進行一些思考。雖然我們已經能夠初步理解符號的意義，也能對周圍的事物做出一些較為簡單的概括，但如果我們能夠通過幾何直觀的方式，將代數式與數軸等幾何圖案進行結合，那么我們還可以更為深刻地、直觀地理解一些代數式相關的問題。

（作者單位：江蘇省南京市旭東中學）