代數式——數學認識上的一次飛躍

王夢婷

第3章 代數式

領銜人：諸士金

在小學階段，我們的學習對象是數，具體包括認識不同形式的數、進行數的運算、用“數的運算”解決一些實際問題等。隨著社會的發展，人們發現只有“數”還不夠，用字母表示數會起到更大的作用，于是產生了代數式這樣更具生命力的數學對象。進入初中以后，我們的學習對象會逐漸從數過渡到式，即代數式，初中數學將在代數式的基礎上展開，比如下一章的“一元一次方程”。代數式的出現具有重要的意義，從數到式，幫助我們實現了問題研究的具體化到抽象化、特殊化到一般化。

一、從數到代數式

從數到代數式的橋梁是用字母表示數。用字母表示數可以使問題中的數量關系或者變化規律表示得更簡明，更具有一般性。

比如，如果用字母a表示月歷上的一個數，那么a+7通常表示的就是位于它下方的那個數，即下方的數總比上方的數大7，這樣可以更加一般地揭示月歷上某些數之間的關系，這里的a、a+7就是代數式。

再比如，一輛汽車以60km/h的速度在公路上行駛，那么我們知道汽車1h后行駛了60km，2h后行駛了120km，3h后行駛了180km……這樣的信息是列不完的，是否有更好的表達呢？假設汽車行駛了th，那么它行駛的路程是60tkm，這里的代數式t和60t便能包含所有的信息。

又如，一個兩位數的個位數字是a，十位數字是b，那么這個兩位數是10b+a。代數式10b+a揭示了任意一個兩位數的個位數字和十位數字之間的關系。

代數式是數學符號組成的語言，它比數更富有表現力。事實上，同一個代數式可以表示不同實際問題中的數量關系，如10b+a還可以表示：蘋果每千克a元，橘子每千克b元，買1千克蘋果、10千克橘子應付的總價錢，這也體現出代數式的一般性。

二、從代數式到數

根據問題的需要，用具體數值代替代數式中的字母，計算所得的結果叫作代數式的值。

比如，當a=1，b=2時，10b+a=21；當a=1，b=-2時，10b+a=-19。通常情況下，用不同的數值代替字母，會得到不同的值，它隨字母所取值的變化而變化，這又一次體現了代數式的一般性。實際上，數是“死”的，式是“活”的。如圖1，在“搭小魚”的活動中，搭1條“小魚”需用8根火柴棒，搭2條“小魚”需用8+6根火柴棒，搭3條“小魚”需用8+6×2根火柴棒……搭n條“小魚”需用8+6（n-1）根火柴棒，這里的字母n是一般形式的數，前面的數都是特定狀態的字母。

三、數能算，代數式也能算

代數式中的字母表示的是數，數能運算，那么代數式也能運算。數如何運算，代數式也如何運算，即“數式通性”。本章主要研究整式的加減運算，合并同類項和去括號是整式加減的基礎。

事實上，生活中隨處都有合并同類項。例如，3個蘋果和4個蘋果“合并”就得7個蘋果，而3個蘋果不能和4個橘子“合并”；數一堆錢時，通常把錢幣10元、5元、1元……分別放在一起“合并”計算。數學中，像7a和3a、-9x2y3和5x2y3這樣字母部分完全相同的項，就是同類項，我們只需將它們的系數相加，字母部分保持不變，即可合并同類項。比如：7a+3a=（7+3）a=10a，運算的依據是乘法的分配律，實際上這是類比數的運算法則和運算律得到的。在數的運算中，7×99+3×99=（7+3）×99=10×99=990，這里只不過將數字99寫成了字母a，但其中的算理是相同的。由此可見，代數式在進行運算和推理時具有一般性。

實際上，整式的加減運算就是在合并同類項，當式子帶括號而變得復雜時，我們仍然依據乘法的分配律去括號。值得一提的是，去括號時，若括號前面是“-”號，把括號和它前面的“-”號去掉，括號里各項的符號都要改變。例如，我們可以把-（2a-4b）看成（-1）×2a+（-1）×（-4b）=-2a+4b，從“代數和”的角度來理解為何需要變號。

雖然“數式通性”，但二者在運算上也略有不同。對數進行運算時，有括號先算括號里的，而進行整式的加減運算時，如果有括號，先去括號，再合并同類項。但是，如果式子結構比較特殊，也可以后去括號。比如：計算7（x-2y）-3（x-2y）+x，把括號里的x-2y看作一個整體，可以先合并為4（x-2y）+x，再去括號，這樣就可以降低去括號帶來的錯誤率。實際上，這里的x-2y也完全可以看作a。當我們具備了這種把式子看成整體的眼光，整式的加減運算便會變得非常容易。

對整式加減運算的研究為我們研究后續的代數式運算積累了一個經驗，即通過類比數的運算法則和運算律，研究式的運算法則和運算律，因為式的本質即為數。

（作者單位：江蘇省南京市浦口外國語學校）