在探究中發現,在應用中提升

王菊

[摘 ?要] 數學探究是提高學生數學學習能力的必經之路. 在日常教學中，教師應為學生鋪設一條自主探究之路，引導學生通過思考、探究、交流等各種自覺活動揭示問題的深層結構，從而讓學生更好地理解數學、應用數學，提高學生的數學素養.

[關鍵詞] 數學探究;理解數學;應用數學

數學學習是一個不斷發現、不斷探索、不斷完善的過程. 在學習過程中會遇到許多有價值的問題，若對這些問題進行深度探究，往往可以收獲意外的驚喜. 教學中教師要認真研究各種教學資源，充分挖掘其中蘊含的規律，從而通過有針對性的啟發和引導讓學生發現一些結論，掌握一些方法，這樣既能激發學生的數學學習積極性，又能提高學生的數學學習能力，提高教學有效性. 筆者在教學中就有這樣的經歷，現將其分享給大家，以期拋磚引玉.

[?]在探究中發現

在高三二輪復習課上，教師帶領學生復習了橢圓的相關知識后，給出了這樣一個問題：

如圖1所示，在平面直角坐標系xOy中，過坐標原點的直線交橢圓+=1于P，A兩點，其中點P在第一象限，過點P作x軸的垂線，垂足為C，連接AC并延長，交橢圓于點B. 求證：PA⊥PB.

題目給出后，教師先讓學生獨立思考，然后進行小組交流，通過交流得到了多種證明方法.

師：誰來說一說，你是如何證明的？（以下簡單敘述學生的回答）

生1：設點P（x，y），則點A（-x，-y），C（x，0），于是可求直線AB的方程. 聯立直線AB的方程與橢圓的方程，利用韋達定理求出點B的坐標（用x，y表示），可得PB的斜率. 直線PA的斜率為，若求得直線PB的斜率為-，即可證明.

生2：根據點差法可得（x+x）+2（y+y）k=0. 又點P與點A關于原點對稱，所以（x-x）+2（y-y）k=0，從而證明kk=-. 要證明PA⊥PB，只要證明kk=-1，即證明k=2k即可.

生3：想法同生2，不過是先發現k=2k，由此聯想到要證明kk=-. 而kk=·=·=. 因為點B，P在橢圓上，所以y=2-x，y=2-x，故kk=-.

師：大家思考以上幾種方法，談談你的感悟.

生4：生1用的是一種常規的解題方法，思路清晰，易于接受，不過美中不足的是計算量較大. 生2和生3的解法獨特，計算量較小，但是對思維能力要求較高，不易想到，可以稱得上巧解.

師：分析得很有道理. 對于常規解法相信大家都已經了如指掌了，現在我們一起分析一下以上兩種巧解. 回憶一下，在以前學習中，我們是否做過類似的題目或見過類似的圖形呢？

生5：我在錯題本上看到過這樣一個題目. （教師投影展示生5的發現）

已知點A，B是橢圓C：+y2=1上關于原點對稱的兩點，點P是橢圓C上異于點A，B的一點，直線PA，PB的傾斜角分別為α，β，則=________.

師：確實是一個好問題，大家思考一下，對于這道題該如何求解呢？

生6：===，根據點差法易得kk=-，所以==3.

生6：我也找到了一個題目，與剛剛的題目類似. （教師投影展示生6的筆記）

橢圓C：+=1的左、右頂點分別為A，A，點P為橢圓上一點且直線PA的斜率的取值范圍是[-2，-1]，則PA的斜率的取值范圍是________.

因課堂時間有限，教師沒有讓學生繼續探究，而是讓生6直接給出了之前的解題過程：根據已知易得kk=-，所以k=-，它隨著k的增大而增大，所以k的取值范圍是

，.

師：分析以上三個題目，你有什么發現嗎？

生7：如果A，B是橢圓+=1（a>b>0）上關于原點對稱的兩點，點P為橢圓上一點（異于點A，B），則kk=-.

師：總結得非常好，那么這個結論是否可以直接應用呢？

生齊聲答：不能，需要驗證.

接下來，師生通過共同探究證明了結論（證明過程略）.

設計意圖：教學中教師精心設計了一個問題，引導學生挖掘題目背后的價值. 在具體實例的探究中，先讓學生進行對比分析，由此得到一般猜想，然后通過對猜想的驗證得到了橢圓中的一個重要結論. 在以上教學過程中，教師以生為主，鼓勵學生尋找相似題目，并結合證明過程進行總結歸納，有效激發學生的研究興趣，培養學生抽象概括的能力，提升學生的數學素養.

[?]在應用中提升

師：現在我們一起來看看這道題. （教師用PPT給出題1）

題1 已知橢圓E：+y2=1的上、下頂點分別為A，A，點P是橢圓上一點（異于A，A），直線PA，PA分別交x軸于點M，N，若直線OT與過M，N的圓G相切，切點為T. 求證線段OT的長為定值，并求定值.

題目給出后，學生積極思考，結合上面的結論很快得到了答案.

生8：如圖2所示，點P與橢圓E的上、下頂點相連，得kk=-=-，而k= -，k=，故xMxN=4，即OM·ON=4. 根據切割線定理得OT2=OM·ON，所以OT=2.

學生順利解決題1后，探究的積極性高漲，迫不及待地想解決更多的問題. 基于此，教師給出了題2，打算借助練習提高學生的數學應用意識.

題2 如圖3所示，已知點B是橢圓E∶+=1的下頂點，點M為橢圓E上一動點，點N是圓C：x2+y2=2上一點，且直線BN的斜率是直線BM斜率的2倍. 求證：直線MN恒過一定點.

題2與前面的題目相比，難度略有提升，教師鼓勵學生合作交流，從而通過不同思維的碰撞，發現解決問題的突破口.

生9：令橢圓E的上頂點為A，連接MA，NA，則有kk=-. 又AB為圓C的直徑，故kk=-1. 又k=2k，所以k=k，可知M，N，A三點共線，即直線MN恒過點A（0，）.

設計意圖：為了讓學生體驗數學發現在學習中的價值，教師精心設計練習，繼而通過“用”，促進知識的深化，提高學生解決問題的能力.

[?]再認識、再應用中升華

師：課后大家可以再探究一下這個結論的應用，看看它是不是能解決更多的問題. 課前我也做過類似的研究，有一個問題需要大家幫忙解決.

已知橢圓C：+=1（a>b>0）的左、右頂點分別為A，B，點M，N是橢圓C上不同于A，B的兩個不同動點. 連接MA，MB，NA，NB，這四條直線的斜率存在怎樣的等量關系？

生10：kk=kk=-.

師：很好，如果變形這一結論，你會得到什么呢？

生11：=.

師：很好！現在我們借助具體練習看一看，通過簡單的變形，它會給我們解題帶來哪些便利. （教師給出題3）

題3 如圖4所示，已知橢圓C：+=1（a>b>0）的左、右頂點分別為A，B，點M，N是橢圓C上不同于A，B的兩個不同動點，且直線AM與NB相交于點T，直線AN與MB相交于點R，求證：TR⊥x軸.

教師讓學生獨立完成證明，教師巡視，然后點名讓學生給出證明過程.

生12：因為直線MA：y=k（x+a），NB：y=k（x-a），兩式聯立解得x=a;同理，聯立直線NA，MB的方程，解得x=a. 令==t，則有k=tk，k=tk，故x=a，x=a，即x=x，故TR⊥x軸.

師：多么精彩的推理啊！運用變形得到的結論直接解決了問題，有效地避免了復雜的運算，大大地提升了解題效率. 其實，這一結論也是高考的一個重要考點，若解題時能夠合理應用，往往可以優化解題過程，提高解題效率. 現在我們繼續研究下一個問題.

題4 如圖5所示，已知橢圓+=1的左、右頂點分別為A，B，右焦點為F，設過點T（9，m）的直線TA，TB與橢圓分別相交于點M（x，y），N（x，y），其中m>0，y>0，y<0. 求證：直線MN必過x軸上的一個定點.

師：題4是2010年高考江蘇卷中的一道題，這個題目在前面講解過，但是當時我們經歷了復雜運算，現在大家一起思考，看看通過今天的學習，你是否能夠得到一個簡單的證明. （學生積極思考）

生13：設直線MN與x軸相交于點E（m，0），則∥，所以（x-m）y-（x-m）y=0. 故m=. k=k=，k=k=，所以k=2k，即=2·，故xy+3y=2xy-6y①. 又==，所以k=2k，即=2·，故xy+3y=2xy-6y ②. 由①-②并整理得xy-xy=y-y，故m=1，所以直線MN必過x軸上的一個定點（1，0）.

設計意圖：在原有基礎上對結論進行變形，繼續挖掘巧解的本質，從而又得到了一結論. 另外，通過再認識、再應用讓學生體驗探究在解題教學中的價值，有效激發學生的探究欲，培養學生思維的深刻性和變通性.

其實，在解題教學中經常會遇到一些巧妙的解法，而這些巧解的給出并不是偶然的，若解題時能夠充分挖掘巧解背后的價值，往往可以將巧解轉化為通解，這樣不僅有利于提高學生的解題效率，而且有利于發散學生的數學思維，培養學生探究發現的能力，發展學生的數學素養.