注重數學解題反思 助力學生全面提升

劉佳

［摘? 要］ 解題反思在深化知識理解、強化方法意識、提煉數學模型、提高數學能力等方面有著重要的應用價值，是解題教學的重要組成部分之一. 在解題教學中，教師要鼓勵學生進行解題反思，在反思中實現自我優化、自我完善、自我建構，從而提高綜合學力.

［關鍵詞］ 解題反思；解題教學；綜合學力

解題反思是解題教學的重要一環，它關系著學生思維能力的發展和解題能力的提升. 不過，在實際教學中，為了追求解題的“量”，解題反思大多以教師為主，教師大多直接給出自己的優化思路，點明其中蘊含的思想方法等內容，這樣，學生沒有經歷自我反思過程，往往難以發現解題過程中的優點和缺點，這樣的解題反思形同虛設，難以讓學生在反思中有所收獲. 因此，在教學中，教師應該為學生提供一定的反思時間和反思空間，通過一些有效的引導和訓練方法，引導學生進行深度思考，以此激活學生的解題經驗，優化學生的元認識，提升學生的自主學習能力，培養學生良好的解題習慣和解題態度，進而從根本上提高解題效率. 下面，筆者結合具體案例談幾點落實解題反思的方法，若有不足，請指正.

在思維受阻時鼓勵學生反思

數學問題抽象、復雜，學生解題時難免會出現思維受阻的情況，此時教師不要急于給出解題過程，可以嘗試通過一些有針對性的、啟發性的問題進行引導，鼓勵學生通過嘗試、探索、反思，尋找解題思路，提升解題信心.

例1如圖1所示，四邊形ABCD是梯形，AB∥CD，分別以AD，BC為邊向兩邊作正方形ADEG和正方形CBHF，線段CD的垂直平分線交線段EF于點M. 求證：M為EF的中點.

問題給出后，教師鼓勵學生獨立完成（教師巡視）. 幾分鐘后，教師發現部分學生依然沒有找到證明的思路，便邊走邊說：“這個證明確實有一定的難度，大家不要著急，靜下心來想一想，看看能不能做一些變化. 如果將梯形ABCD變一變，你會不會證明呢？”在教師的暗示和鼓勵下，學生的思維活躍起來.

通過知識間的內在聯系，學生聯想到：該結論既然對梯形成立，那么改變梯形上底邊的長，其結論同樣成立. 假如梯形的上底CD的長變為0，梯形就變成了三角形，那么是否可以在變化的圖形中找到解決問題的方法呢？順著這個思路，學生將問題做了如下變化：如圖2所示，在△ABC中，分別以AC，BC為邊作正方形ACEG和正方形BCFH，連接EF，過點C作AB的垂線l交EF于點M，垂足為K. 求證：M為EF的中點.

做了改變后，學生可以分別過點E和點F作直線l的垂線，垂足分別為I，J. 由已知條件容易證明Rt△CEI≌Rt△ACK，Rt△CFJ≌Rt△BCK，故有EI=FJ=CK，由此可證M為EF的中點. 學生將簡化后的證明方法帶回原題，問題迎刃而解.

分析以上過程不難發現，數學解題過程其實就是一個不斷嘗試、不斷探索的過程，解題思路的形成往往源于學生對問題本質的把握，源于學生對不同類別知識內在聯系的感悟，而這些內容往往難以通過講授來實現. 因此，在教學中，教師要提供一些機會讓學生進行自主探究和反思實踐，在探究和反思的過程中認清問題的本質，逐漸形成解題策略，優化認知結構. 同時，解題后教師要引導學生進行反思和回顧，及時提煉數學思想和方法，以此培養學生良好的解題習慣和數學素養.

在優化解題過程中鼓勵學生反思

解題時容易發現，對于同一個問題，若解題思路不同，計算量也會有所不同. 從解題效率的角度來講，計算量越小，解題效率就越高，錯解的風險也就越低. 因此，解題后，教師要引導學生對解題過程進行反思，要引導學生嘗試通過不同的解法優化解題過程，規避復雜運算，從而提高解題效率.

例2若實數x，y，z滿足=1，=2，=3，求x的值.

學生獨立求解，教師巡視，并指定學生板演解題過程.

生1：由=1，得y=，由=2，得z=，所以z==，將其代入=3，化簡后得=3，由此解得x=.

師：很多學生都運用了與生1相同的解決方案. 觀察以上解題過程，你有什么想法？

生2：以上過程雖然能夠得到答案，但是運算過程有些煩瑣，解題效率比較低. 根據已知條件，感覺這個問題應該有其他的求解方法，不過我還沒有發現.

師：說得很好. 解題時，我們不能單純地追求結果，還要關注過程. 觀察以上式子的結構特征，你們能找到一個好一點的方法嗎？（學生積極思考）

生3：由=1，有=1，于是有+=1①；由=2，有=，于是有+=②；同理可以得到+=③. 由①+②+③，得

可見，通過反思和再認識，能實現運算過程的優化，能提高解題效率，能有效避免復雜運算所帶來的錯解風險，能提高解題準確率. 因此，在解題教學中，教師不要解題后就草草了事，而應引導學生進行有效的反思，嘗試尋找解題中存在的不足，鼓勵學生通過再認識、再思考發現其他解題路徑，從而不斷優化解題過程，提高學生分析問題和解決問題的能力.

在命題的拓展與延伸中鼓勵學生反思

在解題教學中，若僅限于“就題論題”地單一講授，學生很難進入深度思考，這樣的教學方式不利于學生思維能力的提升. 在實際教學中，教師要善于通過一題多解、一題多變等方式促進學生對問題本質的理解，提高學生發現問題、提出問題、解決問題的能力.

例3如圖3所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，BC=3，CD=1，E是AD的中點. 求證：CE⊥BE.

例3是一道典型的平面幾何證明題，在中考中較為常見. 分析例3不難發現，其證明方法不唯一，因此教師可鼓勵學生嘗試運用不同的方法進行證明.

方法1如圖4所示，延長CE交BA的延長線于點G. 通過證明△CED≌△GEA，得到CE=GE，AG=DC，所以GB=BC. 所以CE⊥BE.

方法2如圖5所示，過點C作CF⊥AB，垂足為F，可結合已知條件，根據勾股定理及其逆定理進行證明.

方法3取BC的中點H，連接EH，通過添加中位線的方法進行證明.

運用不同的方法進行證明后，教師鼓勵學生對比分析不同的解題方法. 比較方法2和方法3容易發現，方法2運用了“∠A=90°”這一條件，而方法3并沒有使用這一條件，這就是說，其實原題中的條件可以削弱. 另外，已知條件給出了邊的長度的具體數值，但是運用方法1和方法3證明時，只需要條件“BC=AB+CD”，不需要具體的數值，所以原題中的條件“AB=2，BC=3，CD=1”也可以弱化. 此外，通過證明容易得到如下兩個結論：①BE與CE分別為∠ABC，∠BCD的平分線；②S=S. 通過對比分析，教師可以對原題進行改編.

變式? 在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=AB+CD，E是AD的中點，連接CE，BE.

（1）求證：CE⊥BE；

（2）BE，CE分別為∠ABC，∠BCD的平分線；

（3）S=S.

在證明結論“S=S”時發現條件“BC=AB+CD”并無依賴性，為此可得到這樣的結論：在梯形ABCD中，AB∥CD，E是AD的中點，則有S=S. 繼續探究命題中條件與結論之間的關系，可得到逆命題：在梯形ABCD中，AB∥CD，E是腰AD上一點，若S=S，則E是AD的中點.

通過拓展、延伸，將一個命題轉化為多個命題，再利用對比分析理清問題的來龍去脈，能加深學生對問題本質的理解，優化學生的認知. 由此可見，解題時，教師既要鼓勵學生進行多角度探究，又要引導學生對不同解法進行有效的對比分析，以此理解問題的本質. 另外，在保持問題本質特征不變的情況下，“一題多變”能開闊學生的視野，能幫助學生積累解題經驗，能提升學生的數學素養.

在錯解中鼓勵學生反思

在解題過程中，錯誤是不可避免的，教師對待錯誤的態度直接影響著學生解題能力的提升. 若面對錯誤教師只是一筆帶過，那么學生難以對錯誤形成深刻的印象，解題時會出現“一錯再錯”的現象，因此，對錯誤進行反思勢在必行. 進行錯誤反思時，教師要引導學生進行錯解分析，探明產生錯誤的原因，并充分挖掘錯誤資源，讓學生經歷由“誤”到“悟”的過程，從而深化對知識的理解，避免“一錯再錯”.

例4四邊形ABCD的對角線AC與BD交于點O，且滿足AB=CD，有下列四個條件：①OB=OC；②AD∥BC；③=；④∠OAD=∠OBC. 若只增加一個條件，使得∠BAC=∠CDB成立，則這個條件可以是（ ? ? ?）

A. ②④ ? ? ? ? ?B. ②

C. ③④ ? ? ? ? ? ?D. ④

例4是一道由結論探究條件的試題，具有一定的開放性. 該題的正確率不高. 調研分析后發現，學生之所以出現錯誤，主要有以下兩個原因：一是審題不清，忽視了“只增加一個條件”這一要求，錯誤地選擇了A，C；二是探究不全面，當AD∥BC時，若AD≠BC，則四邊形ABCD為等腰梯形，∠BAC=∠CDB成立；當AD∥BC時，若AD=BC，則四邊形ABCD為平行四邊形，則∠BAC=∠CDB不一定成立，因未進行有效的分類討論，而錯誤地選擇了B. 這樣有效的錯因分析，能發現學生的思維漏洞；這樣有效的修補，可以有效地提高學生的解題技能，避免“一錯再錯”“會而不對”等現象的發生.

總之，在解題教學中，師生一定要靈活地運用好“反思”這一有力武器，充分發揮“反思”在優化解題思路、提升解題技能、優化認知結構等方面的作用，助力學生學習能力的全面提升.