一類定點與動形之間的最值問題

在2021 年中考試題中，有一類以正方形為載體，探究定點與動態圖形之間的最值問題.

例1 （2021·陜西）如圖1，正方形ABCD的 邊 長 為4，⊙O的 半 徑 為1. 若⊙O在正方形ABCD內平移（⊙O可以與該正方形的邊相切），則點A到⊙O上的點的距離的最大值為______.

圖1

分析：當點在圓外時，該點到圓的最大和最小距離的定義為：圓外點和圓心所連線段與圓的交點是最近點，圓外點和最近點的距離就是最小值；圓外點和圓心所連線段的延長線與圓的交點是最遠點，圓外點和最遠點的距離就是最大值.要求得點A到⊙O上點的距離的最大值，需要定位⊙O平移后的位置“信息”，⊙O需向著與點A距離最遠的方向平移.不難想象，點O應沿著對角線AC 的方向平移，達到⊙O分別與邊BC,DC相切的位置“狀態”，如圖2，⊙O的這一平移“終止”位置，正是問題需要的位置.

圖2

解：當點O沿著對角線AC方向平移，使⊙O分別與邊BC,DC相切于點E,F時，AC與⊙O的交點G即為點A到⊙O的最遠點，如圖2. 連接OE,OF，則四邊形OECF為正方形，OE=OF=1，由勾股定理得OC= 2 .在Rt△ABC中，由 勾 股 定 理 得AC=4 2 ，∴AO=AC-OC= 3 2 . 又OG=1 ，∴AG=AO+OG= 3 2 +1，即點A到⊙O上的點的距離的最大值為3 2 +1.

感悟：觀察是思維的先導.此題的最值的獲取是借助了我們的觀察、聯想和猜想，而這種猜想又是合乎情理，合乎事實的.平時的數學教學，我們慣以計算和推理兩個指標來衡量學生數學能力的高低.而從這道題的解析中，首先要想象和猜想出⊙O的“終止”位置，才會有之后的計算和推理.所以學習數學，應借助知識這一載體，養成學生勤于觀察、善于聯想的思維習慣，而后再引導學生去證明和計算.

舉一反三：若題中的條件不變，是否存在點A到⊙O的距離的最小值呢？若存在，求出這個最小值.

例2（2021·上海）定義：平面上一點到圖形最短距離為d，如圖3，OP=2 ，正 方 形ABCD邊 長 為2，O為正方形中心，當正方形ABCD繞O旋轉時，則d 的取值范圍為_____.

圖3

分析：點P,O的位置都是固定的，正方形ABCD繞O旋轉，位置是動態的，所以點P 到正方形的最短距離將隨正方形位置的變化而變化. 正方形ABCD繞其中心O旋轉，但點A,B,C,D均在以點O為圓心，為半徑的圓上.觀察OP與正方形頂點和邊的特殊位置關系是問題解答的突破口.解：由勾股定理得點O到點A,B,C,D的距離均為. 雖正方形ABCD繞其中心O旋轉，但點A,B,C,D均在以點O為圓心，為半徑的圓上（旋轉）.當P,B,O三點共線時，此時PB的長就是點P到⊙O的最近距離，也是點P到正方形ABCD的最短距離，如圖4 所示，此時PB=PO-OB=2-，即d=2-；當OP⊥AB于E時，有OE=1，點P到AB的距離即為點P到正方形ABCD的最小距離，如圖5 所示，此時PE=OP-OE=2-1=1，即d=1.綜上兩種情形，得點P到正方形ABCD距離d的取值范圍為：2-≤d≤1.

圖4

圖5

感悟：正方形的旋轉，使我們難以把握點P到正方形距離的最小值，不妨我們先從特殊的位置關系入手，如OP過正方形的某一頂點，OP與正方形的一條邊垂直，再借助觀察、聯想、推理和計算來解答.

動中求靜，是捕捉問題質的重要原則.而這一過程，離不開我們的觀察、聯想和猜想，有了這些東西的支撐，或許我們就有所發現、有所創新，可以說這些東西是學習中更有含金量的東西.