用傳統方法求解2021年高考數學北京卷立體幾何解答題

2021 年高考數學北京卷立體幾何解答題（第17 題）第（I）問要注意敘述規范，有理有據，用同一法證明會更簡潔清晰；第（II）問建系常規，但運算量較大，需計算兩個平面的法向量（這是自2003 年北京開始自主命題至今首次出現的情形.當然考生也可看出在平面BB1C1C上過點C與CF垂直的直線就是平面ECF的法線，但接下來仍有不小的運算量）且求法向量時含有字母運算，進一步加大了運算量.本題可很好地考查考生的邏輯推理、直觀想象、數學運算等數學核心素養.第(II)問的答案是(即點M為棱A1B1的中點)，像這樣的簡潔數據在北京卷中很常見，顯然它們都是命題專家精心雕琢的結果，體現了數學的簡潔美！本文還將用傳統方法（即不建立空間直角坐標系也不用空間向量的方法）求解該題的第（II）問.

圖1

解:（I）設棱B1C1的中點是F′，作四邊形CDEF′.由CD,AB,A1B1,EF′平行且相等，所以四邊形CDEF′是平行四邊形，且直線B1C1交平面CDE于點F′.再由題設直線B1C1交平面CDE于點F，可得點F′,F重合，所以點F為B1C1中點.

（II）如圖2 所示，可以射線DA,DC,DD1的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系D-xyz，可設 點M(2,2a,2)(0 ≤a≤1) ，得點C(0,2,0),F(1,2,2),E(1,0,2) ，可求得=(2,2a-2,2),=(1,0,2),=(1,-2,2) ，再 求得平面MCF,ECF的一個法向量分別是m→=(2-2a,1,a-1),n→=(2,0,-1)，所以由題設可得

圖2

（II）的另解：不妨設正方體ABCDA1B1C1D1的棱長是2，A1M=a(0 ≤a＜2).如圖3所 示，過 點C1作C1H′⊥CF于H′ ，再過 點B1作B1H⊥CF于H，可得點H′在線段CF上，點H在線段CF的延長線上，過點H作HG//FE( 可 得HG//A1B1)交線段DE的延長線于G.

圖3

由點F為棱B1C1中點，可求得B1H=C1H′=.由GH⊥CF,B1H⊥CF，可得CF⊥平面CDGH.再作MT//B1H交GH于T，可得MT⊥平面CDGH.進而可得∠MHT是二面角M-CH-G即M-CF-E的一個平面角，由題設“二面角M-CF-E大小的余弦值為”可得＜2),解得a=1，所以

項目基金：本文系北京市教育學會“十三五”教育科研滾動立項課題“數學文化與高考研究”（課題編號FT2017GD003，課題負責人：甘志國）階段性研究成果之一.