深度學習函數零點問題

江蘇省張家港中等專業學校 周文國 215600

一般地，我們把函數y=f(x)的值為零的實數x稱為函數y=f(x)的零點.需要注意的是：（1）函數的零點不是點，而是一個實數，當自變量取零點時，函數值為零.（2）函數y=f(x) 的零點就是方程f(x)=0 的實數根，即為函數y=f(x)的圖象和x軸交點的橫坐標.（3）要理解和把握零點存在定理，若函數y=f(x)在區間[a,b]上的圖象是一條不間斷的曲線，且f(a)f(b)＜0，則函數y=f(x)在區間(a,b)上有零點.因此函數零點存在性定理要求具備兩個條件，一是函數在區間[a.b]上的圖象是連續不斷的一條曲線，二是需要注意f(a)f(b)＜0.

對于函數零點的常規題型是能求出函數的零點以及一元二次方程根的分布，但最典型的問題則為函數零點個數的確定和方程的根與圖象間的關系.

1 用二分法解方程

例1 函數y=f(x)為定義在R 上的減函數，且為奇函數，解方程f(x3-x-1)+f(x2-1)=0（精確到0.1）.

分析：本題直接求解可能有點難度，但是通過二分法找出函數g(x)=x3+x2-x-2的零點，則可以很快解決.

解：由題意，y=f(x) 為奇函數，因此-f(x2-1)=f(1-x2)，原方程可以化為f(x3-x-1)=-f(x2-1)，即f(x3-x-1)=f(1-x2)，又函數y=f(x)為定義在R 上的減函數，∴方程可以化為x3-x-1=1-x2，即x3+x2-x-2=0.

點評：結合二分法解方程的近似解，其關鍵是體會函數與方程的內在聯系.

2 函數零點個數的確定

例2 求函數f(x)=2x| log0.3x|-1 的零點個數.

圖1

3 已知函數零點個數求參數的取值范圍

若關于x的方程f(x)=1 存在三個零點，則實數a的取值范圍是______.

圖2

點評：數形結合的方法是解決參數a的取值范圍的重要節點.

4 函數零點范圍的確定

例4 已知函數f(x)=-log2x的零點x0∈(n,n+1)(n∈N*),則n= ____.

解：由題意可知道，要求出函數f(x)=-log2x的零點即為方程=log2x的根，可設，可在同一坐標系中作出g(x)和h(x)的圖象（如圖3），結合圖象可清晰知道x0∈(3,4) ，因此驗證由x0∈(3,4)，則n=3.

圖3

5 最值問題

例5 已知函數f(x)=x2+ax+b在區間[0,1]內存在零點，求ab的最大值.

分析：設一個零點x0，可將ab轉化為x0的一元二次函數求解.