圓錐曲線(xiàn)軸定點(diǎn)弦的一組有趣性質(zhì)

江西省共青城市國(guó)科共青城實(shí)驗(yàn)學(xué)校 姜坤崇 332020

眾所周知，圓錐曲線(xiàn)都是軸對(duì)稱(chēng)圖形.過(guò)圓錐曲線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上一定點(diǎn)引直線(xiàn)交曲線(xiàn)于兩點(diǎn)，則把以這兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線(xiàn)段稱(chēng)為曲線(xiàn)的軸定點(diǎn)弦.在對(duì)圓錐曲線(xiàn)的研究中，筆者發(fā)現(xiàn)關(guān)于圓錐曲線(xiàn)的軸定點(diǎn)弦有下面的一組有趣性質(zhì).

1 橢圓中的兩個(gè)結(jié)論

圖1

（5）由⑤式知，點(diǎn)N在L上，且由④式及⑥式知N是RS的中點(diǎn).

由于橢圓在x軸、y軸上均有兩個(gè)頂點(diǎn)，兩條對(duì)稱(chēng)軸是對(duì)稱(chēng)的，因此可以把x軸上具有的性質(zhì)類(lèi)比到y(tǒng)軸上去.

以下證明可仿照定理1 的證明進(jìn)行，不再給出.

2 結(jié)論在雙曲線(xiàn)和拋物線(xiàn)中的類(lèi)比引申

雙曲線(xiàn)與橢圓都是有心圓錐曲線(xiàn)，它們常具有共性，當(dāng)橢圓具有某種性質(zhì)時(shí)，可考慮類(lèi)比引申到雙曲線(xiàn)中去，經(jīng)過(guò)探究可得如下結(jié)論.

證明可仿照定理1 的證明進(jìn)行，限于篇幅，這里從略.

雖然拋物線(xiàn)只有一個(gè)頂點(diǎn)，但如果我們把拋物線(xiàn)看成是長(zhǎng)軸長(zhǎng)趨向于無(wú)窮大的“橢圓”，那么另一個(gè)“頂點(diǎn)”沿x軸的正方向趨向無(wú)窮遠(yuǎn)處，此時(shí)定理1 中的EP、EQ均平行于x軸，于是有下面的結(jié)論.

定理4 給定拋物線(xiàn)Γ:y2=2px(p＞0),M(m,0)(m≠0)是x軸上的一定點(diǎn)，過(guò)M引不與x軸垂直和重合的直線(xiàn)交Γ 于P(xP,yP)、Q(xQ,yQ)兩點(diǎn)，點(diǎn)P、Q在定直線(xiàn)L:x=-m上的射影分別為R(-m,yR)、S(-m,yS)，Γ 在P、Q處的切線(xiàn)分別為l1、l2且交于N(xN,yN)，則(1)yR·yS（或yP·yQ）為定值-2pm; (2)kRM·kSM=;（3）kOP·kOQ為 定 值（O為原點(diǎn)）；（4）kPQ·kMN為定值-;（5）N在L上，且N是RS的中點(diǎn)；（6）直線(xiàn)PS、QR的交點(diǎn)為O.