例析阿波羅尼斯圓的命題策略

廣東省佛山市羅定邦中學 龍 宇 528300

在近幾年的高考題、模擬題中，阿波羅尼斯圓（以下簡稱阿氏圓）越來越受到出題老師的青睞.筆者在梳理相關材料時，總結了該圓的幾種考察方式，現整理成文，以饗讀者.

1 阿氏圓的定義[1]

在平面上一點P到兩個定點的距離之比滿足=λ（λ＞0 且λ≠1），則點P的軌跡是圓，這個圓便是經典的阿波羅尼斯圓.該圓的最直接考察則是利用定義求解，此類問題的特點在于給出確定的兩個定點及相關比例.此類問題的最經典形式便是2008年江蘇卷第13題，具體題目如下：

例1 滿足條件AB=2 ，AC=的△ABC的面積的最大值是_____.

解析：如圖1，以AB的中點O為原點進行建系，則點A,B的坐標為(-1,0)，(1,0)，設點C的坐標為(x,y)代入條件AC= 2BC，化簡可得點C的軌跡方程為：(x-3)2+y2=8,即圓心為E(3,0)，r=2 2 的圓.

圖1

△ABC的面積的最大值問題轉化為點C到x軸距離的最大值問題.根據平面幾何的相關知識可知，點C到x軸距離≤CE=2 2 .對應的△ABC的面積的最大值為2 2 .

2 阿氏圓與其他圓錐曲線的結合

在阿氏圓的定義中，涉及到兩個定點與定比例.在常見的圓錐曲線中，也涉及到較多的定點與定值，這就為兩者的結合提供了理論基礎.

例2 （2019 年佛山二模第15 題）已知拋物線x2=2py（p＞0）的焦點為F，準線為l，點P(4,y0)在拋物線上，K為l與y軸的交點，且|PK|=|PF|，求y0的值.

分析：本題的關鍵在于|PK|=|PF|，而拋物線的意義則是提供兩個定點K，F.結合阿氏圓的定義即可求解.解析：由題意可得K(0,-)，F(0,)，設點P的坐標為(x,y).由題意可得點P的軌跡為x2+(y-p)2=2p2.且點P的橫坐標為4，且點P在拋物線上，聯立方程即可得p=4，則有y0==2.

3 阿氏圓的逆向考察

在阿氏圓的定義中，涉及到兩個定點、定值以及最終的軌跡圓.能否根據圓以及定值來考察兩個定點之間的關系呢？或者考察定值的范圍問題呢？

例3 （2021 年佛山高二期末試題第16題改編）如圖2，已知點A(4 7,0) ，B(0,3) ，圓O:x2+y2=4，設點P為圓O上的動點，求3PA+2PB的最小值.分析：所求式為：3PA+2PB=3(PA+PB).若其中PB可轉化為點P到另一定點的距離，則可將原問題轉化為圓上一點到兩定點的距離之和的最小值問題.本題是阿氏圓的逆向應用題，即通過點B及圓O求出另一個定點.

在上述解答過程中出現了三個方程，而僅有兩個未知數，說明該題的構造過程有一定的確定性.比如將原問題轉化為3PA+2PB=2(PA+PB) ，能否找到一點D使得PD=PA，且保證點P的軌跡為圓O呢？通過計算可知這樣的點D并不存在.

例4 （自編）已知點A(1,0)，B(2,0)以及圓O:x2+y2=1，設點P為圓O上的動點，若|PB|=λ|PA|，求λ的取值范圍.

4 阿氏圓在立體圖形中的應用

例5 如圖3，三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB=BC=2 ，BB1= 2 π ，∠ABC=90°，點M為AB的中點，點P在三棱柱內部或表面運動，且|PA|=|PM|，動點P形成的曲面將三棱柱分成兩個部分，體積分別為V1,V2（V1＜V2），求的值.

圖3

分析：本題的關鍵條件是|PA|=|PM|，結合類比平面中阿氏圓的定義，猜想動點P的軌跡是一個球.本題可通過軌跡的思想來研究形成兩部分幾何體.

解析：為了便于研究點的軌跡，結合圖形特點，以點B為原點，BA為x軸，BC為y軸，BB1為z軸建立空間直角坐標系.即可得點A，M的坐標分別為(2,0,0)，(1,0,0)，設點P的 坐 標 為 (x,y,z). 代 入 條 件|PA|=|PM|可得點P的軌跡方程為x2+y2+z2=2 ，即以點B為球心，r=的球,本文稱其為阿波羅尼斯球.且平面ACC1A1與該球相離，故可知動點P 形成的曲面將三棱柱分出一部分體積為以B 為球心以ffffc3為半徑的球的ffffc2 ，對應的體積V1=ffffc1V球B=ffffc0π.整 個 三 棱 柱 的 體 積V=2 2 π ，則有V2=V-V1=ffffbfπ ，即可得