徑向“有效勢能”的性質及其應用

鄭 金

(凌源市職教中心 遼寧 朝陽 122500)

1 歸納有效勢能的性質

對于質點在有心力作用下的曲線運動，在極坐標系中的總能量為

由于質點的角動量守恒，則L=mvθr保持不變，因此總能量為[1]

因此,可把第二項與第三項之和稱為徑向運動的“有效勢能”，記為[1]

有效勢能函數關于矢徑的一階導數等于質點在轉動參考系中受到的徑向合力.當有效勢能的一階導數為零時，質點在徑向受力為零，在平衡位置處于相對平衡狀態，此時徑向速度達到最大，則徑向動能取最大值，因此有效勢能取最小值.

有效勢能的公式、有效勢能的取值范圍、有效勢能的極值條件、有效勢能函數關于矢徑的一階導數的物理意義以及有效勢能函數在平衡點關于矢徑的二階導數的物理意義，實際都是物理學中的二級結論，若直接用來解答有關的物理問題，則可省略某些推導過程，由此起到化繁為簡的作用.

2 應用有效勢能的性質

對于質點在有心力作用下的某些物理問題，可利用有效勢能的表達式把復雜的二維運動問題轉化為一維運動問題來解決.這種方法獨特新穎，簡便快捷.下面以兩道物理競賽題為例進行分析[4].

圖1 例1題圖

(2)方法1：利用回復力求周期

若以轉動的極徑為參考系，則質點受到慣性力的大小為F′=mrω2，方向從力心沿矢徑向外.由于角動量為L=mωr2，可得慣性力大小為

圖2 粒子運動分析圖

當粒子的入射方向與半圓軌道的切線偏離一個很小的角度β時，粒子偏離徑向平衡位置的位移x很小，即x?R，可知

同理

可得

由此可知等效勁度系數為

所以,徑向運動的周期為

利用簡諧運動的對稱性可知，粒子從初始位置運動到交點P經歷的時間為半個周期，即

粒子橫向運動近似為勻速圓周運動，角速度近似為

可知P點的方位角即粒子橫向轉過的角度為

因此,對于很小的β角，粒子束可在P點準確聚焦，該位置與β無關.

點評：只有求出徑向簡諧運動的周期，才能求出橫向運動的路程所對的圓心角.為了求徑向運動周期，關鍵是選擇轉動參考系，推導質點受到徑向回復力的關系式，利用近似計算公式求出等效勁度系數.徑向運動具有對稱性，屬于簡諧運動的一部分，相繼兩次經過徑向運動平衡位置的時間恰好等于半個周期.

方法2：利用有效勢能求周期[4]

粒子只受徑向電場力的作用，對O點的力矩為零，因此粒子在運動過程中角動量守恒，即

L=mv0Rcosβ≈mv0R

關于矢徑的一階導數為

由于粒子的入射方向與半圓軌道的切線偏離一個很小的角度β，則粒子在r=R附近做簡諧運動.

有效勢能關于矢徑的二階導數為

點評：由于其他粒子的入射方向與半圓軌道的切線偏離一個很小的角度β，則粒子運動軌跡將偏離半圓軌道，那么曲線運動不是勻速轉動，角速度將發生變化，但由于粒子只受到有心力的作用，則角動量守恒，因此可利用有效勢能公式進行解答，但前提條件是徑向運動為簡諧運動，即滿足x?R，這樣，對有效勢能的一階導數才能化簡為線性力的形式.

【例2】在真空中有兩個質點的質量分別為m和M，帶電荷量分別為+q1和-q2，開始相距為l，其中質點M的初速度為零，質點m的初速度大小為v，方向垂直于二者的連線，已知兩個質點的距離存在最小值，不計萬有引力，求：(1)它們在以后運動過程中距離的最小值；(2)質點m相對于M運動的周期.

解法1：利用等效勢能和機械能守恒定律

方向由質點m指向M.

由此可見，質點m受到有心力的作用，由于初速度方向與作用力方向垂直，而且兩個質點的距離存在最小值，因此，質點m相對于質點M做橢圓運動.由于有心力為平方反比力，則力心位于橢圓軌道的一個焦點，取無窮遠處的電勢能為零，設橢圓的半長軸為a，與衛星的機械能總量表達式進行類比，可知質點m在橢圓軌道上運動的總能量為

由能量守恒定律可知

由此得

已知最大距離為r1=l，可知最小距離為

(2)由開普勒第三定律可知，橢圓運動的周期等于以半長軸為半徑的勻速圓周運動的周期，則有

可知

由此得

即

點評：在應用能量守恒定律列方程時，利用了橢圓運動的總能量公式，這樣可省略角動量守恒方程.值得注意的是，衛星做橢圓運動的機械能總量公式成立的條件是中心天體的質量比環繞天體的質量大得多，即只有在衛星的質量比地球的質量小得多的條件下，才可認為地球固定不動.但對于題中的兩個帶電質點而言，沒有給出質量相差懸殊的條件，若認為其中一個固定不動，則需對另一個質點添加慣性力.

解法2：利用徑向有效勢能的極值條件

剛開始運動時，質點的相對初速度方向與矢徑垂直，由于質點相對運動的角動量守恒，可知

L=m′vl

考慮到橢圓運動的總能量小于零，可得關于r的方程

利用一元二次方程的求根公式可知

由此得距離的最大值為r1=l，最小值為

下面求半長軸a，對系統由能量守恒定律有

可得

可知橢圓運動的周期為

(1)

已知兩個質點的最大距離為r1=l，則可直接得到最小距離r2.

對于第(2)問求周期，不能利用對有效勢能取導數的方法，因為徑向運動不是簡諧運動.或者說，若對有效勢能取導數為

則由U′eff=0可得平衡點為

來計算周期，則可得

(2)

顯然，式(2)與式(1)不相同.若令兩式相等，則可推出kq1q2=m′v2l，那么此時機械能總量為

這表明，機械能總量等于動能的負值，只有在平方反比力作用下的勻速圓周運動才滿足這個關系，而對于平方反比力作用下的橢圓運動，不可能滿足這個關系，則式(2)不成立，是一個錯誤的結果.因此,要注意特殊結論和方法的適用條件，只有簡諧運動系統，或者說徑向運動是簡諧運動，才能利用有效勢能取二階導數的方法來求等效勁度系數以及徑向運動的周期.

綜上可見，在有心力作用下的徑向“有效勢能”具有一系列特殊的性質，對于質點在有心力作用下的某些曲線運動問題，除了一般的解法，有時還可利用有效勢能的性質進行解答，不僅拓展了解題思路和方法，還可化繁為簡，顯得巧妙快捷.