利用GeoGebra軟件繪制楊氏雙縫干涉實驗光強的動態分布

李深遠

(蘇州市蘇城外國語學校 江蘇 蘇州 215000)

1 引言

GeoGebra是一個適用于所有教育階段的動態數學軟件，軟件包中匯集了幾何、代數、表格、圖形、統計和微積分等功能[1].相比其他幾何畫板軟件，GeoGebra的功能更強大，界面更友好；相比MATLAB，Mathematica等軟件，GeoGebra的學習門檻較低，且軟件安裝方便.更可貴的是GeoGebra是一個完全免費的開源軟件，官方網站社區亦有大量教育工作者無償上傳各類源文件，方便其他教師參考學習.GeoGebra可以在幾何、代數、表格等視圖窗口間完全互聯[1]，可用指令動態改變繪圖元素，這一特性給教師無論是課前準備靜態或動態GIF圖像，還是課堂上即時使用軟件演示都帶來了極大便利.

楊氏雙縫干涉實驗是高中物理的重要知識點，筆者認為人教版教材上對該實驗的闡述尚有不足：

(1)相鄰兩個明條紋的中心間距

僅在小角度近似條件下成立，但是教材上有意無意給出了各條明條紋中心間距相等的結論；

(2)教材忽視介紹干涉明條紋亮度是中央明條紋向兩邊逐漸降低[2]，學生們即使在實驗中觀察到這一現象往往也不明所以，而其他作者利用GeoGebra制作雙縫干涉演示時也沒有很好解決這一問題[3, 4].

在筆者制作的課件中將重點針對上述問題予以改進，同時在光屏與光源間繪制兩個光源的波陣面，讓學生更清晰地理解兩個相干波陣面疊加是如何產生干涉圖像的.

2 繪圖過程和說明

2.1 繪制光屏上的光強分布

本例中利用GeoGebra滑動條功能設置6個可調參數，分別為兩個干涉光源的振幅A1和A2；雙縫到光屏之間距離l；雙縫間距d；入射光波長λ和光屏上移動點p.考慮到現實中l，d，λ三者數量級差異巨大，在軟件界面中無法按真實比例還原，故本例中各參數的取值范圍主要側重于演示效果，滑動條取值范圍如表1.

表1 可調參數取值范圍

指令欄中輸入：y=0，該直線為光屏位置；

指令欄輸入：S_1=(-d/2,-l)，S_2=(d/2,-l)設置兩狹縫光源位置；

指令欄輸入：P=(p,0)，點P為光屏上移動點；

指令欄輸入：光程_1=線段(P,S_1)，光程_2=線段(P,S_2)，光程差=abs(光程_1-光程_2)，相位差=光程差/λ*2pi；

指令欄輸入：I_1=(a_1(光程_1))^2，I_2=(a_2(光程_2))^2分別得到兩個光源各自在光屏P點的光強參考值；

指令欄輸入：M=(p,I),光強分布=軌跡(M,p)即得到光強分布曲線.

另外加入文本，箭頭向量等元素完善課件.

圖1中可調節屏幕左側“光屏位置”滑動條或鼠標直接拖拽形狀為“×”的動點調節該點在光屏的位置，同時文本會即時顯示該點對應的光程差和相位差.例如：圖1上半部分當拖拽“×”點所處位置的光程差為半波長時，相位差為180°，光強曲線上體現相消干涉；圖1下半部分當拖拽“×”點所處位置的光程差為一倍波長時，相位差為360°，光強曲線上體現相長干涉.

圖1 演示波強與光程差和相位差的關系

2.2 在干涉區域繪制波陣面

在雙縫干涉實驗中，光源在狹縫處發生衍射，狹縫和光屏間發生干涉，但在教學中往往只關注光屏處的條紋變化，學生往往對狹縫和光屏間的物理圖像不甚了了[5]，對干涉是如何在光屏產生明暗條紋理解不清晰，故筆者利用GeoGebra中“序列”命令在干涉區繪制兩個光源的波陣面來解決此問題.

指令欄輸入：Wavefront_1=序列(圓周(S_1, i), i, 0, 100, λ)，Wavefront_2=序列(圓周(S_2, i), i, 0, 100, λ)分別繪制兩個光源波陣面；

指令欄輸入：y < y(S_2)||y>0繪制用作遮蔽其他區域波陣面的不等式；

屬性窗口高級選項內調節所有顯示對象的圖層，保證波陣面所在圖層序號<不等式所在圖層序號<其他顯示對象所在圖層序號.

圖2中，兩個光源波陣面在干涉區疊加，產生了明暗交替的區域，對應的在光屏上產生明條紋和暗條紋，這里需要對學生詳細解釋：通常波陣面代表波峰位置，圖上波峰疊加處“留白”較多，故產生明區域，相應的發生相長干涉光屏上產生明條紋；反之波峰交替出現的區域“留白”較少產生暗區域，發生相消干涉光屏產生暗條紋.

圖2 在干涉區域繪制波陣面疊加的效果

2.3 為波陣面和光強分布曲線添加顏色

GeoGebra之所以處處強調“動態”，是因為在軟件中不光圖像的形狀可以隨調節滑動條變化而變化，甚至顏色也可以隨之變化.目前調節波長λ滑動條，學生只能觀察到光強分布和波陣面的變化，尚有不夠直觀之嫌，故筆者設法設置了讓圖中光源、波陣面、光強分布曲線等顯示對象的顏色不再顯示單一顏色，而是跟隨波長取值不同而顯示不同顏色.

GeoGebra提供了3種動態顏色模型：RGB，HSV和HSL，這里筆者選用HSV模型設置顯示對象顏色，本例中需要實現波長參數在[0.5,1.5]范圍內調節時，顯示對象顏色從波長較短的紫色向波長較長的紅色變化.HSV模型有3個參數：色調(H)，飽和度(S)和明度(V)，色調用角度度量，紅色為0～10°，紫色為250°～310°，由于人眼不易分辨紫色和品紅色，故紫色取中值280°.因GeoGebra中HSV色調欄的取值范圍是[0,1)，需要把角度值280°換算為小數0.78.前文設置的自變量波長λ取值范圍為[0.5,1.5],因變量色調H取值范圍為[0, 0.78],兩者的線性關系為

H=-0.77λ+1.16λ∈[0.5,1.5]

在波陣面和光強曲線等顯示對象的屬性欄中設置動態顏色為HSV，統一輸入色調=-0.77λ+ 1.16，飽和度=1，數值=1.

圖3中移動波長滑動條，波陣面和光強曲線都隨之改變顏色，學生可以直觀接受其他條件不變時，波長更短的單色光相比波長更長的單色光明條紋數量更多、條紋間距更窄這一結論.

圖3 改變光源波長同時改變顯示顏色的效果(上紅下紫)

3 總結

本課件制作基于楊氏雙縫干涉的原理，利用GeoGebra強大的作圖功能，避免了復雜的計算即可演示雙縫干涉實驗中光強、波長、縫距和屏距如何影響干涉條紋亮度和間距.教師可在課堂上直接啟動軟件演示，也可在軟件中導出GIF圖像用于講解(ggb和gif文件下載鏈接：https://www.jianguoyun.com/p/DTrLF28Q9bH3BRjCqZ8E，已經固定顯示比例適配16∶9屏幕).教師也可考慮引導學生嘗試獨立制作課件，更有利于學生加深對雙縫干涉的理解.筆者認為有條件的學校可開設GeoGebra軟件的選修課，有助于培養學生自主探究的學習能力.