從動態電路探討電學元件U-I曲線兩種斜率的使用

趙文浩 張佳子 楊榮富

(寧強縣天津高級中學 陜西 漢中 724400)

1 提出問題

應用函數圖像求解物理問題是高考對“應用數學知識求解物理問題能力”考查的基本形式之一[1].高考試題中利用電學元件U-I曲線斜率求解電阻便是這種背景下常見的一類題型，它也是日常教學過程中一個比較具有爭議的難點問題，因此,對于這個問題的討論具有十分重要的價值.

【典例1】如圖1所示電路中，電源的電動勢為E，內阻為r，R1為滑動變阻器，R2為定值電阻，電流表和電壓表均為理想電表，閉合開關S，當滑動變阻器R1的滑動觸頭P向右滑動時，電表的示數都發生變化，電流表示數變化量的大小為ΔI、電壓表,和示數變化量的大小分別為ΔU,ΔU1和ΔU2，下列說法正確的是( )

圖1 典例1動態電路圖

本題說法正確的是選項C.其理由是根據閉合電路歐姆定律得

U1=E-I(R2+r)

問題1：電學元件U-I曲線的兩種斜率分別表示什么物理含義？

問題2：線性元件和非線性元件的電阻分別具有什么性質？

問題3：在動態電路中如何對線性元件和非線性元件的電阻實現求解？

在習題處理時，若是直接根據答案上的方法求解，雖然能夠對本題做出正確選擇，但是學生卻無法理解這樣求解的原因，增加了問題的理解難度，并且對學生提出的這3個問題也難以回答.基于這個原因下文從函數圖像斜率和電路兩個角度對學生提出的3點疑問展開分析研究.

2 函數圖像斜率的數學分析

圖2 函數圖像斜率

3 電學元件U-I曲線兩種斜率的物理分析

表示該狀態下電學元件在電路電流發生微小變化ΔI時電壓U的瞬時變化快慢或者變化趨勢，由電學元件的實際工作點決定[7]，稱為電學元件在該工作狀態下的動態(交流)電阻[6].

對于問題3的分析，如圖3所示，在線性元件的U-I曲線上任意一點A與坐標原點O的割線斜率和A點的切線斜率相等，即線性原件在A點的靜態電阻和動態電阻相等，因此對線性元件在A點的靜態電阻和動態電阻既可以直接利用U-I曲線的割線斜率(或部分電路歐姆定律)求解，也可利用U-I曲線A點切線斜率求解.

圖3 線性元件U-I曲線

如圖4所示，在非線性原件的U-I曲線上任意一點A與坐標原點的割線斜率和A點的切線斜率不相等，即非線性原件在A點的靜態電阻和動態電阻不相等，且二者均由非線性原件的實際工作點決定，因此對于非線性元件在A點的靜態電阻可利用割線斜率(或部分電路歐姆定律)求解，其動態電阻可以直接利用曲線切線斜率求解也可利用閉合電路歐姆定律確定電學元件的工作點后再進行求解.

圖4 非線性元件U-I曲線

4 應用U-I曲線斜率討論上述典例問題

在應用U-I曲線斜率求解電阻問題時，由于線性元件和非線性元件電阻的不同特點.首先要明確求解電阻是線性元件還是非線性元件，以及所求解電阻是靜態電阻還是動態電阻，然后再根據相應電阻的處理方法進行求解.下文應用U-I曲線斜率對上述典例1的求解過程進行分析討論.

E=U1+I(R2+r)

則

保持不變.電壓表測量外電路電壓，外電路整體為非線性元件，同理可得保持不變.電壓表測量定值電阻R2兩端的電壓，其中表示線性元件R2的動態電阻，其動態電阻和靜態電阻相等，根據部分電路歐姆定律得U2=IR2，則保持不變，故選項C正確.

5 例析U-I曲線斜率求解電阻的應用

【典例2】如圖5所示,電源電動勢E,內電阻恒為r,R是定值電阻,熱敏電阻RT的阻值隨溫度降低而增大,C是平行板電容器.閉合開關S,帶電液滴剛好靜止在C內.在溫度降低過程中,分別用ΔI,ΔU1,ΔU2和ΔU3表示電流表、電壓表、電壓表和電壓表示數變化量的絕對值.關于該電路工作狀態的變化,下列說法正確的是( )

圖5 典例2動態電路圖

C.帶電液滴一定向下加速運動

D.電源的工作效率一定變大

解析:電壓表測量電阻R兩端電壓，表示線性原件R的動態電阻，根據部分電路歐姆定律得U1=IR，則即保持不變；電壓表測量熱敏電阻RT兩端電壓，表示非線性原件RT的動態電阻，根據閉合電路歐姆定律確定元件工作點得

得熱敏電阻RT兩端電壓U2增大，電容器C中場強增大，電場力增大，帶電液滴向上加速運動，選項C錯誤；電源的工作效率

溫度降低，熱敏電阻RT增大，電源的工作效率η增大，選項D正確.

【典例3】硅光電池是一種太陽能電池，具有低碳環保的優點．如圖6所示，圖線a是該電池在某光照強度下路端電壓U和電流I的關系圖像，圖線b是某電阻R的U-I圖像．當它們組成閉合回路時，下列說法正確的是( )

圖6 典例3硅電池U-I曲線

C.硅光電池內阻消耗的熱功率Pr=U2I2-U1I1

解析:硅光電池是非線性元件，其靜態電阻由硅光電池和電阻R組成閉合回路時二者U-I曲線的交點(工作點)決定，根據U-I曲線的割線斜率求得

或者根據閉合電路歐姆定律確定工作點得

U2=U1+I1r

Pr=P總-P出=U2I1-U1I1

選項C錯誤；硅光電池效率

選項D正確.

通過以上典例2和典例3對運用U-I曲線割線、切線斜率求解電阻過程的詳細分析，在培養學生掌握應用U-I曲線斜率求解電阻方法的同時，也有助于學生對U-I曲線兩種斜率物理含義的深入理解.

6 結束語

文章對習題教學中學生提出的3點疑問層層遞進展開分析，從數學角度給出函數圖像割線斜率和切線斜率的數學意義，并將其推廣到動態電路電學元件的伏安特性曲線中，以此為基礎確定出電學元件U-I曲線中割線和切線斜率的物理含義，彌補了目前教學過程中部分教師和學生對U-I曲線斜率認識的不足，對整個教學效果的提升也有促進作用.通過案例分析如何運用U-I曲線割線和切線斜率對電阻問題實現求解，在培養學生如何利用圖像斜率求解物理問題的同時，也進一步加深了學生對U-I曲線兩種斜率的理解.