量綱分析在熱力學統計物理中的教學應用*

藍善權

(嶺南師范學院物理科學與技術學院 廣東 湛江 524048)

1 引言

每個物理量都有屬性，比如：聲速、光速、車速，它們具有相同的屬性，即速度；長度、時間、速度、溫度，它們具有不同的屬性.物理量的屬性可用“量綱”來表征，但并非每一個物理量都需要指定一個量綱.目前發現7個基本物理量(“基本量”)，分別是長度、質量、時間、溫度、物質的量、電流和發光強度，所有其他物理量(“導出量”)都可以由這7個基本物理量導出.例如，壓強p的量綱可以寫成[p]=ML-1T-2，其中M表示質量量綱，L表示長度量綱，T表示時間量綱，數字表示量綱指數.基于齊次定理和Π定理，物理問題中物理量之間關系的分析稱為量綱分析[1～6].下面通過3個例子來闡述它在熱力學統計物理中的具體應用[7].

2 量綱分析在熱力學統計物理中的運用舉例

熱力學統計物理中涉及的基本物理量(量綱)是溫度T(Θ)、物質的量ν(N)、時間t(T)、長度L(L)、質量m(M)、電流I(I).采用量綱分析法求解問題的思路是：分析找到可能相關的物理量；寫出無量綱量等式；列出量綱表；求解量綱指數方程組[8].

2.1 理想氣體的碰壁數 即單位時間內碰到單位面積器壁上的分子數

分析：理想氣體由理想氣體方程描述，碰壁數Γ必然由理想氣體方程中的各個物理量所決定.因為碰壁數是強度量，所以涉及的物理量不可能是廣延量.從而總結得到可能相關的并且獨立的物理量有分子數密度n、分子質量m、玻爾茲曼常數k、溫度T.

解：寫出無量綱量

Π=n-αm-βk-γT-δΓ

(1)

把涉及的5個物理量的量綱分別列出來，如表1所示.

表1 碰壁數涉及的5個物理量量綱

對無量綱量求量綱，帶入上表所示物理量的量綱，得到量綱關系式

dimΠ=[n]-α[m]-β[k]-γ[T]-δ[Γ]=L3α-2γ-2M-β-γT2γ-1Θγ-δ=1

(2)

由上式可以求得量綱指數的方程組

(3)

解得

(4)

(5)

對于該問題，還可以選擇其他獨立物理量的組合，比如，用壓強p替換掉玻爾茲曼常數k，將得到

等等.但不管選用哪一組獨立物理量，最終結果都是等價的.

2.2 光子氣體的物態方程

分析：錢伯初先生用量綱分析法求出了平衡態的光子氣體的內能密度與溫度的關系[3].本文采用同樣的方法來求光子氣體的物態方程.平衡態下，描述光子氣體的宏觀物理量只有溫度T、壓強p和體積V，而沒有光子的個數，因為光子數是不守恒的.所求物態方程就是關于上述宏觀物理量之間的關系的方程p=p(T,V).又因為壓強是強度量，與廣延量無關，所以光子氣體的物態方程可以寫成p=p(T).此外，光子是電磁波，可能與光速c有關；光子氣體是量子系統，可能與普朗克常數有關；涉及熱平衡，還可能與玻爾茲曼常數k有關.

解：寫出無量綱量

Π=T-αc-β?-γk-δp

(6)

把涉及的5個物理量的量綱分別列出來，如表2所示.

表2 光子氣體的物態方程涉及的5個物理量量綱

對無量綱量求量綱，代入表2所示物理量的量綱，得到量綱關系式

dimΠ=[T]-α[c]-β[?]-γ[k]-δ[p]=Θ-α+δL-β-2γ-2δ-1Tβ+γ+2δ-2M-γ-δ+1=1

(7)

由上式可以求得量綱指數的方程組

(8)

解得

(9)

從而得到Π=T-4c3?3k-4p，即

(10)

2.3 零溫時自由電子氣體的簡并壓

解：寫出無量綱量

Π=n-αm-βq-γ?-δk-σp

(11)

把涉及的6個物理量的量綱分別列出來，如表3所示.

表3 簡并壓涉及的6個物理量量綱

對無量綱量求量綱，代入表3所示物理量的量綱，得到量綱關系式

dimΠ=[n]-α[m]-β[q]-γ[?]-δ[k]-σ[p]=

L3α-2δ-2σ-1M-β-δ-σ+1I-γTγ+δ+2σ-2Θσ=1

(12)

由上式可以求得量綱指數的方程組

(13)

解得

(14)

(15)

3 總結與討論

本文例舉了量綱分析在熱力學統計物理中的應用.由3個實例可知，量綱分析簡單而實用，它基于物理量的屬性來尋找涉及某個問題的物理量之間的關系，有助于對問題本質的理解、構建清晰的物理圖像.就算是把定理公式給忘記了，也可以通過量綱分析推導出來.量綱分析除了在教學中有應用，在科學研究中的應用更廣泛[9～11].但是量綱分析的缺點也很明顯，即它是一種半定量的方法，無法得到待定參數Π.該參數需要由實驗或其他方法得到.