BOOST峰值電流型PFC變換器的穩定性分析

王晨皓 陳艷峰

摘 要：以BOOST峰值電流型PFC變換器為研究對象，采用數值仿真法和解析建模法對其進行建模及穩定性分析。首先通過MATLAB/Simulink應用軟件建立BOOST峰值電流型PFC變換器的電路模型，通過仿真研究其分岔現象，然后建立離散映射方程，并由雅可比矩陣法來分析分岔現象，從而得出各參數的穩定邊界。其結果可為BOOST峰值電流型PFC變換器的設計、運行提供依據。

關鍵詞：功率因數校正;穩定性分析;分岔現象;頻閃映射;雅可比矩陣

中圖分類號：TM46? ? 文獻標志碼：A? ? 文章編號：1671-0797（2022）10-0008-04

DOI：10.19514/j.cnki.cn32-1628/tm.2022.10.003

0? ? 引言

BOOST峰值電流型PFC變換器是一種有源功率因數校正技術，能提高開關電源功率因數，節省能源，提高電能質量。該變換器由電感、電容、開關管等元件組成，是時變非線性系統，具有很強的非線性，存在分岔現象[1]，當電路參數變動經過分岔點時，系統的定性性態（如平衡狀態或周期運動的穩定性等）會發生突然變化，引發不穩定現象。在設計開發此變換器時，為了抑制分岔現象，保證電路能在開關頻率下穩定運行，有必要開展對此類電路的分岔研究，了解電路各參數的穩定邊界及不穩定現象，為設計開發提供理論依據。BOOST峰值電流型PFC變換器存在慢時標分岔及快時標分岔兩種分岔現象，本文僅研究其快時標分岔。

本文以BOOST峰值電流型PFC變換器為研究對象，采用數值仿真法和解析建模法對其進行建模及穩定性分析。首先通過MATLAB/Simulink應用軟件建立電路模型，通過仿真研究分岔現象，然后建立離散映射方程，并由雅可比矩陣法來分析分岔現象，從而得出各參數的穩定邊界。

1? ? 采用數值仿真法分析BOOST峰值電流型PFC變換器的分岔現象

1.1? ? BOOST峰值電流型PFC變換器建模

BOOST峰值電流型PFC變換器是一個時變網絡，閉環工作時是時變非線性的。采用MATLAB軟件的Simulink和SimPowerSystems工具箱進行數值仿真建模，搭建出了對應的Simulink仿真模型[2]。如圖1所示，參數選取如下：在主電路中，輸入電壓頻率f=50 Hz，電感L=2 mH，電容C=470 μF;在控制電路中，開關周期Ts=

20 μs，k1=0.08，k2=1/60，TF=4 ms，Tc=1/70 s。

1.2? ? 分岔現象仿真及分析

為詳細研究上述模型分岔現象，選擇電阻、固定輸入電壓、參考電壓其中之一作為唯一變量，研究其對應的分岔現象，即假定三個物理量電阻R、輸入電壓ui、參考電壓Vref中的兩個量不變，只有另一個發生變化時出現分岔現象。

1.2.1? ? 電阻值變化時的分岔現象

固定ui=110 V，Vref=180 V，改變負載電阻進行仿真。當R=85 Ω時，出現分岔現象，iL的波形如圖2所示。負載電阻值越大，分岔越嚴重，由周期1狀態變為周期2狀態（倍周期分岔現象），而且隨著分岔的加劇，分岔點由兩端向中間靠近，分岔的范圍擴大。

1.2.2? ? 參考電壓Vref變化時的分岔現象

固定ui=130 V，R=95 Ω，改變參考電壓進行仿真。當Vref=260 V時，出現倍周期分岔現象，電路工作在周期2狀態。iL的波形如圖3所示，減小Vref，發現分岔更加嚴重。

1.2.3? ? 輸入電壓ui變化時的分岔現象

固定Vref=380 V，R=100 Ω，改變輸入電壓ui，對電路模型進行仿真。當ui=180 V時，存在倍周期分岔現象，電路工作在周期2狀態。

iL的波形如圖4所示，可見，在t=0.592 s之前和t=0.599 s之后，電感電流存在明顯的倍周期分岔現象。進一步增加ui，發現分岔更加嚴重，電感電流存在明顯的倍周期分岔現象。

1.2.4? ? 小結

仿真發現，BOOST峰值電流型PFC變換器存在快時標分岔現象，且分岔現象與電路的參數有關。減小負載電阻、降低輸入電壓或提高電壓參考基準值，將有利于電路趨于穩定。

2? ? 采用解析建模法分析BOOST峰值電流型PFC變換器的分岔現象

目前的研究主要采用離散迭代非線性映射、分段光滑狀態方程法、平均分段光滑狀態方程法3種建模方法建立非線性動力學模型來分析分岔現象[3]。為進一步分析論證BOOST峰值電流型PFC變換器快時標下的分岔現象，對變換電路進行數學建模，求出其頻閃映射，再通過雅可比矩陣來分析快時標下的分岔現象。

2.1? ? BOOST峰值電流型PFC變換器的頻閃映射

以電路的開關頻率為采樣頻率，在每個開關周期的起點對變換器狀態變量進行采樣，建立其頻閃映射數學模型[4-5]。令初始時刻為nTs，此時電感電流iL為iL（n），電容電壓uc為uc（n），輸入電壓ui為ui（n）。當開關頻率fs足夠高時，則可以認為在每個開關周期Ts內的輸入電壓ui為定值v。ui（n）=v（n）。

當ton>Ts時，在整個開關周期功率開關管都導通。

iL（n+1）=iL（n）+■·v（n）·Ts? ? ? ? ? ? ? ? ? （1）

uc（n+1）=uc（n）·e■? ? ?（2）

當tonTs時，在nTs—nTs+ton，功率開關管導通。

iL（nTs+ton）=iref =iL（n）+■·v（n）·ton? ? ? ? ? ?（3）

uc（nTs+ton）=uc（n）·e■? ? ? ? ? （4）

在nTs+ton—（n+1）Ts，功率開關管截止。

iL（n+1）=e■·[（p1q1+p2q2）·cos γ·tb+

（p1q2-p2q1）·sin γ·tb]+■? ? ? （5）

uc（n+1）=e■·（q1·cos γ·tb+q2·sin γ·tb）+v（n）? （6）

式中：α=-■;γ=■;p1=■;p2=■;

q1=uc（n）·e■-v（n）;q2=■。

當ton

e■·[（p1q1+p2q2）·cos γ·tf+

（p1q2-p2q1）·sin γ·tf]+■=0? ? ? ? ? ? ?（7）

由此可求出tf。

在nTs+ton+tf—（n+1）Ts：

iL（n+1）=0? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （8）

uc（n+1）=uc（n）·e■? ? ? ? ? ? ? ?（9）

通過定出狀態變量的初始值，可求出下一周期的解，如此不斷反復，最終得到所需精度的頻閃映射的采樣點的解。

2.2? ? 離散映射的雅可比矩陣

雅可比矩陣是研究變換器非線性動力系統中局部分岔問題的一種解析法[4-5]。對于離散映射Xn+1=f（Xn，μ），在不動點xe處的雅可比矩陣定義為JF=■■。通過推算，BOOST峰值電流型PFC變換器的頻閃映射雅可比矩陣為：

JF=■? ■ ■? ■■? ? ? ? ? ? ?（10）

通過雅可比矩陣特征值軌跡可以較精確地計算出倍周期分岔點位置，根據映射的不動點方程穩定性定理，不動點的穩定性由其雅可比矩陣的特征值λ決定，當特征值λ=-1時，參數對應的值即變換器由周期1到周期2的分岔點，從而得出快時標下不穩定區域邊界。因此，通過這種方法定位變換器的分岔點，就能得到電路可采用的參數范圍，確保變換器穩定地工作在周期1區域。

2.3? ? 分岔現象仿真及分析

2.3.1? ? BOOST峰值電流型PFC變換器的分岔現象

根據上述變換器的頻閃映射，開展對快時標下的分岔仿真。當ui=220 V，R=200 Ω，Vref=380 V時，電感電流與輸出電壓的相圖如圖5所示，電感電流的采樣值如圖6所示。出現倍周期分岔現象，電路工作在周期2狀態，可明顯看出存在快時標下的分岔現象，且由于系統拓撲的變化，電路在模態1、2和模態3之間頻繁切換，致使非線性現象變得更為復雜。電路存在倍周期分岔及其他分岔現象，甚至發生混沌現象。

2.3.2? ? BOOST峰值電流型PFC變換器的穩定邊界

設定輸入電壓頻率f=50 Hz，儲能電感L=2 mH，電容C=470 μF，開關周期Ts=20 μs。通過上述頻閃映射的雅可比矩陣表達式進行計算，得到特征值，從而得到系統的分岔點，最后形成不同電路參數下的穩定性邊界。當ui=110 V時，Vref和R各分岔點形成的穩定性邊界如圖7所示;當R=80 Ω時，Vref和ui各分岔點形成的穩定性邊界如圖8所示。計算結果形成準確的穩定邊界，這樣可確保設計BOOST峰值電流型PFC變換器時，準確選擇電路參數，避免變換器發生分岔，進入不穩定區域。3? ? 結語

本文采用MATLAB對變換器進行建模及仿真，分析快時標下的分岔現象。接著采用頻閃映射法和雅可比矩陣法對電路進行數學建模，并在仿真中進一步分析論證分岔現象，同時得到不同電路參數下的穩定性邊界，為BOOST峰值電流型功率因數校正電路的設計、運行提供了依據。

[參考文獻]

[1] 陸啟韶.分岔與奇異性[M].上海：上海科技教育出版社，1995.

[2] DRANGA O，TSE C K，IU H H C，et al.Bifurcation Behavior of a Power-Factor-Correction Boost Converter[J].International Journal of Bifurc-ation and Chaos，2003，13（10）：3107-3114.

[3] 羅曉曙，汪秉宏，鄒艷麗.DC-DC開關功率變換器的非線性動力學行為研究[J].力學進展，2003（4）：471-482.

[4] 馬西奎，劉偉增，張浩.快時標意義下Boost PFC變換器中的分岔與混沌現象分析[J].中國電機工程學報，2005，25（5）：61-67.

[5] WU X Q，TSE C K，DRANGA O，et al.Fast-Scale Instability of Single-Stage Power-Factor-Correction Power Supplies[J].IEEE Transactions on Circuits and Systems I：Regular Papers，2006，53（1）：204-213.

收稿日期：2022-02-28

作者簡介：王晨皓（1971—），女，河北澧縣人，碩士，講師，從事電力系統控制及通信電源等的教學和研究工作。

陳艷峰（1970—），女，湖南永興人，博士，教授，從事非線性電路系統理論與功率電子學的研究工作。