數學理科試題（適用于全國卷）

一、選擇題

1.已知i為虛數單位，復數z滿足：z（1+i）=4-3i，則z-=（）.

A.522B.52C.52D.25

解題思路由題意可得z=4-3i1+i，則z-=z=4-3i1+i=52=522，故選A.

2.已知集合A=x|12x<8，B={-2，-1，0，1，2}，則A∪B=（ ）.

A. （-2，+∞）B. （-∞，2）C. AD. B

解題思路因為A=（-3，+∞），所以A∪B=A，故選C.

3.若函數y=（a2-2a-2）xa2-3a-4為冪函數，且圖象與兩坐標軸無交點，則實數m的值為（）.

A.3B.3或1C.3或-1D.-1

解題思路由于函數y=（a2-2a-2）xa2-3a-4為冪函數，所以a2-2a-2=1.又冪函數圖象與兩坐標軸無交點，所以a2-3a-4≤0，解得a=3或a=-1，故選C.

4.為貫徹落實黨中央關于黨史學習教育的總體部署，今年4月，教育部在中小學部署開展了“從小學黨史 永遠跟黨走”主題教育活動.某校開展了學黨史讀書活動，學生積極參加，現對該校學生每周學黨史讀書時間進行統計，統計結果繪制成頻率分布直方圖，如圖1，則該校學生每周學黨史讀書的平均時間（單位：小時）為（）.

A.11.6B.11.20C.11.25D.11.30

解題思路由題意得頻率之和為1，即（0.1+a+0.4+0.25+0.1）×1=1，解得a=0.15，則學黨史讀書時間的平均數為9.5×0.10+10.5×0.15+11.5×0.40+12.5×0.25+13.5×0.10=11.6（小時），故選A.

5.若tanα+π3=-47，則sin2α-π3=（）.

A.-5665B.5665C.1665D.-1665

解題思路依題意，得

sin2α-π3=sin2α+π3-π

=-sin2α+π3

= -2sin（α+π3）cos（α+π3）

=-2sin（α+π3）cos（α+π3）sin2（α+π3）+cos2（α+π3）

=-2tan（α+π3）tan2（α+π3）+1

=-2×（-47）（-47）2+1=5665，

故選B.

6.已知函數f（x）=ln（x+2）+m的圖象不經過第二象限，則m的取值范圍為（）.

A. m<-ln2B. m≤-ln2

C. m>ln2D. m≥ln2

解題思路由對數函數的圖象和性質，可知函數f（x）在（-2，+∞）單調遞增，若函數圖象不經過第二象限，則ln0+2+m≤0，解得m≤-ln2.

故選B.

7.已知等比數列an中，a1=1，a9=64，則a5=（）.

A.8B.-8C.10D.±8

解題思路設等比數列an的公比為q，依題意，得a25=a1a9=64.又a5=a1q4>0，故a5=8.

故選A.

8.已知拋物線C：y2=4x的焦點為F，過點

A（3，0）且斜率為k的直線l與C交于M，N兩點，若ΔFMN的重心G的縱坐標為43，則點G的橫坐標為（）.

A.103B.113C.4D.133

解題思路設Mx1，y1，Nx2，y2，由ΔAMN的重心G的縱坐標為43及F（1，0），得y1+y2=4.由y21=4x1，y22=4x2，得y21-y22=4x1-4x2，即k=y1-y2x1-x2=4y1+y2=1.則l：y=x-3.所以x1+x2=y1+y2+6=10.故點G的橫坐標為113，故選B.

9.函數fx=Acosωx+φ（A<0，ω>0，-π2<φ<0），其部分圖象如圖2所示，下列說法正確的有（）.

①ω=2;②φ=-π3;

③x=π12是函數fx的極值點;

④函數fx在區間-5π12，π12上單調遞增;

⑤函數y=fx-π12關于原點對稱.

A.①②④B.②③④C.①②⑤D.③④⑤

解題思路由圖2知A=-1，且函數fx的周期為T=2（11π12-5π12）=π，所以ω=2，故①正確;

因為fx=-cos2x+φ，

所以f5π12=

-cos5π6+φ=0.

則5π6+φ=kπ+π2（k∈Z）.

又-π2<φ<0，故k=0，φ=-π3，故②正確;

由fx=-cos2x-π3，

知fπ12=-cosπ6，

顯然x=π12不是函數fx的極值點，故③錯誤;

由2kπ≤2x-π3≤2kπ+π，

得kπ+π6≤x≤kπ+2π3.

所以fx的單調遞增區間為[kπ+π6，kπ+2π3]，

單調遞減區間為[kπ-π3，kπ+π6].

所以fx在-5π12，-π3上單調遞增，

在-π3，π12上單調遞減，

所以fx在-5π12，π12上不單調，故④錯誤.

函數y=fx-π12=-sin2x為奇函數，圖象關于原點對稱，故⑤正確.故選C.

10.P為雙曲線C：x29-y216=1（a>0，b>0）上一點，過點P向C的兩條漸近線作垂線，垂足分別為P1，P2，則PP1·PP2=（）.

A.144625B.100825C.14425D.1008625

解題思路1由題知兩條漸近線方程為4x±3y=0，設P（x0，y0），

則lPP1：3x+4y-3x0-4y0=0，

lPP2：3x-4y-3x0+4y0=0.

聯立3x+4y-3x0-4y0=0，4x-3y=0，

得P1（9x0+12y025，12x0+16y025），

同理得P2（9x0-12y025，-12x0+16y025）.

所以PP1·PP2=（-16x0+12y025，12x0-9y025）·（-16x0-12y025，-12x0-9y025）

=（-16x0）2-（12y0）2252+-（12x0）2+（-9y0）2252

=7（16x20-9y20）252

=7×16×9252=1008625.

解法2由題知兩條漸近線方程分別為l1：4x-3y=0，l2：4x+3y=0，設P（x0，y0），漸近線l1的傾斜角為θ，則16x20-9y20=144，tanθ=43.

則PP1=4x0-3y05，PP2=4x0+3y05，

cos<PP1，PP2>=cos∠P1PP2=cos∠P1OP2

=cos（π-2θ）=sin2θ-cos2θsin2θ+cos2θ=tan2θ-1tan2θ+1=725.

所以PP1·PP2=PP1·PP2cos<PP1，PP2>=4x0-3y05·4x0+3y05×725

=1008625.

故選D.

11.由0，1，2，3，4，5組成的沒有重復數字的五位數，從中任意抽取一個，則其恰好為“前3個數字保持遞增，后3個數字保持遞減”（如五位數“12543”，前3個數字“125”保持遞增，后3個數字“543”保持遞減）的概率是（）.

A.7200B.7600C.7120D.150

解題思路由0，1，2，3，4，5組成的沒有重復數字的五位數共C15×A45=600個，前3個數字保持遞增，后3個數字保持遞減，說明中間數字必為5或4.

（1）若中間數字為5，且所選五個數字中沒有0，在1，2，3，4四個數字中任取兩個數字，按照遞增順序放置于首兩位，剩余兩個數字按照遞減順序放置于末兩位，有C24×1=6個.

（2）若中間數字為5，且所選五個數字中有0，則0一定位于最后一位，從1，2，3，4四個數字中任選一個放置于第四位，余下三個數字任選兩個按照遞增順序放置于首兩位，有C14×C23=12個.

（3）若中間數字為4，則所選五個數字中沒有5，0一定位于最后一位，從1，2，3三個數字中任選一個放置于第四位，余下二個數字按照遞增順序放置于首兩位，有C13×1=3個.

因此“前3個數字保持遞增，后3個數字保持遞減”的五位數有21個，所以所求的概率P=21600=7200，故選A.

12.已知函數f（x）=a-1-lna+x1-x，g（x）與f（x）互為反函數，且g（x）為奇函數，則不等式f（x）<f（a2）的解集為（）.

A.-1，12B.-∞，12

C.-1，1D.-1，+∞

解題思路令y=a-1-lna+x1-x，

得x=1-a+1ea-1-y+1.

由g（x）與f（x）互為反函數，得

g（x）= 1-a+1ea-1-x+1.

又g（x）為奇函數，所以g0=1-a+1ea-1+1=0.

即ea-1=a，構造函數φ（x）=ex-1-x，求導得φ′（x）=ex-1-1，

當x<1時φ′（x）<0，當x>1時φ′（x）>0，

所以φ（x）在（-∞，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增.

所以φ（x）≥φ（1）=0，故當且僅當x=1時φ（x）=0.所以a=1，f（x）=-ln1+x1-x=ln1-x1+x=

ln（-1+21+x），則f（x）在（-1，1）上單調遞減.

所以不等式f（x）<f（a2）等價于-1<x<12，解集為-1，12，故選A.

二、填空題

13.若（x+1x）3（x+a）5的展開式中各項系數的和為256，則該展開式中含x2項的系數為.

解題思路取x=1，則（x+1x）3（x+a）5的展開式中各項系數的和為23×a+15=256，

解得a=1，則（x+1x）3（x+a）5=（x+1x）3（x+1）5.x+1x3的展開式：Tm+1=Cm3x3-mx-m=Cm3x3-2m;x+15的展開式Tn+1=Cn5x5-n.

取m=1，n=4，得到C13x1·C45x1=15x2;

取m=2，n=2，得到C23x-1·C25x3=30x2;

取m=3，n=0，得到C33x-3·C05x5=x2.

綜上該展開式中含x2項的系數為46.

14.已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且b2>a2+c2，sinB=sinC.設△ABC的面積為S，若4bS=ab2+c2-a2，則A=.

解題思路由4bS=ab2+c2-a2，得2abcsinB=2abccosA，即sinB=cosA.

由b2>a2+c2，得cosB<0，即B為鈍角.

所以B=A+π2，C=π2-2A.

又sinB=sinC，所以cosA=cos2A.

即sinA=12，又A為銳角，所以A=π6.

15.因新冠肺炎疫情防控工作需要，某高中學校計劃將學生的周末輔導改至線上進行，現需要安排文、理科教師x，y名，考慮到學生對輔導的需求等因素，x和y滿足條件2x-y≥5，x-y≤2，x≤6，則該校至少需要安排教師人.

解題思路設目標函數為z=x+y，得y=-x+z，畫出可行域如圖3，則題意轉化為在可行域內任意取x，y且為整數，使得目標函數的斜率為定值-1，截距最小時的直線為過 2x-y=5x-y=2的交點B3，1，此時z取最小值，即zmin=3+1=4.

16.已知ABCD中，AB=13，BC=25，AC=5，沿AC折疊ΔABC，使得BD=5，

則所得三棱錐B-ACD的外接球的表面積是.

解題思路易知三棱錐B-ACD的三組對棱分別相等，則該三棱錐可以理解為由正方體六個面的面對角線構成，且其外接球即為正方體外接球.設該正方體的長、寬、高分別為a，b，c，且a2+b2=13，b2+c2=25，c2+a2=5，則外接球半徑R滿足2R=a2+b2+c2，所以4R2=a2+b2+c2=12（a2+b2）+（b2+c2）+（c2+a2）=29，故外接球的表面積為4πR2=29π.

三、解答題

17.已知數列an的前n項和Sn滿足Sn=2an-1n∈N*.

（1）證明：數列an為等比數列，并求an.

（2）若各項均為正數的等差數列bn滿足b1=2，其前n項和為Tn，且數列Tn-n也為等差數列，求數列Tnann+1的前n項和Wn.

解題思路1當n=1時，得a1=1.當n>2時，Sn-1=2an-1-1，所以an=Sn-Sn-1=2an-2an-1.所以an=2an-1.所以an是以1為首項，2為公比的等比數列，所以an=2n-1.

（2）設等差數列bn的公差為d（d≥0），則T1=b1=2，T2=4+d，T3=6+3d.

因為數列Tn-n為等差數列，

所以2T2-2=T1-1+T3-3.

即22+d=1+3+3d，解得d=2.

所以Tn=n2+n.

所以Tnann+1=n2+n）2n-1n+1=n·2n-1 .

所以Wn=1·20+2·21+3·22+…+n·2n-1.

故2Wn=1·21+2·22+…+n-1·2n-1+n·2n.

兩式相減，得

-Wn=20+21+22+…+2n-1-n·2n

=2n-1-n·2n.

所以Wn=（n-1）·2n+1.

18.新冠病毒變異株奧密克戎導致歐美多國新冠病例數激增，為全球抗疫帶來新的挑戰.某市防疫部門為保障該市的防疫物資質量，聯合質檢部分對該市甲、乙兩家口罩生產企業進行檢查，分別從這兩家企業生產的某種同類口罩中隨機抽取了100個作為樣本，并以樣本的一項關鍵質量指標值為檢測依據.

已知該質量指標值對應的產品等級如下：

質量指標值＼[15，20）＼[20，25）＼[25，30）＼[30，35）＼[35，40）＼[40，45）

等級次品二等品一等品二等品三等品次品

根據質量指標值的分組，統計得到了甲企業的樣本頻率分布表和乙企業的樣本頻數分布直方圖（如圖4，其中a>0）.

質量指標值＼[15，20）＼[20，25）＼[25，30）＼[30，35）＼[35，40）＼[40，45）

頻數2184814162

（1）為確?？谡质褂谜叩姆酪甙踩裕灼髽I將所有次品口罩銷毀，并將一、二、三等品的售價分別定為2元、1元、0.5元.一名顧客隨機購買了甲企業銷售的2個口罩，記其支付費用為X元，用頻率估計概率，求X的分布列和數學期望;

（2）如果你是某學校的后勤采購人員，需要為學校師生采購口罩，請你根據圖表數據，自定標準，對甲、乙兩企業口罩質量的優劣情況進行比較，來決定購買哪個企業生產的口罩.

解題思路（1）由表知，甲企業在100個樣本中合格品有96個，則一等品的概率為4896=12，二等品的概率為18+1496=13，三等品的概率為1696=16.由題意知，隨機變量X的可能取值為4，3，2.5，2，1.5，1.則

P（X=1）=16×16=136，

P（X=1.5）=C12×13×16=19，

P（X=2）=13×13=19，

P（X=2.5）=C12×12×16=16，

P（X=3）=C12×12×13=13，

P（X=4）=12×12=14.

隨機變量X的分布列為：

X11.522.53

4P1361919161314

所以X的數學期望為

E（X）=1×136+1.5×19+2×19+2.5×16+3×13+4×14=176.

（2）答案不唯一，參考如下：

①以口罩的合格率（非次品的占有率）為標準，對甲、乙兩家企業的口罩質量進行比較，

由圖表可知，（a+0.020+0.022+0.028+0.042+0.080）×5=1，得a=0.008，所以乙企業的樣本中次品的頻率為（a+0.020）×5=0.14，則合格率約為0.86，甲企業口罩的合格率約為0.96，所以甲企業口罩的合格率高于乙企業口罩的合格率，故認為甲企業的口罩生產質量更高，故采購甲企業的口罩.

②以口罩中一等品的概率為標準，對甲、乙兩家企業的口罩質量進行比較，根據圖表可知，甲企業口罩中一等品的概率約為0.48，乙企業口罩中一等品的概率約為0.4，即甲企業口罩中一等品的概率高于乙企業口罩中一等品的概率，所以甲企業的口罩生產質量更高，故選擇采購甲企業的口罩.

19.如圖5，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=AB=12BC=1，點E是BC邊的中點，將△ABD沿BD折起，連接AE，AC，DE，AC=3，得到如圖6所示的幾何體.

（1）求證：平面ABD⊥平面ADC;

（2）求直線AC與平面ADE所成角的正弦值.

解題思路（1）由題知BD=CD=2，則BD2+CD2=BC2，所以BD⊥CD.又AD2+CD2=AC2，所以AD⊥CD.又AD∩BD=D，所以CD⊥平面ABD.又CD平面ADC，所以平面ABD⊥平面ADC.

（2）以D為坐標原點，射線DB，DC分別為x軸，y軸的正半軸，建立如圖7所示的空間直角坐標系，則D（0，0，0），C（0，2，0），E22，22，0，A22，0，22，所以DE=22，22，0，DA=22，0，22，AC=（-22，2，-22）.

設平面ADE的法向量為n=（x，y，z），則 n·DE=22x+22y=0，n·DA=22x+22z=0.令x=1，得n=（1，-1，-1）.所以cos<AC，n>=AC·n|AC|·|n|=63，故直線AC與平面ADE所成角的正弦值為63.

20.如圖8，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓Γ：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右頂點為A，B，C為橢圓Γ上兩動點，且關于原點O對稱，設直線AB與AC的斜率分別為k1，k2，滿足k1·k2=-14.

（1）求橢圓Γ的離心率;

（2）若橢圓Γ的短軸長為2，直線AB與AC分別交直線l：x=a+1于E，F兩點，求△AEF的面積最小時，k1+k2的值.

解題思路（1）已知A（a，0），設Bx0，y0，C-x0，-y0，則x20a2+y20b2=1，所以 k1·k2= y0x0-a·-y0-x0-a=y20x20-a2=b21-x20a2x20-a2=-b2a2=-14，即b2a2=14，所以e=1-b2a2=32.

（2）由題知2b=2，即b2=1，又b2a2=14，所以a2=4，則橢圓Γ的方程為x24+y2=1.

設直線AB的方程為y=k1x-2，直線AC的方程為y=k2x-2，令x=a+1=3，得yE=k1，yF=k2，所以S△AEF=12EF×1=12k2-k1.由k1·k2=-14<0，得S△AEF=12k2+k1.由基本不等式得S△AEF≥k2·k1=12，當且僅當k2=k1=12時等號成立，所以△AEF的面積最小時，k1和k2互為相反數，即k1+k2=0.

21.已知函數f（x）=e-x+sinx，g（x）=ax（a∈R）.

（1）求證：函數f（x）在區間（0，π2）內存在唯一的極值點;

（2）若函數h（x）=f（x）-g（x）在區間（0，2π）內單調遞減，求實數a的取值范圍.

解題思路（1）由f（x）=e-x+sinx，得f ′（x）=-e-x+cosx，f ″（x）=e-x-sinx，顯然x∈（0，π2）時f ″（x）單調遞減.因為f ″（0）=1>0，f ″（π2）=

-1+e-π2<0，所以存在t∈（0，π2），使得f ″（t）=0.

當x∈（0，t）時，f ″（x）>0，f ′（x）單調遞增;

當x∈t，π2時，f ″（x）<0，f ′（x）單調遞減.

又f ′（0）=0，f ′（π2）=-e-π2<0，所以存在唯一的點x0∈0，π2，使得f ′（x0）=0.

當x∈（0，x0）時，f ′（x）>0，f（x）單調遞增;

當x∈x0，π2時，f ′（x）<0，f（x）單調遞減.

所以x0為f（x）的極大值點，得證.

（2）由題意可知h（x）=e-x+sinx-ax在0，2π上單調遞減，則h′（x）=-e-x+cosx-a≤0在0，2π上恒成立，參變分離得a≥-e-x+cosx，x∈0，2π，令φ（x）=-e-x+cosx，x∈0，2π，φ′（x）=e-x-sinx，當x∈π，2π時，φ′（x）>0恒成立，所以φ（x）在π，2π上單調遞增;當x∈0，π時，φ″（x）=-e-x-cosx單調遞增，

φ″（0）=-e0-cos0=-2<0，φ″（3π4）=-e-3π4-cos3π4=22-e-3π4>0，

根據零點存在定理可知，存在唯一x1∈0，3π4使得φ″（x1）=-e-x1-cosx1=0，φ′（x）=e-x-sinx在0，x1單調遞減，在x1，π單調遞增，φ′（x1）=e-x1-sinx1=-cosx1-sinx1=-2sin（x1+π4）<0，

φ′（0）=1>0，φ′（π）=e-π>0，根據零點存在定理可知，存在x2∈0，x1，x3∈x1，π使得φ′（x2）=0，φ′（x3）=0，所以φ（x）在0，x2上單調遞增，在x2，x3上單調遞減，在x3，π上單調遞增.又φ（x2）=-e-x2+cosx2，φ（2π）=-e-2π+1，又因為x2<2π，cosx2<1，所以-e-x2<-e-2π，所以φ（x2）<φ（2π）.

綜上，a≥φ（2π）=1-e-2π.

22.在平面直角坐標系xOy中，曲線C1的參數方程為x=4tanα1+tan2αy=1-tan2α1+tan2α（α為參數，且α≠π2+kπ，k∈Z），以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系：

1求曲線C1的極坐標方程;

2設M，N為曲線C1上的兩點，且∠MON=π2，求△MON面積的最小值.

解題思路1化簡曲線C1的參數方程得x2=2tanα1+tan2α，y=1-tan2α1+tan2α，平方相加消去參數α得 x24+y2=1.

又y=1-tan2α1+tan2α=-1+21+tan2α （α≠π2+kπ，k∈Z），

所以-1<y≤1.

故曲線C1的普通方程為 x24+y2=1（y≠-1）.

根據x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，

化成極坐標方程為

（ρcosθ）24+（ρsinθ）2=1.

因為y≠-1，所以曲線C1的極坐標方程為

ρ2=41+3sin2θ（θ≠3π2+2kπ，k∈Z）.

2依題意設點M，N的極坐標分別為（ρ1，θ），（ρ2，θ+π2），代入曲線C1的極坐標方程，得

ρ21=41+3sin2θ，

ρ22=41+3sin2（θ+π2）=41+3cos2θ.

所以S△MON=12ρ1ρ2

=12·41+3sin2θ·41+3cos2θ

=211+3sin2θ1+3cos2θ

=219sin2θcos2θ+4

=2194sin22θ+4.

所以當sin22θ=1時，即θ=kπ2+π4（k∈Z）時，△MON面積有最小值45.

23.已知f（x）=|2x-2|+|x+3|，

（1）求不等式f（x）≤x+3的解集;

（2）已知a，b>0，若f（x）的最小值是k，且a+b=k，求4a+9b的最小值.

解題思路（1）不等式|2x-2|+|x+3|≤x+3等價為x≤-3，-3x-1≤x+3或-3<x<1，-x+5≤x+3或x≥1，3x+1≤x+3，解得x=1，原不等式的解集為1.

（2）f（x）=|2x-2|+|x+3|≥|x-1|+|x+3|≥|（x-1）-（x+3）|=4，當且僅當x=1時等號成立，所以f（x）最小值為4，即k=4，a+b=4，則4a+9b=14（a+b）（4a+9b）≥14×2+32=254，當且僅當a=85，b=125等號成立，4a+9b的最小值為254.

[責任編輯：李璟]

收稿日期：2022-02-05

作者簡介：劉海濤（1988-），男，安徽省滁州人，本科，中學一級教師，從事高中數學教學研究.[FQ）]