2021年全國甲卷理第5題的多視角解答賞析

摘要：2021年全國甲卷理科第5題看似普通，細細品味后卻發現內含豐富，給人啟迪，簡約而不簡單，深刻而不深奧的一道試題，它既考查了學生的數學建模能力，又考查了學生的直觀想象和數學運算能力.它既有利于拓展學生知識，又有利于培養學生的解題思維和構建解題方法，是一道非常值得探究的題.本文從12個不同視角對試題進行解答.

關鍵詞：特值法;排除法;面積法;余弦定理;正弦定理

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）13-0026-04

1 試題呈現

題目已知F1，F2是雙曲線C的兩個焦點，P為C上一點，且∠F1PF2=60°，PF1=3PF2，則C的離心率為（）.

A.72B.132C.7D.13

2 試題解答

解析不妨設C是中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線，如圖1所示.

由PF1-PF2=2a，PF1=3PF2，

得PF1=3a，PF2=a.

視角1特值法（條件附值推結果）.

令a=1，則PF2=1，PF1=3.圖1

在△F1PF2中，由余弦定理，得

F1F22=PF12+PF22-2PF1·PF2·cos∠F1PF2

=9+1-2×3×1×12=7.

所以F1F2=7.

所以2c=7，即c=72.

所以e=ca=721=72，故選A.

點評對部分條件附值，有利于降低試題在運算過程中的難度，提高解題效率.

視角2特值法（結果附值，驗證是否滿足條件）.

若e=72，即ca=72.

不妨設a=2，c=7，則PF1=6，PF2=2.

在△F1PF2中，由余弦定理，得

F1F22=PF12+PF22-2PF1·PF2·cos∠F1PF2=36+4-2×6×2×12=28.

所以F1F2=27，即c=7，符合假設.故選A.

點評對目標附值，通過逆向思維，驗證是否滿足條件，排除選項，這是在解答選擇題時常用的一種方法，它也有利于降低試題在運算過程中的難度，提高解題效率.

視角3排除法（點與圓的位置關系）.

因為O為F1F2的中點，

所以PO=12（PF1+PF2）.

所以PO2=14（PF12+2PF1·PF2+PF22）

=14（9a2+2×3a×a×cos60°+a2）

=13a24.

所以PO=13a2.

因為∠F1PF2=60°，

所以點P在以F1F2為直徑的圓的外部.

所以PO>12F1F2.即13a2>c.

所以e=ca<132.

所以排除B，C，D，故選A.

點評利用點與圓的位置關系的性質，得出點P在圓外，從而得出PO>12F1F2，進而得出離心率的范圍，排除其他選項.

視角4排除法（大角對大邊，大邊對大角）.

由PF1=3a，PF2=a，F1F2=2c，

得PF2最小.

若F1F2最大，由∠F1PF2=60°，

則△PF1F2的內角和小于180°，這與三角形的內角和定理矛盾.

故PF1最大，所以∠PF2F1>∠F1PF2=60°.

所以3a>2c.即e=ca<32.

所以排除B，C，D，故選A.

點評利用大角對大邊，大邊對大角，得出a，c的關系，從而得出離心率的范圍，排除其他選項.

視角5面積法（已知三角形兩邊和它們的夾角的面積公式和海倫公式）.

由S△F1PF2=12PF1·PF2·sin∠F1PF2

=（2a+c）（2a-c）（c-a）（c+a），

得334a2=（4a2-c2）（c2-a2）.

化簡，得c4-5c2a2+2716a4=0.

即e4-5e2+2716=0.

解得e2=74或e2=134.

所以e=72或e=132.

由PF1=3a，PF2=a，F1F2=2c，

得PF2最小.

若F1F2最大，由∠F1PF2=60°，

則△PF1F2的內角和小于180°，這與三角形的內角和定理矛盾.

故PF1最大，所以∠PF2F1>∠F1PF2=60°.

所以3a>2c.

所以e=ca<32，故選A.

點評利用等面積法計算出離心率的值，再利用大角對大邊，大邊對大角排除干擾答案.

視角6面積法（雙曲線焦點三角形的面積公式和海倫公式）.

由S△F1PF2=b2tan∠F1PF22

=（2a+c）（2a-c）（c-a）（c+a），

得3b2=（4a2-c2）（c2-a2）.

又a2+b2=c2，解得4b2=3a2.

即b2a2=34.

所以e=1+b2a2=1+34=72.故選A.

點評利用等面積法計算出a，b，c的關系，再配合a2+b2=c2，解出a，b關系，最后利用離心率公式求解.

視角7面積法（已知三角形兩邊和它們的夾角的面積公式和雙曲線焦點三角形的面積公式）.

由S△F1PF2=12PF1·PF2·sin∠F1PF2

=b2tan∠F1PF22，

得12×3a×a×sin60°=b2tan30°.

解得b2a2=34.

所以e=1+b2a2=1+34=72.

故選A.

點評利用等面積法計算出a，b的關系，然后利用離心率公式求解.

視角8面積法（雙曲線焦點三角形的面積公式和雙曲線的焦半徑公式）.

設點P的坐標為（x0，y0），

則S△F1PF2=cy0=b2tan∠F1PF22.

得y0=3b2c.

由雙曲線的右焦半徑公式，得

PF2=ex0-a.

得x0=2a2c.

又因為x20a2-y20b2=1，

所以4a2c2-3b2c2=1.

則4a2-3b2=c2.

又c2=a2+b2，解得b2a2=34.

所以e=1+b2a2=1+34=72.

故選A.

點評利用等面積法計算出點P的縱坐標，利用焦半徑公式計算出點P的橫坐標，然后將其代入雙曲線的方程中，解出a，b，c的關系，再配合a2+b2=c2，解出a，b關系，最后利用離心率公式求解.

視角9余弦定理.

在△F1PF2中，由余弦定理，得

F1F22=PF12+PF22-2PF1·PF2·cos∠F1PF2.

則4c2=9a2+a2-2×3a×a×12.

所以c2a2=74.

所以e=ca=72，故選A.

點評直接利用余弦定理解出a，c的關系，再后利用離心率公式求解.

視角10正弦定理.

因為PF1=3PF2，由正弦定理，得

sin∠PF2F1=3sin∠PF1F2.

又因為∠F1PF2=60°，

所以∠PF2F1+∠PF1F2=120°.

所以3sin∠PF1F2=sin（120°-∠PF1F2）

=sin120°·cos∠PF1F2-cos120°·sin∠PF1F2

所以5sin∠PF1F2=3cos∠PF1F2.

又因為sin2∠PF1F2+cos2∠PF1F2=1，

所以sin∠PF1F2=2114.

在ΔF1PF2中，由正弦定理，得

F1F2sin∠F2PF1=PF2sin∠PF1F2.

則2csin60°=a2114，得e=ca=72.故選A.

點評多次利用正弦定理解出a，c的關系，再利用離心率公式求解.

視角11正弦定理→雙曲線的離心率公式.

因為PF1=3PF2，由正弦定理，得

sin∠PF2F1=3sin∠PF1F2.

又因為∠F1PF2=60°，

所以∠PF2F1+∠PF1F2=120°.

所以3sin∠PF1F2=sin（120°-∠PF1F2）.

所以3sin∠PF1F2

=sin120°·cos∠PF1F2-cos120°·sin∠PF1F2.

所以5sin∠PF1F2=3cos∠PF1F2.

又因為sin2∠PF1F2+cos2∠PF1F2=1，

所以sin∠PF1F2=2114.

所以sin∠PF2F1=3sin∠PF1F2=32114.

由雙曲線的離心率公式

e=sin∠F2PF1sin∠PF2F1-sin∠PF1F2，

得e=sin60°32114-2114=72.故選A.

點評利用正弦定理解出三角形的三個內角的正弦值，再利用離心率公式求解.

視角12正弦定理→雙曲線的焦半徑公式.

因為PF1=3PF2，由正弦定理，得

sin∠PF2F1=3sin∠PF1F2.

又因為∠F1PF2=60°，

所以∠PF2F1+∠PF1F2=120°.

所以3sin∠PF1F2=sin（120°-∠PF1F2）.

所以3sin∠PF1F2=sin120°·cos∠PF1F2-cos120°·sin∠PF1F2.

所以5sin∠PF1F2=3cos∠PF1F2.

又因為sin2∠PF1F2+cos2∠PF1F2=1，

所以sin∠PF1F2=2114，cos∠PF1F2=5714.

設直線PF2的傾斜角為θ，

則cosθ=cos（∠PF1F2+60°）

=cos∠PF1F2·cos60°-sin∠PF1F2·sin60°

=5714×12-2114×32

=714.

由雙曲線的焦半徑公式

PF2=b2a-c·cosθ，

得a=b2a-714c.

即b2=a2-714ac.

又a2+b2=c2，

則

c2+714ac-2a2=0.

即e2+714e-2=0.

解得e=72，或e=-477（舍去）.

故選A.

點評利用正弦定理解出焦半徑所在直線的傾斜角的余弦值，代入焦半徑公式中得出a，b，c的關系，再配合a2+b2=c2，解出離心率.

不管解答哪一類試題都要掌握其實質，掌握其規律，規范其步驟，探究其變式.久而久之，學生的數學思維能力、數學解題能力、數學核心素養等定會有大幅度的提升.

參考文獻：

[1] 吳家華.2021年高考數學全國（甲卷）理科第5題的推廣與引申[J].數理化學習，2021（08）：7-10.

[責任編輯：李璟]

收稿日期：2022-02-05

作者簡介：李勇（1976.9-），男，貴州省石阡人，本科，中學高級教師，從事高中數學教學研究.[FQ）]