物體的重心位置在解題中的運用

摘要：形狀規則、質量分布均勻的物體，它的重心位置位于物體的幾何中心.重心是物體的等效作用點，確定物體重心的位置有時是解題的突破口和切入點.

關鍵詞：等效作用點;形狀規則;質量分布均勻;幾何中心

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）13-0108-03

一個物體的各部分都受到重力的作用，從效果上看，我們可以認為各部分受到的重力作用集中于一點，這一點叫做物體的重心.形狀規則、質量分布均勻的物體，它的重心位置位于物體的幾何中心.重心是物體的等效作用點，我們可以把物體看作是位于重心的質點.重心的概念非常重要，因為有的題目必須找到物體重心的位置，否則這道題就無法解出.下面通過對六個典型的題目的求解來加以說明.

例1 如圖1所示，矩形均勻薄板長AC=60cm，寬CD=10cm，在B點以細線懸掛，板處于平衡狀態，AB=35cm，則懸線和板邊緣CA的夾角α等于多少？

解

均勻矩形薄板的重心在其對角線AD、CE交點O處，如圖2所示：

根據二力平衡可以知道重力G與懸線拉力等大反向，且共線.過O作AC的垂線OH，與AC相交于H，由幾何關系可以知道：

tanα=OHBH=OHAB-AH=535-30= 1.

則：α=45°

故懸線和板邊緣CA的夾角α等于45°.

解析

矩形均勻薄板其重心在兩對角線的交點處，平衡時矩形均勻薄板所受的重力與懸線的拉力等大反向，且共線.作出重心位置，過重心作過O作OH⊥AC，交AC于H，由幾何關系便可求解α.

例2質量為m，邊長均為a的均勻木塊，放在粗糙水平面上，現對木塊施力使其向一側翻倒，求推倒木塊至少需做多少功？

解

推倒木塊的力應是一變力，力的作用點的軌跡又不是一條直線，所以不能用公式W=FScosα來計算外力功，但可以利用重力勢能的變化來求解.木塊的位置變化如圖3所示：圖3

推倒木塊做功最少的過程是一個將重心緩慢升高到重力作用線開始超出支持面的過程，即木塊的一條對角線和地面垂直時，在這個過程中重心升高的高度為：

h=22a-12a=2-12a

所以外力做的功最少值等于木塊重力勢能的增量，即：

WF=ΔEp=mg·2-12a=2-12mga

解析

在木塊緩慢翻倒的過程中只有外力做正功，重力做負功，因此物體的重力勢能增加，而且外力做的功等于物體重力勢能的增加.

例3如圖4所示，質量為200g的勻質米尺（長度為1米的刻度尺）有14伸出桌外，尺與桌面間的摩擦因數為μ=0.16，若用水平恒力F只能作用于尺上1秒，為使尺從桌上落下，F至少多大？

解

以米尺為研究對象，從開始運動到停止運動，先做勻加速運動后做勻減速運動，當米尺剛好從桌邊落下時，米尺運動的總位移等于米尺長度的14，即為0.25m.

米尺在力F作用后，做勻加速運動的加速度的大小為：a1=F-μmgm. 撤去F后米尺做勻減速運動的加速度大小為：

a2=μg=0.16×10=1.6m/s2.

要使米尺落下，應有：

12a1t2+（a1t）22a2=0.25.

代入數據，聯立計算得出：

F=0.4N.

故水平拉力至少為0.4N.

解析

米尺在1s內重心恰到達桌面邊緣時，用力最小;米尺先做加速再做減速，由牛頓第二定律及運動學公式可求得最小拉力.

例4有一條長L的均勻金屬鏈條，如圖5所示，有一半在光滑斜面上，斜面傾角為θ，另一半豎直向下垂在空中，當鏈條剛好全部滑出斜面的瞬間，它的速度為.

解

設斜面最高點為零勢能點，設鏈條總質量為m，開始時，左半部的重力勢能：

Ep1=-mg2×Lsinθ4=-mgLsinθ8.

右半部的重力勢能：

Ep2=-mg2×L4=-mgL8.

∴機械能E1=Ep1+Ep2=-mgL8（1+sinθ）.

當鏈條剛滑出斜面時，重力勢能：

Ep=-mgL2;

動能Ek=12mv2.

機械能：E2=Ep+Ek=-mgL2+12mv2.

根據機械能守恒定律：

E1=E2

∴-mgL8（1+sinθ）=-mgL2+12mv2.

解得：v=gL（3-sinθ）2.

解析

釋放以后的鏈條，豎直方向的一半向下、在斜面上的一半向上運動，由于豎直部分越來越多，所以鏈條做的是變加速運動，不能用一般運動公式求解，因為斜面光滑，機械能守恒，鏈條得到的動能應是由勢能轉化的，重力勢能的變化可以用重心的位置確定.

例5質量相等的均質柔軟細繩A、B平放于水平地面，繩A較長.分別捏住兩繩中點緩慢提起，直到全部離開地面，兩繩中點被提升的高度分別為hA、hB，上述過程中克服重力做的功分別為WA、WB.若（）.

A.hA=hB，則一定有WA=WB

B.hA>hB，則可能有WA<WB

C.hA<hB，則可能有WA=WB

D.hA>hB，則可能有WA>WB

解設繩長為L，捏住細繩中點緩慢提起，則細繩的重心在距離最高點L4位置處，因此細繩A的重心上升的高度為hA′=hA-LA4.

細繩B的重心上升的高度為

hB′=hB-LB4.

由于細繩A較長，所以LA4>LB4.

若hA=hB，則A的重心較低，故一定有WA<WB，選項A錯誤.

若hA>hB，則無法確定兩細繩的重心誰高誰低，因此可能有WA<WB，也可能有WA=WB，還可能有WA>WB，選項B正確，D錯誤.

若hA<hB，則一定是A的重心較低，因此一定有WA<WB，選項C錯誤.

綜上所述：應選B.

例6給定兩個同樣的球，其一放在水平面上，另一個以細線懸掛.供給兩球相同的熱量，問兩球溫度是否趨于相同？說明你的理由（忽略各種熱量損失）.

解如圖6所示，球體受熱，體積增大.放在水平面上的球重心升高，克服重力做功要耗費一部分熱量，于是剩下提高球體溫度的熱量減少了些.以細線懸掛的球與之相反.結果放在水平面上球的溫度將稍小于以細線懸掛球的溫度.當然，這一差別是很小的.

以上六道題，形式各不相同，但“形散而神凝”，解題思路是相同，都需要找到物體的重心位置，具有異曲同工的特點.通過求解過程，會使我們明顯的感覺到——原來“重心位置”是如此的重要！利用重心位置解題原來是如此的巧妙！重心的位置在每道題中無一例外的充當了解題的突破口和切入點.如果想不到尋找重心的位置，那么讀完題后會感覺到無處下手，有找不到北的感覺，從而導致無法求解.因此，解題時一定要善于尋找物體的重心位置.

參考文獻：[1]

陳新.積木式重心實驗探究[J].物理教學探討，2007（21）：53-54.

[責任編輯：李璟]

收稿日期：2022-02-05

作者簡介：張巖松（1963.6-），男，山東省泰安人，本科，中學高級教師，從事高中物理教學研究.[FQ）]