運(yùn)用剛體的不形變特性求解相關(guān)運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題

2022-05-26 10:23:10王偉民

數(shù)理化解題研究·高中版 2022年5期

摘要：分別用微元法、確定瞬心法和根據(jù)“剛體上任意兩點(diǎn)的速度在這兩點(diǎn)所確定直線方向上的分量相等”等方法，對(duì)一個(gè)運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行解析;并通過(guò)解析該問(wèn)題的一個(gè)變式，將解決問(wèn)題的方法推廣至一般情形.

關(guān)鍵詞：圓弧;微元;瞬心;分量;剛體

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2022）13-0089-03

例題1如圖1所示，細(xì)棒AB水平放置在地面，A端緊挨著墻面，C為AB棒的中點(diǎn).現(xiàn)讓棒的A端沿著墻面勻速上移，當(dāng)B端與C點(diǎn)的速度大小相等時(shí)，AB棒與水平地面的夾角為（）.

A.30°B.45°C.60D.90°

分析在細(xì)棒AB按題目所給條件運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，棒的兩端點(diǎn)分別在豎直墻面和水平地面上運(yùn)動(dòng)，細(xì)棒與墻面和地面始終圍成一個(gè)直角三角形，因?yàn)橹苯侨切涡边叺闹芯€等于斜邊的一半，所以，棒AB的中點(diǎn)C到直角頂點(diǎn)O的距離始終等于AB長(zhǎng)度的一半，因此，在棒AB的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，其中點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡是以O(shè)為圓心，棒長(zhǎng)一半為半徑的四分之一圓弧.我們用多種方法對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行解析——

解法1——微元法

解析如圖2所示，設(shè)棒長(zhǎng)AB=L，在棒運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的某一時(shí)刻，棒AB與水平地面的夾角∠ABO=θ，此后在時(shí)間元內(nèi)，A端運(yùn)動(dòng)一段微元dL到E，與此同時(shí)，B端在水平地面運(yùn)動(dòng)到D，棒的中點(diǎn)C沿弧線運(yùn)動(dòng)到H.

先確定端點(diǎn)B速度的大小.

BD=Lcosθ-L2-（Lsinθ+dL）2

=Lcosθ-L2-L2sin2θ-2LdLsinθ-（dL）2

≈Lcosθ-L2-L2sin2θ-2LdLsinθ

=Lcosθ-L2cos2θ-2LdLsinθ

=Lcosθ-Lcosθ1-2LdLsinθL2cos2θ

≈Lcosθ-Lcosθ+dLsinθcosθ

=dLtanθ

∴vB=vtanθ

再確定AB中點(diǎn)C的速度大小.

圖2中，分別過(guò)E和B作EF∥OB，BF∥DE，兩線相交于F，則四邊形EFBD為平行四邊形，∴BF=DE，∵DE=AB=L，∴BF=DE=L.

設(shè)∠HOC=dθ，則∠ABF=∠AGE=∠HDO-∠HBO=∠HOB-∠COB=dθ，

∴△OCH∽△BAF（同為等腰三角形），

∵OC=12AB，

∴CH=12AF=dL2cosθ

∴vC=v2cosθ

當(dāng)vC=vB時(shí)，v2cosθ=vtanθ

∴sinθ=12，∴θ=30°.

故，本題的正確選項(xiàng)是A.

解法2——確定瞬心法

剛體轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題中，在剛體上取任意兩點(diǎn)，過(guò)這兩點(diǎn)分別作這兩點(diǎn)在某一時(shí)刻運(yùn)動(dòng)方向的垂線，兩垂線的交點(diǎn)便是該時(shí)刻剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的速度瞬心.

解析如圖3所示，設(shè)棒AB在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的某一時(shí)刻，它與水平地面的夾角為θ，分別過(guò)A、B作AD⊥OA，BD⊥OB，兩線交于點(diǎn)D，則D為該時(shí)刻棒AB的瞬心，易知四邊形ADBO是矩形，其對(duì)角線的交點(diǎn)便是AB的中點(diǎn)C，當(dāng)B、C兩點(diǎn)的速度相等時(shí)，有DC=DB

∵CD=12AB=BC，∴CD=DB=BC，

∴∠DBC=60°，∴θ=30°

解法3——根據(jù)“剛體上任意兩點(diǎn)的速度在這兩點(diǎn)所確定直線方向上的分量相等”進(jìn)行求解

由于剛體不形變，所以，剛體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中（包含平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)），剛體上任何兩點(diǎn)之間的距離保持不變，因此，剛體上任意兩點(diǎn)在任意時(shí)刻的速度在這兩點(diǎn)確定直線方向上的分量始終保持相等.

解析如圖4所示，伴隨棒AB的不停運(yùn)動(dòng)，棒上各點(diǎn)也在不停的運(yùn)動(dòng).其中點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡是以O(shè)為圓心，12AB為半徑的圓弧，所以C的運(yùn)動(dòng)方向垂直于OC.在棒AB的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，端點(diǎn)B和中點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)速度在AB方向上的分量相等，所以，當(dāng)vC=vB時(shí)，vC和vB與AB的夾角相等，都是θ

∵OC=CA=CB

∴∠COB=∠CBO=θ

∴∠2=∠3

∵∠2=∠1

∴∠1=∠2=∠3=60°

∴θ=30°

比較三種解法可以發(fā)現(xiàn)，后面的兩種解法比較簡(jiǎn)潔.我們不妨利用第三種方法對(duì)例題1的一個(gè)變式進(jìn)行求解.例題2如圖5所示，細(xì)棒AB水平放置在地面，A端緊挨著墻面，C為AB棒的中點(diǎn).現(xiàn)讓棒的A端沿著墻面勻速上移，當(dāng)C點(diǎn)速度大小是B端速度大小的n倍時(shí)，AB棒與水平地面的夾角是多大？（結(jié)果可以用反三角函數(shù)表示）圖5

解析由上面解法三的分析可知，在圖5中α+β=90°，α=2θ.因?yàn)関B和vC在AB方向上的分量相等，所以有：

vBcosθ=vCcosβ

∵vC=nvB

∴cosθ=ncosβ

∴cosθ=nsinα

∴cosθ=nsin2θ

∴cosθ=2nsinθcosθ

∴sinθ=12n

∴θ=arcsin12n

可以看出，當(dāng)n=1時(shí)，θ=arcsin12n=arcsin12=30°，這正是例題1給出問(wèn)題的答案.

實(shí)際上，例題1給出的問(wèn)題只是例題2問(wèn)題的一個(gè)特例，因此，例題2對(duì)應(yīng)的問(wèn)題是例題1對(duì)應(yīng)問(wèn)題的更具一般性的推廣.

參考文獻(xiàn)：[1]