例析離散型隨機變量的 數學期望與方差的綜合方法

摘要：高考命題的題型正逐步走向規范化、科學化，這就需要教師多方位、多角度挖掘形式多樣的問題.對于中學生如何學習離散型隨機變量問題，關鍵是需要把握公式，掌握解題方法，并需要注意公式的正確應用，特別要分清楚哪種類型，這樣才能在解決離散型隨機變量問題中得心應手.

關鍵詞：標準方差;隨機變量;概率分布;教學研究

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）13-0030-03

基金項目：南寧市教育科學“十三五”規劃“2019年度B類課題”數學素養視域下高中數學答題規范的教學與訓練的實踐研究”（項目編號：2019B175）.[FQ）]

1 離散型隨機變量的方差和標準差的概念

一般地，若隨機變量X的概率分布見表1：則稱x1p1+x2p2+…+xnpn為離散型隨機變量X的均值或數學期望，記為E（X）或μ.

一般地，若離散型隨機變量X的概率分布見表1，則隨機變量X與其均值μ的平均偏離程度，則稱為離散型隨機變量X的方差，記為V（x）或σ2，那么Vx=σ2=x1-μ2p1+x2-μ2p2+…+xn-μ2pn，其中，pi≥0，i=1，2，…，n，p1+p2+p3+…+pn=1.隨機變量的方差即為總體的方差，它是一個常數，不隨抽樣樣本變化而變化，是客觀存在的常數;樣本方差則是隨機變量，它是隨著樣本不同而變化的，對于簡單的隨機抽樣，隨著樣本容量的增加，樣本方差則可以越接近于總體方差.

2 常用的方差

（1）若X服從兩點分布，那么V（X）=p（1-p）.

（2）二項分布：若X～B（n，p），那么V（X）=np（1-p）.

（3）超幾何分布：若隨機變量X服從超幾何分

布，即X～H （n，M，N），則VX=nMN·1-MN·N-nN-1.

3 典例分析

3.1 關于離散型隨機變量的方差、標準差

例1已知隨機變量X的概率分布見表2

所示.

求隨機變量X的數學期望、方差與標準差.

解析EX=1×17+2×17+3×17+4×17+5×17+6×17+7×17=4.

VX=1-42×17+2-42×17+3-42×17+4-42×17+5-42×17+6-42×17+7-42×17=4，

則σ=VX=2.

小結解決這類問題應該充分利用隨機變量分布列的性質進行思考：一是Pi≥0，i=1，2，…，n;二是同時具有p1+p2+…+pn=1.3.2 關于離散型隨機變量的數學期望與方差

例2有40名學生參加培訓次數列見表3.

（1）從這40人中任意選3人，此3名中至少有2名學生培訓次數恰相等的概率;

（2）從這40人中任選2名同學，用X表示這2名同學參加培訓次數之差的絕對值，求隨機變量X的分布列及數學期望E（X）.

解析（1）P=1-C15C115C120C340=419494.

（2）由題意知道X的可能值為0，1，2，則

PX=0=C25+C215+C220C240=61156，

P（X=1）=C15C115+C115C120C240=2552，

PX=2=C15C120C240=539，

那么隨機變量X的分布列見表4.

則X的數學期望EX=0×6136+1×2532+2×539=115156.

小結首先列出隨機變量所有取值及每一值概率;其次列出隨機變量的分布列;再根據數學期望的計算公式求出E（X）;最后再利用方差的計算公式求出方差的值.

3.3 關于數學期望與方差的逆應用例3（1）隨機變量ξ的分布列見表5.

已知Eξ=52，Vξ=54，則m，n，a的乘積為;

（2）已知ξ～Bn，p，且Eξ=53，Vξ=109，則Pξ=4=.

解析（1）根據分布列的性質可以知道，

a=1-14-14-14=14.

則Eξ=1×14+2×14+m×14+n×14=52.

則可以化簡得到m+n=7.①

Vξ=1-522×14+2-522×14+

m-522×14+n-522×14=54，

化簡，得

m-522+n-522=52.②

聯立①②，得m=3，n=4或m=4，n=3.

則m，n，a的乘積為3.

（2）根據二項分布的數學期望和方差的公式得到np=53，np1-p=109.

解得p=13，n=5.

則ξ～B5，13.

故Pξ=4=C4513423=10243.小結若已知分布列的數學期望和方差，可根據此求出分布列的未知量，同時也可以解決一些實際問題，解決的方法就是先設出未知量，然后根據給出的數學期望值或方差值，列出關系式，進行解答.

3.4 關于分布列、方差與均值的綜合題

綜合應用題可以培養學生的學習意識和思維能力，能更多地體現出“多維”（知識層次、數學方法、數學思想等）的命題思路，充分體現背景公平，情境新穎，避開猜題壓題，考查學生運用所學知識分析問題解決問題的能力.

例4甲到乙地，一貨車晴天賺 230元，小雨賺163元，中雨賺90元，明天氣象無雨、小雨、中雨概率分別為0.2，0.3，0.5，求期望盈利值.

解析用X表示明天發一輛汽車的盈利，{X=230}發生的充要條件是明天天氣無雨;

{X=163}發生的充要條件是明天天氣有小雨;{X=90}發生的充要條件是明天天氣有中雨.

于是P（X=230）=0.2，P（X=163）=0.3，P（X=90）=0.5，E（X）=230×0.2+163×0.3+90×0.5=139.9.即期望賺139.9元，或一輛車平均賺139.9元，方差σ2X=230-139.92×0.2

+163-139.92×0.3+90-139.92×0.5=3028.69.標準差σX=3028.69≈55元.

小結關于分布列、方差與均值的綜合題需注意求離散型隨機變量X的均值與方法：一是理解X的意義，寫出X的全部可能的取值;二是求X的每個值的概率;三是寫出X的分布列，由均值的定義求E（X）和由方差的定義求V（X）.

3.5 數學期望與方差在實際問題中的逆應用

例5甲工程每投資10萬，年收益1.2，1.18，1.17萬元概率分別為16，12，13;乙工程利潤和產品價格調整相關，每調價下降概率是p0<p<1，若乙一年2次獨立調價，乙價格一年內下降次數X，每投10萬元，X取0，1，2時，一年后相應利潤是1.3，1.25，0.2萬元，隨機變量X1，X2表示對甲、乙各投10萬元一年后利潤，（1）求X1，X2概率分布和數學期望EX1和EX2.（2）當EX1<EX2，求p范圍.

解析（1）由題意可以得知隨機變量X1的概率分布見表6.

由題設知道乙工程產品價格下降的次數服從參數為2，p的二項分布，則X2的概率分布見表7.

所以X2的數學期望為E（X2）=1.3×（1-p）2+1.25×2p（1-p）+0.2p2=-p2-0.1p+1.3（0<p<1）.

（2）由E（X1）<E（X2），得到-p2-0.1p+1.3>1.18，則-0.4<p<0.3.

又因為0<p<1，則E（X1）<E（X2）時，p的取值范圍是0<p<0.3.

故p的取值范圍是0<p<0.3.

小結在實際問題中，做某件事情有兩種方法，為使其中一種方法的數學期望比另一種方法的數學期望更高，這就要用到數學期望與方差的逆運算解決.

離散型隨機變量的數學期望與方差知識的實質是處理好教與學的相互關系，它反映了教學的自然規律，運用的關鍵在于如何設置問題情境.

參考文獻：

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沈惠華.現象教學視角的概念生成——以“離散型隨機變量的均值”為例＼[J＼].數學教學通訊，2021（21）：33-35.

＼[2＼] 趙澤民.“情境-問題-探究”模式的數學課堂教學實踐——以“離散型隨機變量的均值”教學為例＼[J＼].高中數學教與學，2021（14）：18-20.

＼[3＼] 原坤，周先華，劉太濤.孕育數學抽象核心素養的概念教學——以“離散型隨機變量及其分布列”的教學為例＼[J＼].中小學數學（高中版），2020（10）：18-21.

[責任編輯：李璟]

收稿日期：2022-02-05

作者簡介：秦桂芳（1980.12-），女，廣西靈川人，本科，中學高級教師，從事高中數學教學研究.