基于超幾何級數的中心二項式系數恒等式

劉紅梅，金 萱，李若慧

(大連民族大學 理學院，遼寧 大連 116650)

推廣的調和數定義如下：

顯然，當x=1時，經典調和數Hn=Hn(1)。

超幾何級數，表現形式為

這里升階乘(a)0=1,(a)n=a(a+1)…(a+n-1),n>1，在理論物理、數論、統計學中有重要的應用。

1 兩個引理

為了給出本文的結果，引入下列兩個經典的超幾何級數求和公式。

引理1 Gauss定理[5-6]：

(1)

引理2 Dixon定理[5-6]：

(R(a-2b-2c)>-3)。

(2)

(3)

因此希望通過將上面兩個公式微分的方法，結合Gamma函數的相關性質來獲取含有中心二項式系數和調和數的無窮級數求和公式。

2 兩個含有中心二項式系數和調和數的級數恒等式

因此

(4)

由Gauss定理(1)，上式中

(5)

其中最后一個等號是由Gamma函數的下列性質得到的：

由Gauss定理(1)，又可計算無窮級數

對此式左右兩邊求導，

根據Digamma函數的特殊取值以及相關性質：

(6)

(7)

可得

(8)

最后由(4),(5)和(8)式，定理結論成立。

定理2

證明由Dixon定理(2)，利用微分的方法,文獻[7]給出下列兩個恒等式：

[Hn+1(a)-Hn+1(1+a-b)-Hn+1(1+a-c)]

[Hn+1(b)+Hn+1(1+a-b)]

利用Digamma函數的特殊取值(6)和性質(7)以及Gamma函數和Digamma函數的關系式：

ψ(1-x)-ψ(x)=πcot(πx),

證此定理結論。

獲得無窮級數求和公式本身就比較困難，本文能夠建立兩個含有中心二項式系數與調和數的無窮級數求和公式，是一項非常有意義的工作。

3 結 論